[摘 要] 初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是小學(xué)數(shù)學(xué)的提升和應(yīng)用，更注重學(xué)生對(duì)實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析和解決，而數(shù)學(xué)建模思想的滲透和應(yīng)用則能有效地幫助學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題，所以數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用成為我們教學(xué)中不得不深入思考和實(shí)踐的重點(diǎn).

[關(guān)鍵詞] 有效；情境；智慧；啟發(fā)；建模

所謂數(shù)學(xué)建模思想，可以簡(jiǎn)單地認(rèn)為是對(duì)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)過(guò)深入思考和分析后，把實(shí)際問(wèn)題抽象成一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，并找到相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法得以有效解決. 而在我們的實(shí)際初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，如何滲透數(shù)學(xué)建模思想，讓每一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題建立在實(shí)際問(wèn)題的基礎(chǔ)之上，幫助學(xué)生在原有知識(shí)與技能的基礎(chǔ)上拓展新的知識(shí)與技能，從而解決實(shí)際的數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？在解決的過(guò)程中，我們可讓學(xué)生在思維過(guò)程中產(chǎn)生解決問(wèn)題的思維模型，即問(wèn)題對(duì)應(yīng)知識(shí)，知識(shí)對(duì)應(yīng)應(yīng)用，應(yīng)用滲透思想，思想提升能力. 因而，作為初中數(shù)學(xué)教師，我們應(yīng)做到以下幾點(diǎn)，以真正滲透數(shù)學(xué)建模思想，真正提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，最終轉(zhuǎn)變成學(xué)生的固有數(shù)學(xué)素養(yǎng).

■ 有效的情境創(chuàng)設(shè)

無(wú)論是哪一版的數(shù)學(xué)教材設(shè)置，都在竭盡全力地為學(xué)生創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備的情境，在情境中引發(fā)問(wèn)題的源頭，從而幫助學(xué)生建構(gòu)新的知識(shí)認(rèn)知系統(tǒng)，形成新的數(shù)學(xué)技能，并解決課堂初所創(chuàng)設(shè)的實(shí)際問(wèn)題，而實(shí)際問(wèn)題的解決過(guò)程就是讓學(xué)生不斷積累數(shù)學(xué)建模思想. 那么，這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的創(chuàng)設(shè)能否真正引發(fā)學(xué)生思考，能否引發(fā)學(xué)生的思維興趣，就成為關(guān)鍵所在. 因此，有效的情境創(chuàng)設(shè)是數(shù)學(xué)建模思想不斷滲透和形成的前提. 比如用函數(shù)來(lái)表示實(shí)際問(wèn)題中數(shù)量之間的關(guān)系，并在函數(shù)規(guī)律的探索中獲知實(shí)際問(wèn)題中的本質(zhì)規(guī)律，這就是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中一個(gè)重要的建模思想. 在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們少不了見(jiàn)到這類問(wèn)題：“小明在A處放牛，他每天先牽牛到河邊l喝水，再牽牛到B處吃草，請(qǐng)問(wèn)他所走的最短路線是什么？”這就是數(shù)學(xué)中有名的“牽牛喝水”問(wèn)題，答案在我們學(xué)習(xí)了笛卡兒的解析幾何后變得很簡(jiǎn)單. 首先，把放牛的A點(diǎn)看作一個(gè)定點(diǎn)，河邊l看作一條直線，最后，吃草的地方B也看作一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)A和點(diǎn)B在直線l的同一側(cè). 那么答案就是先作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連結(jié)A′B與l交于點(diǎn)C，那么點(diǎn)C就是在河邊喝水的地方，A′B就是最短的路線，這道題目就這樣被解決了. 而這其中的原理也很簡(jiǎn)單，那就是兩點(diǎn)之間，線段最短. 而在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，我們?nèi)绾尾拍馨褜?shí)際有效的情景問(wèn)題服務(wù)于學(xué)生建模思想的形成呢？

以蘇科版八年級(jí)上“一次函數(shù)的圖象”的第一課時(shí)的教學(xué)為例，教師應(yīng)充分分析學(xué)生感興趣的話題，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅僅是為了考試，還是為了更好地服務(wù)于學(xué)生的生活和學(xué)習(xí). 學(xué)生在學(xué)習(xí)“一次函數(shù)的圖象”時(shí)，正好是初二學(xué)生學(xué)習(xí)“速度”的時(shí)候，據(jù)物理教師介紹，學(xué)生在“速度”環(huán)節(jié)中，對(duì)于數(shù)形結(jié)合中的讀圖能力有待提升. 因此，在我們和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“一次函數(shù)的圖象”時(shí)，我們不妨以一道和物理相關(guān)的實(shí)際情境題來(lái)引發(fā)學(xué)生的思維.

