重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查歸納推理思想，考查應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)；由數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)，考查轉(zhuǎn)化、變形、計(jì)算和推理能力；由Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)，通過(guò)構(gòu)造遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為遞推數(shù)列求通項(xiàng)，考查推理論證能力.

難點(diǎn)：由數(shù)列的遞推式求通項(xiàng)，因遞推式的不同，方法較多，差別很大.

方法突破

1. 創(chuàng)新題中的“觀察—?dú)w納—推理”思想

（1）由數(shù)列的前幾項(xiàng)求它的一個(gè)通項(xiàng)公式，要注意觀察每一項(xiàng)的特點(diǎn)，可使用添項(xiàng)、還原、分割等方法；對(duì)于正、負(fù)符號(hào)的變化，可用（-1）n或（-1）n+1來(lái)調(diào)整，轉(zhuǎn)化為一些常見(jiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式來(lái)求.

（2）由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是不完全歸納法，猜想出的通項(xiàng)公式只是一個(gè)“合情猜想”，對(duì)其正確性，通常用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

2.由數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式的技巧

（1）累加法：遞推關(guān)系式為an+1-an=f（n），采用累加法. “累加法”實(shí)為等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法.

（3）構(gòu)造法：遞推關(guān)系式為an+1=pan+q，an+1=pan+f（n），an+1=pan+qan-1等，都可以通過(guò)恒等變形，構(gòu)造出等差或等比數(shù)列，利用等差或等比數(shù)列的定義進(jìn)行解題，其中的構(gòu)造方法可通過(guò)待定系數(shù)法來(lái)確定.

3. 數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的轉(zhuǎn)化

當(dāng)題目中給出的數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系式為an=f（Sn）或Sn=f（an）時(shí)，我們通常利用公式an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2轉(zhuǎn)化為an或Sn的遞推關(guān)系式求解.

典例精講

六邊形數(shù)N（n，6）=2n2-n.

可以推測(cè)N（n，k）的表達(dá)式，由此計(jì)算N（10，24）=___________.

思索 本題可構(gòu)造新數(shù)列，其中p為常數(shù)，使之成為公比為3的等比數(shù)列，即an+1+p=3（an+p），然后用待定系數(shù)法求出p.

另外，對(duì)于形如an+1=pan+a·n+b形式的遞推式，還可以用“差分法”轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.

所以數(shù)列{an+1}是公比為3的等比數(shù)列，所以an+1=2·3n-1.

所以an=2·3n-1-1.

破解二 由an+1=3an+2，當(dāng)n≥2時(shí)，an=3an-1+2，

兩式相減得an+1-an=3（an-an-1），即數(shù)列{an+1-an}是公比為3的等比數(shù)列.

所以an-an-1=（a2-a1）·3n-2=4·3n-2，再由累加法得an-a1=4（3n-2+3n-1+…+3+1）=2（3n-1-1），所以an=2·3n-1-1.

對(duì)于不能直接運(yùn)用累乘法的情形，可先將原遞推式變形成這種形式，然后再用累乘法求解.

破解 因?yàn)閍n+1=5n·an，a1=3，

思索 該數(shù)列的遞推式中所含的3n是變量，而不是常量，故應(yīng)構(gòu)造新數(shù)列{an+λ3n}，其中λ為常數(shù)，使之成為公比是2的等比數(shù)列.

破解一 構(gòu)造數(shù)列{an+λ3n}，λ為不為0的常數(shù)，使之成為公比是2的等比數(shù)列，

即an+1+λ3n+1=2（an+λ3n），整理得an+1=2an+（2λ3n-λ3n+1）.

對(duì)照原遞推式可得2λ3n-λ3n+1=3n，所以λ=-1，

所以an+1-3n+1=2（an-3n），所以{an-3n}是首項(xiàng)為a1-31=-2，q=2的等比數(shù)列，所以an-3n=-2×2n-1，所以an=3n-2n.

變式練習(xí)

1. 設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-λn，若數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為（ ）

A. λ<2 B. λ≤2

C. λ<3 D. λ≤3

2. （2012年四川高考）記[x]為不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，例如，[2]=2，[1.5]=1，[-0.3]=-1. 設(shè)a為正整數(shù)，數(shù)列{xn}滿(mǎn)足x1=a，xn+1=（n∈N？鄢），現(xiàn)有下列命題：

①當(dāng)a=5時(shí)，數(shù)列{xn}的前3項(xiàng)依次為5，3，2；

②對(duì)數(shù)列{xn}都存在正整數(shù)k，當(dāng)n≥k時(shí)總有xn=xk；

③當(dāng)n≥1時(shí)，xn>-1；

④對(duì)某個(gè)正整數(shù)k，若xk+1≥xk，則.

其中的真命題有____________. （寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)）

3. 若已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=an+，則an=________.

4. 已知數(shù)列{an}中，a1=1，前n項(xiàng)和Sn=an，求{an}的通項(xiàng)公式.

5. 數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=5，前n項(xiàng)和Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N？鄢），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

參考答案

1. 法一（數(shù)列的單調(diào)性）：因?yàn)閿?shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，所以an+1>an（n∈N？鄢）恒成立，所以（n+1）2-λ（n+1）>n2-λn（n∈N？鄢），所以λ<（2n+1）min（n∈N？鄢），所以λ<3（n∈N？鄢），故選C.

對(duì)于②③④可以采用特殊值法列舉：當(dāng)a=1時(shí)，x1=1，x2=1，x3=1，…，xn=1，…，此時(shí)②③④均對(duì)；

當(dāng)a=2時(shí)，x1=2，x2=1，x3=1，…，xn=1，…，此時(shí)②③④均對(duì)；

當(dāng)a=3時(shí)，x1=3，x2=2，x3=1，x4=2，…，xn=1，…，此時(shí)③④均對(duì).

綜上，真命題有①③④.

5. 法一：由已知得Sn+1=2Sn+n+5（n∈N？鄢），得Sn=2Sn-1+n+4（n≥2），

相減得Sn+1-Sn=2（Sn-Sn-1）+1，即an+1=2an+1，即an+1+1=2（an+1）.

所以an+1=（a1+1）·2n-1=3·2n，所以an=3·2n-1.

法二：由已知Sn+1=2Sn+n+5（n∈N？鄢）得Sn+1+（n+1）+6=2（Sn+n+6），

所以數(shù)列{Sn+n+6}是公比為2的等比數(shù)列，Sn+n+6=（S1+1+6）·2n-1=3·2n+1，所以Sn=3·2n+1-n-6.