章力軍，丁德勝

(1.靖江市計量測試技術(shù)研究所，江蘇靖江214500;2.東南大學電子科學與工程學院，南京210096)

聲波和電磁波的一些輻射或衍射問題可歸結(jié)于菲涅爾(Fresnel)場積分的求解。例如，超聲換能器輻射聲場;激光束經(jīng)過光闌或孔徑后的光場分布。然而，在大多數(shù)情況下，這一公式是一個二維的、強烈振蕩的積分，沒有解析形式的解。聲場分布通常只能用數(shù)值逐點積分或級數(shù)展開來計算，計算十分復雜。

高斯束(一般也稱基函數(shù)或高斯函數(shù))展開方法已廣泛應用于快速計算菲涅爾場積分，即聲場分布的計算。這種方法的實質(zhì)是將菲涅爾場積分展開為一系列簡單的基本函數(shù)的疊加，因而復雜的數(shù)值積分簡化為一些簡單函數(shù)(如 Gaussian-Laguerre、Guassian-Hermite、高斯函數(shù)等)且項數(shù)不多的計算［1-5］，計算量大為降低［1-22］。有關(guān)這一方法的詳細描述可以參考綜述文獻［22］。

本文給出高斯函數(shù)展開法的進一步推廣。將文獻中的圓形或矩形函數(shù)的高斯函數(shù)近似展開作為已知的結(jié)果，通過簡單的數(shù)學變換，將貝塞爾函數(shù)和一階Struve函數(shù)等特殊函數(shù)表示成高斯函數(shù)或其他簡單函數(shù)的疊加。利用這一方法，計算了聲學中一類活塞型聲源的指向性函數(shù)以及均勻活塞的輻射阻抗函數(shù)。與直接計算特殊函數(shù)值相比，我們的方法給出了相當一致的結(jié)果。本文的方法是文獻［20-21］研究結(jié)果的一種直接推廣，作為我們一系列研究報告的一部分。

1 菲涅爾場積分和高斯展開法

在菲涅爾近似或傍軸近似下，圓形軸對稱分布的聲源的輻射聲場可表示為［20-21］

這里，無量綱徑向坐標ξ=r/a和η=z/r0.r和z對應為圓柱坐標系中的徑向和軸向坐標。瑞利距離定義為r0=ka2/2，菲涅爾距離z0=a2/λ，且r0=πz0.k是波數(shù)，λ表示波長。a為聲源的特征半徑。對于實際的聲源，a一般取換能器的半徑.式(1)中的傳播因子 exp［-i(ωt-kz)］已省略.

Wen 和 Breazeale［4-5］將式(1)中的源分布函數(shù)展開成一系列高斯函數(shù)的疊加，即

其中Ak和Bk稱之為展開系數(shù)和高斯系數(shù)。對于一給定的源函數(shù)，系數(shù)Ak和Bk可以用計算機最優(yōu)化方法來求得。一旦得出這些系數(shù)，則場積分化為一組高斯束的疊加:

其中

為高斯聲源exp(-Bkξ2)的場分布。

Wen和Breazeale給出了兩個經(jīng)典的例子，其中之一為圓形均勻活塞聲源的一組展開系數(shù)(N=10)［4］。利用這組10項高斯函數(shù)，能以相當高的精度計算出圓形均勻活塞的聲場分布。在整個聲場區(qū)域中，除了極靠近聲源的近場(＜0.12倍的菲涅爾距離)有一定的誤差外，高斯函數(shù)展開方法所得結(jié)果，與直接數(shù)值積分計算結(jié)果符合很好［4］。

數(shù)學上，這一工作意味著圓形函數(shù)

可以在整個［0，+∞)區(qū)間上展開一系列高斯函數(shù)的近似疊加，即

除了上面提到的文獻［4］中的表1所列的一組展開系數(shù)，文獻［5，19］給出了另外兩組數(shù)據(jù)(項數(shù)稍多，一組15項，一組25項)。高斯近似展開式(6)在衍射理論中十分重要，可以簡化許多復雜問題的計算和分析［6-21］。

以下我們將展開式(6)看作一已知結(jié)果，給出一類活塞聲源指向性函數(shù)和均勻活塞聲源輻射阻抗的一種簡單的計算方法和結(jié)果。

2 指向性函數(shù)

根據(jù)定義，圓形軸對稱活塞聲源的輻射指向性函數(shù)與下面的積分直接相關(guān):

式(7)即遠場近似下的夫瑯和費(Fraunhofer)衍射積分，可以看作傳播距離z或η足夠大(趨向無窮遠)時，式(1)的極限情形。如通常文獻中，式(7)中表示球面波擴散項 exp(iξ2/η)/(iη)已省略。

聲學中一類重要的活塞聲源的源函數(shù)可由下面的函數(shù)或這些函數(shù)的線性疊加來表示:

其中n=0對應于圓形均勻活塞聲源;n=1和n=2分別對應于最簡單的邊緣支撐和鉗定的活塞聲源。將式(8)代入式(7)，分步積分并利用貝塞爾函數(shù)的積分公式，可得

