在推理和證明中常常會(huì)出現(xiàn)以下一些問(wèn)題，不妨讓我們走進(jìn)這些思維的誤區(qū)：

一、歸納推理中因歸納結(jié)論導(dǎo)致錯(cuò)誤

例1設(shè)f（n）=n2+n+41，n∈N*，計(jì)算f（1）、f（2）、f（3）、f（4），…，f（10）的值，并作出歸納推理，猜想f（40）的值.

錯(cuò)解：f（1）=12+1+41=43，f（2）=22+2+41=47，f（3）=32+3+41=53，

f（4）=42+4+41=61，f（5）=52+5+41=71，f（6）=62+6+41=83，

f（7）=72+7+41=97，f（8）=82+8+41=113，f（9）=92+9+41=131，

f（10）=102+10+41=151.

猜想，因?yàn)?3，47，53，61，71，83，97，113，131，151都是質(zhì)數(shù)，則當(dāng)n∈N*時(shí)，f（n）=n2+n+41都是質(zhì)數(shù)，所以f（40）也為質(zhì)數(shù).

剖析：上述解法的錯(cuò)誤在于歸納推理的結(jié)論不正確，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

正解：f（1）=43，f（2）=47，f（3）=53，f（4）=61，f（5）=71，f（6）=83，f（7）=97，f（8）=113，f（9）=131，f（10）=151都是質(zhì)數(shù)，但f（40）=402+40+41=41×41，所以f（40）為合數(shù).

二、因大、小前提、推理形式之一錯(cuò)誤導(dǎo)致推理過(guò)程或結(jié)論錯(cuò)誤例2如圖，在△ABC中，CD⊥AB，AC>BC，求證：∠ACD>∠BCD.

錯(cuò)解：在△ABC中，因?yàn)镃D⊥AB，AC>BC，所以AD>BD，則∠ACD>∠BCD.

剖析：錯(cuò)誤的原因在于運(yùn)用的大前提正確，在同一個(gè)三角形內(nèi)，大邊對(duì)大角；而AD與BD并不是同一個(gè)三角形的兩邊，即小前提并不成立，因此推理過(guò)程錯(cuò)誤.

正解：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，∴∠A+∠ACD=∠B+∠BCD=90°，

∴∠A-∠B=∠BCD-∠ACD.

在△ABC中，∵AC>BC，∴∠B>∠A，即∠A-∠B<0，∴∠BCD-∠ACD<0，

∴∠ACD>∠BCD.

三、因忽略已知條件導(dǎo)致錯(cuò)誤

例3設(shè)a+b>0，n為偶數(shù)，求證：bn-1an+an-1bn≥1a+1b.

錯(cuò)解：∵bn-1an+an-1bn-1a-1b=

（an-bn）（an-1-bn-1）（ab）n，且n為偶數(shù)，∴（ab）n>0.

又∵an-bn和an-1-bn-1同號(hào)，∴bn-1an+an-1bn-1a-1b≥0，∴bn-1an+an-1bn≥1a+1b.

剖析：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an-bn和an-1-bn-1不一定同號(hào)，這里忽略了在題設(shè)條件a+b>0的情況下，應(yīng)該分a>0且b>0和a、b有一個(gè)為負(fù)值兩種情況加以討論.

正解：bn-1an+an-1bn-1a-1b

=（an-bn）（an-1-bn-1）（ab）n，

（1）當(dāng)a>0且b>0時(shí)，（an-bn）（an-1-bn-1）≥0，（ab）n>0，

∴（an-bn）（an-1-bn-1）（ab）n≥0，則bn-1an+an-1bn≥1a+1b.

（2）當(dāng)a、b有一個(gè)為負(fù)值時(shí)，不妨設(shè)a>0，b<0，且a+b>0，則a>|b|.

又∵n為偶數(shù)，∴（an-bn）（an-1-bn-1）>0，

又∵（ab）n>0，∴（an-bn）（an-1-bn-1）（ab）n>0，即bn-1an+an-1bn>1a+1b.

綜合（1）（2）知原不等式成立.