情境：王教授和孫子小強(qiáng)經(jīng)常一起進(jìn)行早鍛煉，主要活動(dòng)是爬山. 有一天，小強(qiáng)讓爺爺先爬，然后追趕爺爺. 圖1中的兩條線段分別表示小強(qiáng)和爺爺離開(kāi)山腳的距離y（米）與爬山所用時(shí)間x（分）的關(guān)系（從小強(qiáng)開(kāi)始爬山時(shí)計(jì)時(shí)）.

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這道題目的原型來(lái)自于學(xué)生當(dāng)時(shí)物理課堂的課堂鞏固題，選擇這道題的目的是為了驗(yàn)證學(xué)生對(duì)物理情境和數(shù)學(xué)圖象的結(jié)合和轉(zhuǎn)化過(guò)程，這樣的問(wèn)題情境呈現(xiàn)在學(xué)生面前，學(xué)生會(huì)感到非常熟悉，而因?yàn)榍榫车氖煜?，則能充分激發(fā)學(xué)生解決它的興趣和欲望，并在解決的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)對(duì)圖象模型的分析能有效地幫助物理學(xué)習(xí)，會(huì)再次讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)這門工具學(xué)科的價(jià)值所在. 這樣的情境創(chuàng)設(shè)即為有效的情境，既能鋪墊知識(shí)的構(gòu)建，又能揭示數(shù)學(xué)的學(xué)科魅力，還能潛意識(shí)地滲透建模思想的作用和價(jià)值.

■ 智慧的啟發(fā)提問(wèn)

在數(shù)學(xué)課堂之中，教師應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)有效的實(shí)際情境，激發(fā)學(xué)生參與課堂的主動(dòng)性，激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維的興趣點(diǎn)，在這樣的前提下，教師還要注重自己主導(dǎo)地位的重要性，導(dǎo)之有方、導(dǎo)之于理，才能把學(xué)生的思維引向一個(gè)正確的方向，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣形成一個(gè)良性循環(huán). 因此，這個(gè)“導(dǎo)”的關(guān)鍵在于教師的智慧，在于教師課堂駕馭的智慧之旅. 我們的提問(wèn)應(yīng)環(huán)環(huán)相扣，既暴露學(xué)生原有思維中的錯(cuò)誤思考，還要讓學(xué)生在教師的啟發(fā)式提問(wèn)下，發(fā)現(xiàn)自己原有思維中的不足和錯(cuò)誤，從而沿著教師的提問(wèn)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題，提升新知識(shí)和新技能. 比如教學(xué)蘇科版“全等三角形的判定”時(shí)，本節(jié)知識(shí)與技能的目標(biāo)中就要求學(xué)生能夠結(jié)合自己對(duì)全等三角形性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，逐一推導(dǎo)出全等三角形的判定定律. 比如學(xué)生通過(guò)作圖的方法已經(jīng)獲知一邊一內(nèi)角或兩內(nèi)角或兩邊相等的兩個(gè)三角形不一定是全等三角形，而在這種情況下，教師可提問(wèn)：那么三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形能全等嗎？在這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，有一大部分學(xué)生會(huì)因?yàn)閮蓚€(gè)原因而產(chǎn)生錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，一個(gè)是因?yàn)閷W(xué)生知道三條邊相等的兩個(gè)三角形是全等三角形，這時(shí)學(xué)生會(huì)誤認(rèn)為三個(gè)內(nèi)角相等的兩個(gè)三角形也全等. 第二個(gè)原因是學(xué)生知道兩個(gè)內(nèi)角相等兩個(gè)三角形不全等，他們會(huì)誤認(rèn)為是相等的角太少而不全等，如果三個(gè)角都相等了應(yīng)該就會(huì)全等. 學(xué)生在初步思考后產(chǎn)生這樣的錯(cuò)誤思維是很正常的，這時(shí)教師可以采用啟發(fā)式提問(wèn)的方式讓學(xué)生自己感悟到自己思維的錯(cuò)誤，比如，師：等邊三角形的內(nèi)角為多少度？生：60°. 師：那么，給我們兩個(gè)等邊三角形，這兩個(gè)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角是否相等？生齊聲：相等. 師：那么，任意兩個(gè)等邊三角形一定全等嗎？這樣的提問(wèn)會(huì)讓學(xué)生幡然醒悟，所以，無(wú)論哪種錯(cuò)誤的思維，教師都可以通過(guò)提問(wèn)的方式，讓學(xué)生在自己原有的經(jīng)驗(yàn)上完善或構(gòu)建新的正確認(rèn)識(shí)，形成正確的模型. 教師提問(wèn)的前提是讓學(xué)生先憑借自己的經(jīng)驗(yàn)來(lái)構(gòu)建一個(gè)抽象、簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)模型，再透過(guò)教師的提問(wèn)來(lái)驗(yàn)證學(xué)生自我構(gòu)建的模型的正確與否，這種模型檢驗(yàn)的思想透過(guò)教師長(zhǎng)期的啟發(fā)式提問(wèn)滲透到學(xué)生固有的思維之中，能讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)的過(guò)程中，逐漸學(xué)會(huì)自我檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷姆椒?，逐漸幫助學(xué)生提升建模能力.

