王世良，侯麗珍，MA Shu－jun，HUANH Han

（1.中南大學(xué)，湖南 長(zhǎng)沙 410083；2.湖南師范大學(xué)，湖南 長(zhǎng)沙 410081；3.The University of Queensland，QLD4072，Australia）

熱運(yùn)動(dòng)廣泛存在于微觀世界中，并通過(guò)布朗（Brown）運(yùn)動(dòng)和約翰遜（Johnson）效應(yīng)等可觀測(cè)的宏觀現(xiàn)象為人們所認(rèn)識(shí)［1］。通常，作為精密測(cè)量中經(jīng)常遇到的問(wèn)題，熱運(yùn)動(dòng)被認(rèn)為是影響測(cè)量精度的主要因素之一［2］。本文中，從另一個(gè)側(cè)面出發(fā)，以能量均分定量和懸臂梁振動(dòng)理論作為基礎(chǔ)，闡述了利用熱振動(dòng)進(jìn)行精密力學(xué)測(cè)量的基本原理，并通過(guò)多個(gè)測(cè)量實(shí)例來(lái)說(shuō)明其具體應(yīng)用。本文中所涉及的基本理論為物理系高年級(jí)學(xué)生所熟知，所涉及的表征和測(cè)量手段廣泛應(yīng)用于物理和工程測(cè)量，所獲得實(shí)驗(yàn)結(jié)果卻代表了相關(guān)領(lǐng)域的研究前沿。

1 理論模型

處于熱平衡狀態(tài)的微懸臂梁可近似成理想彈簧諧振子。該系統(tǒng)的Ha miltonian量為［3］

其中：p、q、m和ω0分別為彈簧諧振子的動(dòng)量、位移、質(zhì)量和角頻率。按照能量均分定理可得：

其中，kB、T和〈q2〉分別為波爾茲曼常數(shù)、環(huán)境溫度和諧振子位移的方均值。對(duì)于彈性常數(shù)為K（對(duì)應(yīng)于懸臂梁的法向彈性常數(shù)）的彈簧振子，有K＝mω20，所以，

由傅里葉變換中的帕斯瓦爾定理可知［2］，頻域中熱振動(dòng)的功率密度譜面積等于時(shí)域中熱振動(dòng)幅度的均方值。因此，在一定溫度下，如果能獲取微懸臂梁的熱噪聲功率密度譜，則通過(guò)對(duì)其共振峰進(jìn)行面積積分，就可確定其法向彈性常數(shù)。

另一方面，微懸臂梁進(jìn)行熱振動(dòng)時(shí)，只在其固有振動(dòng)頻率處的振動(dòng)幅度是最大的。在忽略空氣粘滯阻力的情況下，由Euler－Ber noulli理論可知［4］，懸臂梁的第n階振動(dòng)頻率fn為，

其中：E、I、A、L和ρ分別懸臂梁的楊氏模量、慣性矩、截面積、長(zhǎng)度和密度，β1≈1.875，β2≈4.694，β3≈7.855，β4≈10.996，βn（n＞5）≈ （n0.5）π。懸臂梁的第n階振動(dòng)模的振幅的方均值（q2n）為［5］。

由于懸臂梁的所有振動(dòng)模彼此相互獨(dú)立，且都對(duì)懸臂梁的熱振動(dòng)振幅的方均值（q2）有貢獻(xiàn)［4］，所以與公式（3）相一致。

2 應(yīng)用舉例

2.1 標(biāo)定微懸臂梁法向彈性系數(shù)

微懸臂梁結(jié)構(gòu)在微觀領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，而其力學(xué)特性又是研發(fā)和使用過(guò)程中最受關(guān)注的參數(shù)之一。比如，在原子力顯微鏡（AFM）中，微懸臂梁的力學(xué)特性直接影響到AFM的成像質(zhì)量和測(cè)試精度。但在通常情況下，對(duì)于商品化的懸臂梁，由制造商直接給出的彈性常數(shù)只具有參考意義；因?yàn)榻o定的參考值與實(shí)際標(biāo)定的彈性常數(shù)之間有很大的偏差，有時(shí)甚至?xí)_(dá)到一個(gè)數(shù)量級(jí)［6］。因此，在進(jìn)行力學(xué)測(cè)量之前，我們必須對(duì)其進(jìn)行精確標(biāo)定。

基于上述理論模型，我們可以采用頻譜分析技術(shù)獲取微懸臂梁的熱噪聲譜，然后再通過(guò)數(shù)據(jù)擬合和計(jì)算，由方程（3）來(lái)求出其法向彈性常數(shù)。比如，當(dāng)測(cè)得某一懸臂梁在室溫下的熱漲落幅度為0.3 n m，則該懸臂梁的法向彈性系數(shù)約為0.05 N／m［4］。當(dāng)然，在實(shí)際情況下，AFM 懸臂梁是在傾斜狀態(tài)下進(jìn)行工作，通過(guò)光杠桿技術(shù)測(cè)量的并不是懸臂梁末端的位移，而是斜率。經(jīng)修正后，傾斜放置的懸臂梁的法向彈性系數(shù)為［4］。