（作者：周文國(guó)，江蘇省張家港職業(yè)教育中心校）endprint

在推理和證明中常常會(huì)出現(xiàn)以下一些問(wèn)題，不妨讓我們走進(jìn)這些思維的誤區(qū)：

一、歸納推理中因歸納結(jié)論導(dǎo)致錯(cuò)誤

例1設(shè)f（n）=n2+n+41，n∈N*，計(jì)算f（1）、f（2）、f（3）、f（4），…，f（10）的值，并作出歸納推理，猜想f（40）的值.

錯(cuò)解：f（1）=12+1+41=43，f（2）=22+2+41=47，f（3）=32+3+41=53，

f（4）=42+4+41=61，f（5）=52+5+41=71，f（6）=62+6+41=83，

f（7）=72+7+41=97，f（8）=82+8+41=113，f（9）=92+9+41=131，

f（10）=102+10+41=151.

猜想，因?yàn)?3，47，53，61，71，83，97，113，131，151都是質(zhì)數(shù)，則當(dāng)n∈N*時(shí)，f（n）=n2+n+41都是質(zhì)數(shù)，所以f（40）也為質(zhì)數(shù).

剖析：上述解法的錯(cuò)誤在于歸納推理的結(jié)論不正確，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

正解：f（1）=43，f（2）=47，f（3）=53，f（4）=61，f（5）=71，f（6）=83，f（7）=97，f（8）=113，f（9）=131，f（10）=151都是質(zhì)數(shù)，但f（40）=402+40+41=41×41，所以f（40）為合數(shù).

二、因大、小前提、推理形式之一錯(cuò)誤導(dǎo)致推理過(guò)程或結(jié)論錯(cuò)誤例2如圖，在△ABC中，CD⊥AB，AC>BC，求證：∠ACD>∠BCD.

錯(cuò)解：在△ABC中，因?yàn)镃D⊥AB，AC>BC，所以AD>BD，則∠ACD>∠BCD.

剖析：錯(cuò)誤的原因在于運(yùn)用的大前提正確，在同一個(gè)三角形內(nèi)，大邊對(duì)大角；而AD與BD并不是同一個(gè)三角形的兩邊，即小前提并不成立，因此推理過(guò)程錯(cuò)誤.

正解：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，∴∠A+∠ACD=∠B+∠BCD=90°，

∴∠A-∠B=∠BCD-∠ACD.

在△ABC中，∵AC>BC，∴∠B>∠A，即∠A-∠B<0，∴∠BCD-∠ACD<0，

∴∠ACD>∠BCD.

三、因忽略已知條件導(dǎo)致錯(cuò)誤

例3設(shè)a+b>0，n為偶數(shù)，求證：bn-1an+an-1bn≥1a+1b.

錯(cuò)解：∵bn-1an+an-1bn-1a-1b=

（an-bn）（an-1-bn-1）（ab）n，且n為偶數(shù)，∴（ab）n>0.

又∵an-bn和an-1-bn-1同號(hào)，∴bn-1an+an-1bn-1a-1b≥0，∴bn-1an+an-1bn≥1a+1b.

剖析：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an-bn和an-1-bn-1不一定同號(hào)，這里忽略了在題設(shè)條件a+b>0的情況下，應(yīng)該分a>0且b>0和a、b有一個(gè)為負(fù)值兩種情況加以討論.

正解：bn-1an+an-1bn-1a-1b

=（an-bn）（an-1-bn-1）（ab）n，

（1）當(dāng)a>0且b>0時(shí)，（an-bn）（an-1-bn-1）≥0，（ab）n>0，

∴（an-bn）（an-1-bn-1）（ab）n≥0，則bn-1an+an-1bn≥1a+1b.

（2）當(dāng)a、b有一個(gè)為負(fù)值時(shí)，不妨設(shè)a>0，b<0，且a+b>0，則a>|b|.

又∵n為偶數(shù)，∴（an-bn）（an-1-bn-1）>0，

又∵（ab）n>0，∴（an-bn）（an-1-bn-1）（ab）n>0，即bn-1an+an-1bn>1a+1b.

綜合（1）（2）知原不等式成立.

