摘要： 本文分別具體討論了高等代數(shù)課程中的幾個等價關系：矩陣等價，向量組等價，矩陣相似，矩陣合同中的“等”字背后的涵義.
　　關鍵詞： 等價關系矩陣向量組相似矩陣合同矩陣
　　
　　一個給定的集合中的元素之間的一個關系如果滿足下面三個性質(zhì)：（1）自反性，（2）對稱性，（3）傳遞性，我們稱該關系為等價關系（equivalence relation［1］）。在高等代數(shù)課程中有幾個重要的等價關系，就是矩陣的等價，向量組的等價，矩陣的相似，矩陣的合同這四個等價關系。既然稱之為等價關系，那么這里的“等”字是否意味著什么相等呢？本文主要探討這些等價關系中“等”字的涵義。希望通過討論，豐富對等價關系的感性認識，加深對代數(shù)學中這一基礎概念——等價關系的理解。
　　一、矩陣的等價
　　對于矩陣A、B，如果A經(jīng)過有限步初等變換成為B，則稱矩陣A與B等價［2］。根據(jù)矩陣初等變換的定義，可以驗證矩陣之間的這樣的關系滿足等價關系的三個性質(zhì)，因此稱之為矩陣的等價。
　　矩陣等價，這個“等”字之后意味著什么相等呢？如果矩陣A和B等價，也就是A經(jīng)過有限次的初等變換可以變成B，可見A與B首先得同型，即有相同的行數(shù)和列數(shù)；否則，A無論如何都不能變換成B。其次，A和B應該有相同的秩，即r（A）=r（B）；因為初等變換不改變矩陣的秩。反之，如果矩陣A和B同型且有相同的秩，是不是A與B等價呢？答案是肯定的。一個矩陣通過初等變換總會變換成它的標準型，其標準型中左上角的單位子矩陣的階等于該矩陣的秩。如果矩陣A和B同型且有相同的秩，則A和B有相同的標準型，即A和B與同一個標準型等價，因此矩陣A和B等價?？梢娋仃嚨葍r中的“等”字，實際是指它們同型且有相同的秩。我們把上面的討論歸結為下面的定理。
　　定理1：矩陣A和B等價的充要條件是它們的行數(shù)、列數(shù)和秩都對應相等。
　　二、向量組的等價
　　設向量組A：α■，α■，…，α■；B：β■，β■，…，β■，若向量組B中的向量都能由A中的向量線性表示；反之亦然。那么稱向量組A和B等價［2］?？梢宰C明在該定義下這是一個等價關系。這個“等”字背后意味著什么相等呢？我們不妨把目光集中在實數(shù)域R上的向量和向量空間上。
　　對于向量組A，其中的向量可以以實數(shù)為系數(shù)線性生成一個實數(shù)域上的線性空間，簡稱為A生成的空間，記作span（A）；同樣也有span（B）。如果向量組A和B等價，則B中的向量都能由A中的向量線性表示，因此span（B）中的任意向量也可以由A中的向量線性表示，則有span（B）?哿span（A）；反之亦有span（A）?哿span（B）。因此span（A）=span（B）。另一方面，如果span（A）=span（B），由于B?哿span（B），故B?哿span（A）。因此B中的向量都能由A中的向量線性表示；同理，A中的向量也可以由B中的向量線性表示，則向量組A和B等價。由上面討論可見向量組A和B等價，這個“等”字意味著它們的生成空間相等。即有下面的結論。
　　定理2：向量組A和B等價的充要條件是span（A）=span（B）。
　　三、矩陣的相似
　　設A和B是兩個n階矩陣，若存在n階可逆矩陣P，使得A=P■BP，那么稱矩陣A和B相似［4］。矩陣的相似關系是一個等價關系，那么這個“等”字背后意味著什么相等呢？