目前，熱振動(dòng)法作為一種簡(jiǎn)易、無(wú)損和快捷的標(biāo)定方法，已成為微懸臂梁法向彈性常數(shù)的主要標(biāo)定方法之一［6］。

2.2 估測(cè)納米晶須的楊氏模量

在透射電子顯微（TEM）分析中，對(duì)于一端固定一端自由的細(xì)長(zhǎng)納米晶須，其自由端因無(wú)法聚焦而只能得到模糊的影像，且其頂端影像的模糊程度隨溫度升高而增加。通過(guò)估測(cè)納米晶須頂端的模糊影像寬度，即2（q2），則由此可以估算出納米晶須的楊氏模量［7－10］。

比如，如果將一端固定的碳納米管（CNT）看成長(zhǎng)度為L(zhǎng)，外徑為a，內(nèi)徑為b的空心圓柱形懸臂梁，則由方程（6）可得CNT的楊氏模量

1996年，Treacy等［7］通過(guò)TEM原位測(cè)量的方法先測(cè)出 CNT的〈q2〉、a、b和L，然后通過(guò)方程（8）估算出11根CNT的平均楊氏模量，ECNT≈1.8 TPa。

通過(guò)TEM原位測(cè)量熱振動(dòng)振幅來(lái)估算納米晶須的楊氏模量，雖然存在較大的誤差，但仍不失為一種對(duì)直徑在20 n m以下的納米晶須的楊氏模量進(jìn)行估測(cè)的簡(jiǎn)便、快捷而有效的方法。

2.3 定量測(cè)量納米晶須的楊氏模量

顯微激光多普勒技術(shù)的飛速發(fā)展，為納米懸臂梁熱振動(dòng)譜的精確測(cè)量提供了可能。最近，Bieder mann 等［5－10］利用激光多普勒振動(dòng)計(jì)（LDV）獲得了CNT和Ag2Ga的熱噪聲譜，并由此獲得了CNT和Ag2Ga的楊氏模量。

圖1 Al2O3納米晶須分析圖

作為一種驗(yàn)證，利用Polytec MSA－500掃描LVD，對(duì)α－Al2O3納米晶須的楊氏模量進(jìn)行了精確的測(cè)量。實(shí)驗(yàn)中，我們先將單根Al2O3晶須固定在Si基底的邊緣，然后采用LVD來(lái)采集Al2O3納米晶須自由端的熱噪聲譜。圖1（a）和（b）對(duì)應(yīng)于同一Al2O3納米晶須的光學(xué)照片和掃描電子顯微鏡（SEM）照片，由此可測(cè)出Al2O3懸臂梁的長(zhǎng)度為79.8μm。由高分辨SEM照片圖1（c）可知，Al2O3晶須的等效直徑（六邊形截面的對(duì)角線長(zhǎng)度）d為295 n m。圖1（d）為Al2O3納米晶須的熱激發(fā)－速度譜，由此可得前三級(jí)振動(dòng)模：f1＝63 k Hz，f2＝396 k Hz和f3＝1 130 k Hz。因?yàn)閒2／f1＝6.286和f3／f1＝17.937與對(duì)應(yīng)的理論值6.267和17.551高度一致，可將Al2O3納米晶須視為理想的懸臂梁，且可以判斷出空氣粘滯阻力并不會(huì)引起納米晶須的振動(dòng)模發(fā)生明顯改變。

將實(shí)驗(yàn)測(cè)量到的d、L 和fn，以及I＝代入方程（4），可算出與三個(gè)振動(dòng)模相對(duì)應(yīng)的楊氏模量E分別為450，453和452 GPa。由于 Al2O3［0001］單晶的楊氏模量為435～475 GPa，所以Al2O3納米晶須的楊氏模量與對(duì)應(yīng)的塊單晶體材料并沒(méi)有明顯區(qū)別。

此外，也可以通過(guò)Al2O3納米晶須的熱激發(fā)功率密度譜的面積，即各級(jí)振動(dòng)模的振幅的方均值，〈qi2〉，來(lái)計(jì)算其楊氏模量。比如，由圖1（e）可得，〈q21〉＝6.0 nm2，通過(guò)公式（5）可得E＝446 GPa，與通過(guò)共振頻率算出的約450 GPa完全一致。

3 結(jié) 論

基于能量均分定量和懸臂梁振動(dòng)理論，分析討論了微懸臂梁熱振動(dòng)的物理模型，并列舉了利用該物理模型來(lái)標(biāo)定微懸臂梁的彈性常數(shù)、估測(cè)和定量測(cè)量納米晶須楊氏模量的三個(gè)實(shí)例。本文中所討論的理論模型，忽略了空氣對(duì)懸臂梁的阻尼，且沒(méi)有考慮量子效應(yīng)對(duì)熱振動(dòng)譜的影響（在高頻和低溫條件下有比較明顯的影響）。如要進(jìn)行更精密的測(cè)量，則需要對(duì)本文中涉及的物理模型進(jìn)行拓展和修正。

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