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解析幾何與方程知識(shí)的融合

2013-12-29 00:00:00

解析幾何的核心思想是坐標(biāo)法,利用曲線與方程之間的關(guān)系,將點(diǎn)的坐標(biāo)理解為曲線對(duì)應(yīng)的方程組的解,通過(guò)解方程或通過(guò)韋達(dá)定理來(lái)轉(zhuǎn)化,這是求解解析幾何問(wèn)題的通性常法. 解析幾何的很多題型,如求點(diǎn)的坐標(biāo)、圓錐曲線的方程、動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程、曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題等,都體現(xiàn)了坐標(biāo)法及曲線與方程思想的應(yīng)用,它們也是高考考查的熱點(diǎn)題型.

在直線與圓錐曲線問(wèn)題中,通常采用“先設(shè)后求”或“設(shè)而不求”. 求點(diǎn)的坐標(biāo)、圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),可建立關(guān)于基本量(如點(diǎn)的坐標(biāo),橢圓、雙曲線方程中的a,b,拋物線方程中的p)的方程,然后求之. 解決曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題時(shí),通??煽紤]兩種方法:其一,從特殊情況入手求出該點(diǎn)坐標(biāo),然后證明該點(diǎn)與變量無(wú)關(guān);其二,將該點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)造在某變量(參數(shù))的方程中,利用方程恒成立,求出該點(diǎn)坐標(biāo).

■ 如圖1,已知點(diǎn)F是拋物線C1:x2=4y與橢圓C2:■+■=1(a>b>0)的公共焦點(diǎn),且橢圓的離心率為■.

(1)求橢圓C2的方程;

(2)過(guò)拋物線上一點(diǎn)P作拋物線的切線l,切點(diǎn)P在第一象限,設(shè)切線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A,B,記直線OP,F(xiàn)A,F(xiàn)B的斜率分別為k,k1,k2(其中O為原點(diǎn)),若k1+k2=■k,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

227f129b7120f6cc41d4e5c15058100731a77f875ace95c4a89bf6c9f3c511a2圖1

破解思路 對(duì)于第(1)問(wèn),建立關(guān)于基本量a,b的方程組,解出a,b即可;對(duì)于第(2)問(wèn),欲求P點(diǎn)的坐標(biāo),可先設(shè)出其坐標(biāo),然后建立關(guān)于該坐標(biāo)的方程(組),通過(guò)解方程(組)即可解決.

經(jīng)典答案 (1)由已知可得c=1,e=■=■,所以a=2,b=■,所以C2的方程為■+■=1.

(2)設(shè)Px0,■,A(x1,y1),B(x2,y2). 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,l的斜率為k=■x0,所以l的方程為y=■x-■,代入橢圓C2:■+■=1得(12x■■+64)x2-12x■■x+3x■■-192=0. 由判別式Δ>0,得-4

■ 如圖2,已知橢圓■+y2=1,過(guò)A0,-■的直線l與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),問(wèn):在坐標(biāo)平面上是否存在定點(diǎn)T(x0,y0),使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)該點(diǎn),若存在,求出該點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,評(píng)述理由.

圖2

破解思路 本題是解析幾何綜合題中常見的直線過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題,方法如前已述,但解題時(shí)要利用方程恒成立的條件:若關(guān)x的方程anxn+an-1·xn-1+…+a1x+a0=0(n∈N?鄢)對(duì)一切x∈R恒成立?圳an=an-1=…=a1=a0=0.

經(jīng)典答案 設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2). 假設(shè)存在T(x0,y0),使T點(diǎn)恒在以PQ為直徑的圓上,即■·■=0恒成立. 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l:y=kx-■(k∈R),代入橢圓■+y2=1并整理得(2k2+1)x2-■kx-■=0. 因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓內(nèi),故判別式恒正,所以x1+x2=■,x■x■=■. 又■=(x1-x0,y1-y0),■=(x2-x0,y2-y0),代入■·■=0,得(1+k2)x1 x2+-x0-y0k-■k(x1+x2)+x■■+y■■+■y0+■=0,代入x1+x2,x1x2的值,得2(x■■+y■■-1)·k2+-■x0·k+x■■+y■■+■y0-■=0. 由題意,該方程對(duì)一切k的變化恒成立,所以x■■+y■■-1=0,-■x0=0,x■■+y■■+■y0-■=0,解得x0=0,y0=1,即T(0,1). 而當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),l依然經(jīng)過(guò)(0,1). 所以存在T(0,1).

1. 設(shè)斜率為■的直線l與橢圓■+■=1(a>b>0)交于不同的兩點(diǎn),且這兩個(gè)交點(diǎn)在x軸上的射影恰好是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),則該橢圓的離心率為__________.

2. 已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)且斜率為■的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),若OA⊥OB,AB=4,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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