若以球坐標表示，2ξ/η=katanθ，上式可寫為

其中歸一化波數(shù)ka=2πa/λ，θ為方位角。

歸一化指向性函數(shù)為

式(9)和式(10)實際上為無限遠(離開聲源足夠遠)平面上的聲場分布，而遠場指向性函數(shù)是定義在無限大球面上的。故只需將式(10)中的正切函數(shù)換成正弦函數(shù)，即得指向性函數(shù)式(11)。當方位角不太大時，兩者差異并不大。

與文獻［20］中推導過程類似，將式(6)視作已知結(jié)果，利用傅立葉-貝塞爾變換，可得一般結(jié)果

這里要注意的是，式(12)中系數(shù)Ak和Bk與式(6)為同一組數(shù)據(jù)。必然要問式(12)右邊的展開精度如何?也就是說，在多大范圍內(nèi)能以較高的精度匹配左邊的原函數(shù)。文獻［20］中的圖2給出了一個比較(ν=0，左邊即第一類零階貝塞爾函數(shù)J0)。10項高斯展開，在大約0～20區(qū)間上，與J0符合很好，相對誤差大約1%～2%。而另外一組15項的展開系數(shù)［5］在大約0～30的范圍內(nèi)，可以更好地擬合J0。容易驗證，ν=1、ν=2的情形與此類似，擬合的區(qū)間稍有擴大。

圖1給出3種聲源的遠場指向性函數(shù)。圖中的曲線分別采用近似展開(12)和直接計算貝塞爾函數(shù)所得，可見兩種方法所得結(jié)果頗相符合。計算中所用的數(shù)據(jù)為文獻［4］中表1所列的一組10項展開系數(shù)。對于更大的ka值，如ka=100(主要出現(xiàn)在超聲場中)，這組展開系數(shù)，直到方位角θ≈15°的范圍，可以給出準確的指向性函數(shù)值。更大角度以外的指向性在超聲應用中已不重要。這組10項的展開系數(shù)可以滿足聲學工程中大多數(shù)的計算需要。

圖1 指向性函數(shù)ka=8

3 輻射阻抗

眾所周知，輻射阻抗是聲學中一個很重要的參量，即由于聲源振動，聲輻射引起的附加于聲源的力阻抗。在電聲器件的設計中，除了要知道電聲器件振動系統(tǒng)的力學參數(shù)如質(zhì)量、彈性系數(shù)和力阻外，還必須知道由輻射聲場對聲源的反作用而產(chǎn)生的附加輻射阻和同振質(zhì)量。

求聲源的輻射阻抗，實際上即求聲源振動時，媒質(zhì)中的輻射聲場對聲源的反作用力。除了少數(shù)幾種非常簡單的聲源，一般情況下，輻射阻抗的計算涉及到雙二重積分的求積，通常也是振蕩型積分。即便是一些分布和形狀的非常簡單的聲源，如矩形均勻活塞聲源，阻抗函數(shù)仍為二重振蕩型積分。

均勻圓形活塞的輻射阻抗，經(jīng)前人的努力，歸結(jié)于阻函數(shù)和抗函數(shù)(歸一化的阻抗函數(shù))的計算?；钊淖韬瘮?shù)

其中x=2ka?？购瘮?shù)為

這里H1(x)為一階Struve函數(shù)，其積分表達式

當x＜1 或x＞10 時，可由式(13)、式(14)的級數(shù)展開和漸近展開得出簡單而有用的近似解。介于兩者之間，無簡單的解析近似解。鑒于Struve函數(shù)在衍射理論中十分重要，而文獻中關(guān)于這個函數(shù)的計算方法很少，我們給出1階Struve函數(shù)H1(x)的高斯展開。利用式(6)，經(jīng)過一系列的推導，可以得出H1(x)的高斯函數(shù)展開(這里沒有直接寫出，很顯然由上面的式(14)和下面的式(16)可以得出)，而抗函數(shù)表示為

圖2給出了活塞的阻函數(shù)和抗函數(shù)計算結(jié)果。其中R1(x)分別采用近似展開(12)和直接計算貝塞爾函數(shù)所得，兩種方法所得結(jié)果頗相符合。對于抗函數(shù)X1(x)，我們把根據(jù)式(16)的計算結(jié)果，與課本［23］中x=0(0.5)20的數(shù)值相比較，相對誤差大約1%～2%。

圖2 活塞的阻函數(shù)和抗函數(shù)