■ 自主的方法歸納

學(xué)生建模思想的真正形成，不僅要靠教師長(zhǎng)期不懈的科學(xué)滲透和引導(dǎo)，還要讓學(xué)生把教師所要滲透的建模思想應(yīng)用到自己的解題過(guò)程中，讓建模思想很好地服務(wù)于學(xué)生的解題. 這時(shí)就不僅僅是為了建模而建模，而是為了解決實(shí)際問(wèn)題而建模，是為了更好地完善自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)而建模，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的核心地位. 因此，在學(xué)生平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師應(yīng)讓學(xué)生自發(fā)地總結(jié)自己對(duì)方法的認(rèn)識(shí)，把一系列的建模思想進(jìn)行有效地歸類，并拿去解決一類問(wèn)題，這樣，學(xué)生在實(shí)際問(wèn)題的解決過(guò)程中，就能不斷積累建模的方法，形成完善的建模思想. 比如中考中的一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題是存在性問(wèn)題的研究，在中考中，存在性問(wèn)題分為很多種，下面以面積類存在性問(wèn)題進(jìn)行交流. 在進(jìn)行面積類存在性問(wèn)題的解決過(guò)程中，我們通過(guò)學(xué)生的訓(xùn)練、反饋、批閱、分析、交流等環(huán)節(jié)，最終從學(xué)生的層面上獲取解決面積類存在性問(wèn)題的一類模型. 如：幾何法就要首先確立目標(biāo)，而代數(shù)法則首先要準(zhǔn)確定位，在解題的過(guò)程中兩種方法應(yīng)相互結(jié)合. 但在思維的過(guò)程中，我們形成了兩種常見(jiàn)的建模方法，一是先根據(jù)幾何特性確定存在性，再列出方程求解，最后再整合題目意思進(jìn)行有效地篩選、取舍. 二是先假設(shè)存在，根據(jù)假設(shè)的情況列出方程，再根據(jù)解出的方程結(jié)果來(lái)驗(yàn)證假設(shè)的存在與否. 這些方法的總結(jié)都?xì)w納在學(xué)生有效科學(xué)的訓(xùn)練基礎(chǔ)之上，并通過(guò)教師的引導(dǎo)，讓學(xué)生總結(jié)出來(lái).

教師除了引導(dǎo)之外，還應(yīng)在學(xué)生訓(xùn)練時(shí)給學(xué)生提供科學(xué)、有效并具有指導(dǎo)意義的訓(xùn)練題目. 比如下面這道例題.

例題 如圖2所示，在平面直角坐標(biāo)系中，A，B分別在x軸、y軸上，線段OA，OB的長(zhǎng)（OA

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo).

（2）求直線AD的解析式.

（3）在直線AD上是否存在點(diǎn)P，使以O(shè)，A，P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

變式1 在問(wèn)題（3）的條件下，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以O(shè)，A，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

變式2 在例題的條件下，在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)M，使以A，C，D，M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

變式3 在例題的條件下，在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)N，使以A，C，D，N為頂點(diǎn)的四邊形是梯形.

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這樣的課堂變式，以原題為基礎(chǔ)，以學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)為變式前提，結(jié)合可能出現(xiàn)的問(wèn)題情境，給學(xué)生更多思維變通的機(jī)會(huì)和空間，確保學(xué)生在思維中找到建立數(shù)學(xué)模型的靈感，并在變式解題過(guò)程中，自主地尋找變式中的規(guī)律和方法，從建模開(kāi)始，形成自己的建模思想，從而解決問(wèn)題，提升自己的解題能力.