　　我們考慮一個n維線性空間上的線性變換（如果矩陣A和B是數(shù)域F上的矩陣，那么就考慮F上的一個n維線性空間）。對于一個線性變換σ，取該n維空間的一個基ε■，ε■，…，ε■，如果我們描述清楚了該基中向量在σ下的像，那么就描述清楚了該線性變換σ；這是因為σ是一個線性變換。設聯(lián)系基的像σ（ε■，ε■，…，ε■）與基ε■，ε■，…，ε■之間的過渡矩陣為A，σ（ε■，ε■，…，ε■）=（ε■，ε■，…，ε■）A。即，我們用矩陣A來表述了基的像，因此用矩陣A完全刻畫線性變換σ；換言之，線性變換表示成為一個方陣。
　　問題是：同一個線性變換σ，如果選定該n維空間的另外一個基β■，β■，…，β■，那么刻畫σ的矩陣就會是另一個矩陣B。但是此時我們會發(fā)現(xiàn)矩陣A和B相似，即存在n階可逆矩陣P，使得A=P■BP，其中恰有（ε■，ε■，…，ε■）=（β■，β■，…，β■）P。
　　另一方面，設矩陣A和B相似，A=P■BP。取該n維空間的一個基ε■，ε■，…，ε■，則由（ε■，ε■，…，ε■）A決定了一個線性變換σ，即σ（ε■，ε■，…，ε■）=（ε■，ε■，…，ε■）A；換言之，一個方陣實際在描述著一個線性變換。令（β■，β■，…，β■）=（ε■，ε■，…，ε■）P■，則β■，β■，…，β■也是一個基，那么矩陣B在基β■，β■，…，β■下也在描述著一個線性變換σ■，即σ■（β■，β■，…，β■）=（β■，β■，…，β■）B。實際上，σ■=σ，因為σ（ε■，ε■，…，εn）=σ■（ε■，ε■，…，ε■）。
　　在上面的討論之下，可以籠統(tǒng)說，n維空間的線性變換表示為一個方陣，一個方陣實際在表達一個線性變換。矩陣A和B相似等價，這個“等”字實是指它們在表達著同一個線性變換。準確地說有如下定理。
　　定理3：n階矩陣A和B相似充要條件是它們是n維線性空間的同一個線性變換在不同基下所對應的矩陣。
　　四、矩陣的合同
　　設A和B是兩個n階矩陣，若存在n階非退化矩陣P，使得A=P■BP，其中P■是P的轉置矩陣，那么稱矩陣A和B合同■。合同關系是一個等價關系，這個“等”字指的是什么相等呢？對稱矩陣只能和對稱矩陣合同，我們只在對稱矩陣之中討論合同關系。
　　一個n階對稱方陣A對應著一個n元二次型X■AX，此時稱該二次型為A的二次型，矩陣A稱為二次型X■AX的矩陣。如果A和B是數(shù)域F上的兩個n階矩陣，那么它們對應著數(shù)域F上的二次型。任何一個二次型通過非退化的線性變換可以化為規(guī)范型形式的二次型。如果對稱矩陣A和B合同，A=P■BP，那么X■AX通過非退化的線性變換Y=PX可以化為B的二次型Y■BY。因此A和B的二次型有相同的規(guī)范型。反之，如果A和B的二次型有相同的規(guī)范型，則A和B合同于同一個規(guī)范型的矩陣，故A和B合同。所以對稱矩陣A和B合同等價，這一“等”字是指它們的二次型的規(guī)范型等同。從幾何直觀來看，二次型是n維空間F■的曲線，不同的規(guī)范型代表不同的曲線類型。矩陣A和B合同等價，是指它們對應的曲線類型相同。例如在R■（R為實數(shù)域）中，x■+y■代表的是橢圓類二次曲線，而x■-y■代表的是雙曲線類二次曲線。
　　定理4：對稱矩陣A和B合同充要條件是它們的二次型的規(guī)范型相同。
　　
　　參考文獻：
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