必做題部分
(考試時(shí)間:120分鐘 總分:160分)
一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共70分.
1. 已知全集U=R,集合M={x-2≤x-1≤2}和N={xx=2k-1,k=1,2,…}的關(guān)系的韋恩(Venn)圖如圖1所示,則陰影部分所示的集合的元素共有___________個(gè).
3. 命題“x∈R,x2+2>0”的否定是______命題. (填“真”或“假”之一)
4. 若A為不等式組x≤0,y≥0,y-x≤2表示的平面區(qū)域,則當(dāng)a從-2連續(xù)變化到1時(shí),動(dòng)直線x+y=a掃過(guò)A中的那部分區(qū)域的面積為_(kāi)________.
5. 橢圓x2+my2=1的焦點(diǎn)在y軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍,則m的值為_(kāi)________.
6. 已知函數(shù)f(x)=asinx+btanx+1,滿足f(5)=7,則f(-5)=_________.
11. 使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx對(duì)一切x∈R恒成立的負(fù)數(shù)a的取值范圍是_________.
12. 在周長(zhǎng)為16的△ABC中,AB=6,A,B所對(duì)的邊分別為a,b,則abcosC的取值范圍是_________.
14. 設(shè)函數(shù)f(x)=(1+x)2-mln(1+x),h(x)=x2+x+a. 若存在常數(shù)m,使函數(shù)f(x)和函數(shù)h(x)在公共定義域上具有相同的單調(diào)性,則m=_________.
二、解答題:本大題共6小題,共90分. 解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
(1)求∣b∣;
(2)求△ABC的面積.
(1)求證:BD⊥PC;
(2)求證:MN∥平面PDC;
(3)設(shè)平面PAB∩平面PCD=l,試問(wèn)直線l是否與直線CD平行,請(qǐng)說(shuō)明理由.
17. (本小題滿分15分)某人欲設(shè)計(jì)一個(gè)如圖3所示的“蝴蝶形圖案(陰影區(qū)域)”,其中AC,BD是過(guò)拋物線焦點(diǎn)F且互相垂直的兩條弦,該拋物線的對(duì)稱軸為EF,通徑長(zhǎng)為4. 記∠EFA=α,α為銳角.
(1)用α表示AF的長(zhǎng);
(2)試建立“蝴蝶形圖案”的面積S關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系S(α);
(3)為使“蝴蝶形圖案”的面積最小,應(yīng)如何設(shè)計(jì)α的大???
19. (本題滿分16分)已知函數(shù)f(x)=x-a-blnx.
(1)若a=0,b=1,求f(x)的最小值;
(2)若a>0,b=1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若a=0,b=-1,并且關(guān)于x的方程mf(x)=x2有唯一實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)當(dāng)t=1時(shí),若n∈N?鄢均有bn≥b5,求a的取值范圍;
(3)當(dāng)t≠1時(shí),是否存在正數(shù)數(shù)組(a,t,k),同時(shí)滿足:①a,t,k成等差數(shù)列;②{cn}為等比數(shù)列. 若存在,求出所有滿足題設(shè)的數(shù)組(a,t,k);若不存在,說(shuō)明理由.
理科附加題
(考試時(shí)間:30分鐘 總分:40分)
21. 【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每題10分,共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)做答,解答時(shí)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
A. (選修4-1:幾何證明選講)
如圖4,⊙O的直徑AB的延長(zhǎng)線與弦CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P,E為⊙O上一點(diǎn),AE=AC,求證:∠PDE=∠POC.
B. (選修4-2:矩陣與變換)
C. (選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程)
(1)寫(xiě)出曲線L和直線l的普通方程(以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建直角坐標(biāo)系);
(2)若AB,BC,AC成等比數(shù)列,求a的值.
D. (選修4-5:不等式選講)
【必做題】 第22題、23題,每題10分,共計(jì)20分. 請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)做答,解答時(shí)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
22. 從集合M={1,2,3,4,5,6,7,8,9}中,抽取三個(gè)不同元素構(gòu)成子集{a1,a2,a3}.
(1)求對(duì)任意的i≠j,滿足ai-aj≥2的概率;
(2)若a1,a2,a3成等差數(shù)列,設(shè)其公差為ξ(ξ>0),求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望.
23. 已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)為F(2,0).
(1)求拋物線C的方程;
(2)過(guò)N(-1,0)的直線交曲線C于A,B兩點(diǎn),又AB的中垂線交y軸于點(diǎn)D(0,t),求t的取值范圍.