（作者：周文國(guó)，江蘇省張家港職業(yè)教育中心校）endprint

在推理和證明中常常會(huì)出現(xiàn)以下一些問(wèn)題，不妨讓我們走進(jìn)這些思維的誤區(qū)：

一、歸納推理中因歸納結(jié)論導(dǎo)致錯(cuò)誤

例1設(shè)f（n）=n2+n+41，n∈N*，計(jì)算f（1）、f（2）、f（3）、f（4），…，f（10）的值，并作出歸納推理，猜想f（40）的值.

錯(cuò)解：f（1）=12+1+41=43，f（2）=22+2+41=47，f（3）=32+3+41=53，

f（4）=42+4+41=61，f（5）=52+5+41=71，f（6）=62+6+41=83，

f（7）=72+7+41=97，f（8）=82+8+41=113，f（9）=92+9+41=131，

f（10）=102+10+41=151.

猜想，因?yàn)?3，47，53，61，71，83，97，113，131，151都是質(zhì)數(shù)，則當(dāng)n∈N*時(shí)，f（n）=n2+n+41都是質(zhì)數(shù)，所以f（40）也為質(zhì)數(shù).

剖析：上述解法的錯(cuò)誤在于歸納推理的結(jié)論不正確，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

正解：f（1）=43，f（2）=47，f（3）=53，f（4）=61，f（5）=71，f（6）=83，f（7）=97，f（8）=113，f（9）=131，f（10）=151都是質(zhì)數(shù)，但f（40）=402+40+41=41×41，所以f（40）為合數(shù).

二、因大、小前提、推理形式之一錯(cuò)誤導(dǎo)致推理過(guò)程或結(jié)論錯(cuò)誤例2如圖，在△ABC中，CD⊥AB，AC>BC，求證：∠ACD>∠BCD.

錯(cuò)解：在△ABC中，因?yàn)镃D⊥AB，AC>BC，所以AD>BD，則∠ACD>∠BCD.

剖析：錯(cuò)誤的原因在于運(yùn)用的大前提正確，在同一個(gè)三角形內(nèi)，大邊對(duì)大角；而AD與BD并不是同一個(gè)三角形的兩邊，即小前提并不成立，因此推理過(guò)程錯(cuò)誤.

正解：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，∴∠A+∠ACD=∠B+∠BCD=90°，

∴∠A-∠B=∠BCD-∠ACD.

在△ABC中，∵AC>BC，∴∠B>∠A，即∠A-∠B<0，∴∠BCD-∠ACD<0，

∴∠ACD>∠BCD.

三、因忽略已知條件導(dǎo)致錯(cuò)誤

例3設(shè)a+b>0，n為偶數(shù)，求證：bn-1an+an-1bn≥1a+1b.

錯(cuò)解：∵bn-1an+an-1bn-1a-1b=

（an-bn）（an-1-bn-1）（ab）n，且n為偶數(shù)，∴（ab）n>0.

又∵an-bn和an-1-bn-1同號(hào)，∴bn-1an+an-1bn-1a-1b≥0，∴bn-1an+an-1bn≥1a+1b.

剖析：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an-bn和an-1-bn-1不一定同號(hào)，這里忽略了在題設(shè)條件a+b>0的情況下，應(yīng)該分a>0且b>0和a、b有一個(gè)為負(fù)值兩種情況加以討論.

正解：bn-1an+an-1bn-1a-1b

=（an-bn）（an-1-bn-1）（ab）n，

（1）當(dāng)a>0且b>0時(shí)，（an-bn）（an-1-bn-1）≥0，（ab）n>0，

∴（an-bn）（an-1-bn-1）（ab）n≥0，則bn-1an+an-1bn≥1a+1b.

（2）當(dāng)a、b有一個(gè)為負(fù)值時(shí)，不妨設(shè)a>0，b<0，且a+b>0，則a>|b|.

又∵n為偶數(shù)，∴（an-bn）（an-1-bn-1）>0，

又∵（ab）n>0，∴（an-bn）（an-1-bn-1）（ab）n>0，即bn-1an+an-1bn>1a+1b.

綜合（1）（2）知原不等式成立.

（作者：周文國(guó)，江蘇省張家港職業(yè)教育中心校）endprint