重點(diǎn)難點(diǎn)

本部分內(nèi)容由解二次不等式、高次不等式、分式不等式、絕對值不等式、含參不等式組成. 客觀題主要考查以上不等式的基本解法，或已知二次函數(shù)零點(diǎn)的分布來考查參數(shù)的取值范圍；主觀題常把對不等式的考查與其他知識相結(jié)合，比如考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用為主的試題中，解不等式在判斷函數(shù)單調(diào)性方面起到了關(guān)鍵作用.

重點(diǎn)：對于以上各種類型，一要熟練掌握它們各自的典型解法；二要注重提升運(yùn)算的準(zhǔn)確性，減少思路對而運(yùn)算錯的遺憾.

難點(diǎn)：含參不等式要做到正確分類，以做到各種情況不重不漏.

方法突破

1. 一元二次不等式的解法

先將二次項系數(shù)化正，再借助對應(yīng)二次函數(shù)的圖象寫出解集.

2. 高次不等式的解法

只要求會解可化為一邊是0，另一邊可分解為關(guān)于x的一次或二次因式的積的形式，解法用“標(biāo)根畫線”法，注意穿根時“奇穿偶回”.

3. 分式不等式的解法

4. 絕對值不等式的解法

絕對值不等式的求解關(guān)鍵是去掉絕對值符號. 含一個絕對值符號的不等式的常見解法是f（x）>g（x）？圯f（x）>g（x）或f（x）<-g（x）；f（x）

5. 含參不等式的解法

含參不等式可以是以上所列不等式中的任一種，只不過由于參數(shù)取值不確定往往需要進(jìn)行分類討論.

典例精講

思索 本例主要考查一元二次不等式的解法. 化為ax2+bx+c（a>0）的形式時，確保二次項的系數(shù)為正能提高準(zhǔn)確率，在借助二次函數(shù)的圖象求解時對相應(yīng)二次方程的判別式符號的判斷也是一個重要環(huán)節(jié).

（3）原不等式可化為x2-5x-14≤0，即（x-7）（x+2）≤0. 易得不等式的解集為{x-2≤x≤7}

思索 本例考查高次不等式的解法. 首先將式子左側(cè)化為若干個關(guān)于x的一次乘積的形式（注意x的系數(shù)為正），然后利用數(shù)軸標(biāo)根（注意根的實(shí)虛）畫線（從右上方畫起），畫線時注意“奇次穿偶次回”.

（2）由已知，原不等式可化為x-5≠0，（x+4）（x-1）>0，即x≠5，x>1或x<-4，故解集為{xx<-4，或15}.

注：本題若改為（x+4）（x-5）2（1-x）3≤0，又會有怎樣的變化呢？則原不等式化為x≠5，（x+4）（x-1）≥0. 類似的題目有“解不等式x（x+2）（x-7）≥0”，一定要單獨(dú)考慮非負(fù)式子等于0的情況.

思索 本例是含一個絕對值的問題. 若絕對值單獨(dú)在式子一側(cè)（如第（1）小題），則直接去掉絕對值符號；若絕對值不單獨(dú)在式子一側(cè)（如第（2）小題），則通過討論去掉絕對值符號.

思索 本例考查含兩個絕對值的解法. 通法是零點(diǎn)分區(qū)討論去掉絕對值符號，另外第（2）小題還可以用幾何意義的方法求解；發(fā)現(xiàn)第（3）小題的式子兩邊非負(fù)，可以兩邊同時平方去掉絕對值符號，還可以轉(zhuǎn)化為含一個絕對值的問題.

（2）法一：同（1）小題，以-2和1作為零點(diǎn)分區(qū)討論.

法二：x-1表示數(shù)軸上的點(diǎn)到1的距離，x+2表示數(shù)軸上的點(diǎn)到-2的距離，因此本題就是找數(shù)軸上的點(diǎn)到-2和1的距離之和小于15的點(diǎn)的集合. 畫數(shù)軸分析知-2和1之間的點(diǎn)均符合要求；若在-2左邊應(yīng)是距 -2的距離在6以內(nèi)的點(diǎn)符合要求；若在1右邊應(yīng)是距1的距離在6以內(nèi)的點(diǎn)符合要求，因此不等式的解集是（-8，7）.

（3）法一：同（1）小題，以-1和-2作為零點(diǎn)分區(qū)討論.

注：此題若直接在兩邊同時乘2x+1，必須討論2x+1的符號，否則會導(dǎo)致錯誤.

（2）若不等式（k-3）x2+（k-3）x+4>0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

（3）解關(guān)于x的不等式：ax2-（a+2）x+2>0.

思索 本例考查含參不等式的解法. 含參問題應(yīng)先觀察歸屬于哪種類型以確定解法，然后合理地對參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)一般是：

（1）是不是某類不等式. 如ax2-（a+2）x+2>0是不是二次不等式？

（2）由不等式（k-3）x2+（k-3）x+4>0恒成立，首先考慮k=3時，不等式變?yōu)?>0，顯然恒成立；

其次k≠3時，此二次不等式要恒成立，則k-3>0，？駐=（k-3）2-4（k-3）×4<0.

所以k>3，k2-22k+57<0，即k>3，3

（3）關(guān)于x的不等式ax2-（a+2）x+2>0可化為（ax-2）（x-1）>0.

①當(dāng)a=0時，不等式變?yōu)閤-1<0，解集為{xx<1}.

變式練習(xí)

2. 若存在正數(shù)x使2x（x-a）<1成立，則a的取值范圍是？搖（ ）

A.（-∞，+∞）B. （-2，+∞）

C.（0，+∞） D. （-1，+∞）

3. 設(shè)a，b∈R，a-b>2， 則關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式x-a+x-b>2的解集是______.

參考答案

1. A 2. D 3. R

（2）因?yàn)閤+1+x-2≥（x+1）-（x-2）=3，當(dāng)且僅當(dāng)（x+1）（x-2）≤0，即-1≤x≤2時取得等號，所以f（x）的最小值為3.