[摘 要] 引導(dǎo)學(xué)生在積極參與教學(xué)活動(dòng)的過程中，通過獨(dú)立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學(xué)思想方法，才能有效地應(yīng)用知識(shí)、形成能力，從而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng). 筆者結(jié)合“二次函數(shù)”復(fù)習(xí)課就感悟數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行了積極的探索.

[關(guān)鍵詞] 價(jià)值引導(dǎo)；自主建構(gòu)；數(shù)學(xué)思想與方法

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容，是獲取知識(shí)、發(fā)展思維能力的重要工具. 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確提出數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分，也充分反映了數(shù)學(xué)思想的重要性. 學(xué)生只有領(lǐng)會(huì)了數(shù)學(xué)思想方法，才能有效地應(yīng)用知識(shí)、形成能力，從而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng). 數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)眾多數(shù)學(xué)思想中最重要也最基本的思想之一，它在初中數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，是解決許多數(shù)學(xué)問題的有效思想，同時(shí)也是歷年中考的重點(diǎn)考查內(nèi)容.

在平時(shí)的教研活動(dòng)中，筆者常常發(fā)現(xiàn)，由于教師本人對(duì)數(shù)形結(jié)合思想理解得不足，導(dǎo)致思想方法的滲透流于口頭表達(dá)形式或是“蜻蜓點(diǎn)水”式地提一提，學(xué)生不能較好地感悟和應(yīng)用. 那么，如何引導(dǎo)學(xué)生在積極參與教學(xué)活動(dòng)的過程中，通過獨(dú)立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)形結(jié)合思想呢？筆者結(jié)合“二次函數(shù)”復(fù)習(xí)課對(duì)此進(jìn)行了探索，教學(xué)過程簡錄如下.

回顧復(fù)習(xí)、自主探究——體驗(yàn)

數(shù)形結(jié)合思想

若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的x與y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：

1. 觀察表格，你能得到哪些信息？

利用二次函數(shù)的對(duì)稱性可知圖象的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)、圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、圖象的增減性，可用三種不同方法求出二次函數(shù)的解析式.

2. 能否采用其他方法，得到更多的信息？

畫草圖（圖象法）. 如圖1，當(dāng)x=-1和x=3時(shí)，y=0；當(dāng)-10；當(dāng)x<-1或x>3時(shí)，y<0.

3. 如圖2，求△CDB的面積.

4. 以上信息的獲得，用了什么數(shù)學(xué)思想方法？——數(shù)形結(jié)合思想.

5. 那么，“數(shù)”與“形”怎么結(jié)合呢？你是怎樣理解的？

【設(shè)計(jì)意圖】 通過獨(dú)立思考、自主探究，回顧復(fù)習(xí)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并以此為知識(shí)的“生長點(diǎn)”，為后續(xù)學(xué)習(xí)搭建“腳手架”；結(jié)合價(jià)值引導(dǎo)，幫助學(xué)生體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想.

引導(dǎo)探究、合作研討——感悟

數(shù)形結(jié)合思想

1. 以“形”助“數(shù)”——借助“形”的生動(dòng)和直觀性來闡明“數(shù)”之間的聯(lián)系.

（1）請(qǐng)采用盡可能多的方法解下列方程（自主探究、合作交流）.

-x2+2x+3=0？搖（一般解法、圖象法）

（2）借鑒上題解題經(jīng)驗(yàn)，快速解下列方程（自主探究）.

-x2+2x+3=3？搖？搖？搖？搖？搖 -x2+2x+3=2

-x2+2x+3=-x+3

（3）判斷下列方程解的個(gè)數(shù)（自主探究）.

-x2+2x+3=4？搖？搖？搖 ？搖 -x2+2x+3=5

-x2+2x+3=2

（4）解下列不等式（自主探究、合作交流）.

-x2+2x+3>3？搖？搖？搖？搖？搖-x2+2x+3<2

-x2+2x+3>-x+3

（5）若y=-x2+2x+3（0≤x≤3），求y的取值范圍（自主探究）.

若y=-x2+2x+3（-2≤x≤2），求y的取值范圍.

（6）反思：通過以上練習(xí)你有何感想？獲得了哪些解題經(jīng)驗(yàn)？

方程、不等式問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，可以通過圖象法解決；以“形”助“數(shù)”， “數(shù)”借助“形”可以使抽象的問題生動(dòng)化和直觀化.

【設(shè)計(jì)意圖】 主要從以“形”助“數(shù)”的角度感悟數(shù)形結(jié)合思想. 根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特征，通過價(jià)值引導(dǎo)，設(shè)計(jì)有層次性的變式練習(xí)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，積累解題經(jīng)驗(yàn).

方法二：利用二次函數(shù)的增減性比較大小.

方法二：通過二次函數(shù)的對(duì)稱性，先把對(duì)稱軸異側(cè)的兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為同側(cè)，再利用二次函數(shù)的增減性比較大小.

方法三：根據(jù)圖象可知，若拋物線的開口向下，點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離越近，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大；點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離越遠(yuǎn)，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)越小. （反之……）

（5）反思：通過以上練習(xí)你有何感想？獲得了哪些解題經(jīng)驗(yàn)？

圖形的某些屬性或特征可以借助“數(shù)”的精確性來闡明；數(shù)形結(jié)合思想就是以“形”助“數(shù)”、以“數(shù)”解“形”，通常往往要兩者結(jié)合.

【設(shè)計(jì)意圖】 主要從以“數(shù)”解“形”的角度感悟數(shù)形結(jié)合思想. 通過變式練習(xí)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，積累解題經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，即以“數(shù)”化“形”、以“形”變“數(shù)”的結(jié)合.？搖

綜合應(yīng)用、提高素養(yǎng)——應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想

例題 ？搖在火箭主場(chǎng)與湖人的一場(chǎng)比賽中，科比在距籃4米處跳投，球運(yùn)行的路線是拋物線，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5米時(shí)，達(dá)到最大高度3.75米，然后球準(zhǔn)確落入籃圈，已知籃圈中心到地面的距離為3.05米.

1. 建立如圖3所示的坐標(biāo)系，求拋物線的解析式.

2. 姚明身高為2.26米，跳起能摸到的高度為3.45米，此時(shí)他上前封蓋，在離科比2米處時(shí)起跳（如圖4），能否成功封蓋住科比的此次投籃？

【設(shè)計(jì)意圖】 ？搖通過綜合應(yīng)用，進(jìn)一步感悟數(shù)形結(jié)合思想，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

數(shù)形結(jié)合思想

縱觀整節(jié)課，主要涉及了什么數(shù)學(xué)思想方法？你現(xiàn)在認(rèn)為“數(shù)”與“形”怎么結(jié)合？

數(shù)形結(jié)合思想就是看“形”思“數(shù)”、見“數(shù)”想“形”，實(shí)質(zhì)就是以“數(shù)”化“形”、以“形”變“數(shù)”的結(jié)合.

師：我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想用一首詩進(jìn)行了很好地詮釋：

數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微；

兩者結(jié)合萬般好，隔離分家萬事休.

【設(shè)計(jì)意圖】 通過反思，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，建構(gòu)理論，明確“數(shù)形結(jié)合”思想.