4 結(jié)語

我們給出了高斯函數(shù)展開法的推廣，將圓形函數(shù)的高斯展開作為已知結(jié)果，通過簡單的數(shù)學變換，將貝塞爾函數(shù)和一階Struve函數(shù)表示成高斯函數(shù)的近似和。計算了聲學中一類活塞型聲源的指向性函數(shù)和活塞的輻射阻抗函數(shù)，與直接計算特殊函數(shù)的結(jié)果相比，我們的方法給出了相當一致的結(jié)果?？梢灾赋龅氖?，本文的方法也可應用于天線輻射等其他問題。一些天線的輻射指向性和阻抗函數(shù)，常常可表示為一些特殊函數(shù)，利用一些數(shù)學變換，這些特殊函數(shù)應當可以表示成式(6)或式(12)的類似形式，從而可以簡化計算和分析。最后我們指出，本文提供的這些例子，意味著現(xiàn)在的計算方法，可以作為特殊函數(shù)計算(精度要求不是太高)的補充。計算精度主要取決于式(6)的展開系數(shù)。作者希望我們的應用數(shù)學家給出具有更高精度的圓形函數(shù)的高斯展開系數(shù)。

［1］Cook B D，ArnoultW J，Ⅲ.Gaussian-Laguerre/Hermite Formulation forthe Nearfield ofan Ultrasonic Transducer［J］.J Acoust Soc Amer，1976，59(9):9-11.

［2］Cavanagh E，Cook B D.Gaussian-Laguerre Description of Ultrasonic Fields—Numerical Example:Circular Piston［J］.J Acoust Soc Amer，1980，67:1136-1140.

［3］Thompson R B，Gray T A，J，et al.The Radiation of Elliptical and Bicylindrically Focused Piston Transducers［J］.J Acoust Soc Amer，1987，82:1818-1828.

［4］Wen J J.Breazeale M A.A Diffraction Beam Field Expressed as the Superposition of Gaussian Beams［J］.J Acoust Soc Amer，1988，83:1752-1756.

［5］Wen J J，Breazeale M A.Gaussian Beam Functions as a Base Function Set for Acoustical Field Calculations［C］//IEEE Proc Ultras Symp，1987:1137.

［6］丁德勝，林靖波，水永安，等.活塞式超聲換能器聲場的一種解析描述［J］.聲學學報，1993，18:245-249.

［7］丁德勝，陸祖宏.活塞類聲場的簡化算法［J］.聲學學報(增刊)，1996，21:421-428.

［8］Ding D S，Liu X J.Approximate Description for Bessel，Bessel-Gauss and Gaussian Beams with Finite Aperture［J］.J Opt Soc A-mer，1999(A16):1286-1293.

［9］Spies M.Transducer Field Modeling in Anisotropic Media by Superposition of Gaussian Base Function［J］.J Acoust Soc Amer，1999，105:633-638.

［10］Zhang Y，Liu J Q，Ding D S.Sound Field Calculations of Elliptical Pistons by the Superposition of Two-Dimensional Gaussian Beams［J］.Chin Phys Lett，2002，19:1825-1827.

［11］Ding D S，Zhang Y，Liu J S.Some Extensions of the Gaussian Beam Expansion:Radiation Fields of the Rectangular and the Elliptical Transducer［J］.J Acoust Soc Amer，2003，113:3043-3048.

［12］Ding D S，Zhang Y.Notes on the Gaussian Beam Expansion［J］.J Acoust Soc Amer，2004，116:1401-1405.

［13］Ding D S，Xu J Y.The Gaussian Beam Expansion Applied to Fresnel Field Integrals［J］.IEEE Trans UFFC，2006，53:246-250.

［14］Ding D S，Shui Y A，Lin J B，et al.A simple Calculation Approach for the Second Harmonic Sound Field Generated by an Arbitrary Axial-Symmetric Source［J］.J Acoust Soc Amer，1996，100:727-733.

［15］Ding D S，Lu Z H.A Simplified Calculation for the Second-Order Fields Generated by Axial-Symmetric Sources at Bifrequency［C］//Proc of the 14th Inter Symp on Nonlin Acoust.1996:183-188.

［16］Ding D S.A Simplified Algorithm for the Second-Order Sound Fields［J］.J Acoust Soc Amer，2000，108:2759-2764.

［17］Ding D S，Zhang Y.A Simple Calculation Approach for the Second-Harmonic Sound Beam Generated by an Arbitrary Distribution Source［J］.Chin Phys Lett 2004，21:503-506.

［18］Ding D S.A Simplified Algorithm for Second-Order Sound Beams with Arbitrary Source Distribution and Geometry(L)［J］.J Acoust Soc Amer，2004，115:35-37.

［19］Kim H J，Schmerr L W，Sedov A.Generation of the Basis Sets for Multi-Gaussian Ultrasonic Beam Models—An Overview［J］.J Acoust Soc Amer，2006，119:1971-1978.

［20］Ding D S，Tong X J，He P Z.Supplementary Notes on the Gaussian Beam Expansion［J］.J Acoust Soc Am，2005，118:608-611.

［21］Dai Y R，Ding D S.Further Notes on the Gaussian Beam Expansion［J］.Chin Phys Lett，2012，29:024301.

［22］Ding D S，Liu X J，Huang J H.Progress of Acoustics in China［M］.Cheng J C，Tian J，eds.Bejing:Science Press，2008:55

［23］杜功煥，朱哲民，龔秀芬.聲學基礎(下)［M］.上海:上海科學技術(shù)出版社，1981:288.