譚 建 王先甲

(1．貴州財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程管理學(xué)院 貴州貴陽(yáng) 550004;2．武漢大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院 湖北武漢 430072)

拍賣(mài)作為一種市場(chǎng)交易機(jī)制在實(shí)踐中被廣泛運(yùn)用。對(duì)于同質(zhì)多物品拍賣(mài)，可采用歧視價(jià)格、統(tǒng)一價(jià)格、序貫等拍賣(mài)方式［1］。在現(xiàn)有多物品拍賣(mài)文獻(xiàn)中研究固定供應(yīng)量多物品的拍賣(mài)較多［2-5］，但隨著電子商務(wù)的發(fā)展，在線(xiàn)交易方式使得變動(dòng)供給拍賣(mài)近年來(lái)得到更多關(guān)注。Hansen(1988)首次提出了價(jià)格確定情況下的多物品變動(dòng)供給拍賣(mài)問(wèn)題［6］。范小勇(2005)建立了一個(gè)包含商品間替代性因素的變動(dòng)供給多物品拍賣(mài)模型，指出以整體利潤(rùn)最大化的目標(biāo)來(lái)確定各種商品的拍賣(mài)數(shù)量，能有效地避免外部性損失［7］。Mcadams(2007)通過(guò)分析統(tǒng)一價(jià)格拍賣(mài)方式，得出變動(dòng)供給拍賣(mài)所產(chǎn)生的拍賣(mài)者期望收益與社會(huì)福利均較固定供給拍賣(mài)更高［8］。Damian(2010)分析了投標(biāo)者在單位需求時(shí)的多物品拍賣(mài)，通過(guò)比較統(tǒng)一價(jià)格拍賣(mài)與歧視價(jià)格拍賣(mài)，得出統(tǒng)一價(jià)格拍賣(mài)對(duì)賣(mài)方而言能獲得更高的賣(mài)價(jià)與交易量，從而得到更多的收益［9-10］。從這些文獻(xiàn)可看出，雖然都是分析供給變動(dòng)多物品的拍賣(mài)模型，但均是買(mǎi)者在單位需求的情形下進(jìn)行的分析。

本文在以上文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，考慮兩種價(jià)格下的統(tǒng)一價(jià)格拍賣(mài)與歧視價(jià)格拍賣(mài)，在制造商供應(yīng)量變化時(shí)，多個(gè)零售商在多單位需求的情形下，分析零售商的報(bào)價(jià)策略、制造商的價(jià)格策略及其相關(guān)性質(zhì)，并對(duì)兩種拍賣(mài)方式進(jìn)行比較。

一、模型假設(shè)

有單個(gè)制造商和n個(gè)零售商以拍賣(mài)的形式進(jìn)行同質(zhì)多物品交易。假設(shè)制造商的產(chǎn)品批發(fā)價(jià)只有兩種可能的價(jià)格pl和ph，其中ph＞pl＞0。拍賣(mài)是一個(gè)兩階段模型，在第一階段零售商提交他們的叫價(jià)及對(duì)應(yīng)的需求量，第二階段制造商選擇價(jià)格與成交量。

假設(shè)1:每個(gè)零售商有擬線(xiàn)性效用函數(shù)，ui(q，z)=vi(q)+ζ。其中q表示零售商i對(duì)物品的需求量，ζ表示其它商品對(duì)i的效用。vi為i的效用函數(shù)，是連續(xù)可微、單調(diào)遞增和嚴(yán)格凹函數(shù)，且v'(0)＞pl。

由于零售商為價(jià)格的接受者，因此由效用函數(shù)得到需求函數(shù)為:q=di(p)=max{v'-1i，0}，其中需求函數(shù)為共同知識(shí)。由于vi是嚴(yán)格凹函數(shù)和連續(xù)的，因此di是正的關(guān)于價(jià)格遞減且連續(xù)的函數(shù)。v'(0)＞pl則表示di(pl)＞0，即任意一個(gè)零售商在價(jià)格為pl時(shí)均有非零需求。同時(shí)也暗示對(duì)于di(pl)=0的估價(jià)者將自動(dòng)排除在拍賣(mài)之外。

假設(shè)2:每個(gè)零售商的需求是有界的，即對(duì)任意的 i，有 d(i)＜∞。

在第一階段，零售商提交兩個(gè)非負(fù)需求量xi和yi(i=1，2，…，n)，分別表示低價(jià)與高價(jià)時(shí)的需求量，因此有xi≥yi。制造商的單位產(chǎn)品成本β為制造商私有信息，而對(duì)于零售商而言β是服從G分布的隨機(jī)變量且為共同知識(shí)。

假設(shè)3:G(0)=0，對(duì)于所有的β＞0，有G(β)＞0，G(pl)＜G(ph)。G 在區(qū)間(0，ph］是連續(xù)可微且嚴(yán)格遞增的。

G是共同知識(shí)，但是β為制造商的私人信息。在第二階段，制造商選擇高價(jià)或者低價(jià)，或者取消拍賣(mài)，即制造商的策略 u∈{ph，pl，cancel}。若制造商選擇pl，則零售商i獲得xi個(gè)單位物品;若制造商選擇ph，則零售商i獲得yi個(gè)單位物品;若制造商選擇cancel，則沒(méi)有任何零售商獲得物品。零售商的支付則取決于拍賣(mài)的形式。制造商的目的是利潤(rùn)最大化，其決策取決于其類(lèi)型(成本β)及總的叫價(jià)向量(∑x，∑y)。

二、統(tǒng)一價(jià)格拍賣(mài)

在統(tǒng)一價(jià)格拍賣(mài)中，所有的零售商對(duì)每一單位物品支付相同價(jià)格。若制造商選擇低價(jià)，則零售商i的支付為plxi，制造的利潤(rùn)為(pl-β)與低價(jià)時(shí)的需求總量之積。若制造商選擇高價(jià)，則零售商i的支付為phyi，制造的利潤(rùn)為(ph-β)與高價(jià)時(shí)的需求總量之積。

命題1:在統(tǒng)一價(jià)格拍賣(mài)中，制造商的最優(yōu)策略為:

證明:由假設(shè)可以知道，只有當(dāng)制造商的成本β＜ph時(shí)才有可能獲得非負(fù)利潤(rùn)，因此當(dāng)ph≤β時(shí)制造商的最優(yōu)策略為取消拍賣(mài)。另外，由于xi≥yi，因此分兩種情況來(lái)討論:

第一種情況，當(dāng)∑x＞∑y時(shí):

若選擇 pl或 ph對(duì)制造商來(lái)說(shuō)無(wú)差異，則此時(shí)有:

(pl-β)∑x=(ph- β)∑y，由此可得到 β*=(pl∑x-ph∑y)/(∑x- ∑y)。即當(dāng) β ≤β*時(shí)，(plβ)∑x≥(ph-β)∑y，此時(shí)制造商的最優(yōu)選擇為 pl，反之為ph。

第二種情況，當(dāng)∑x=∑y時(shí):

此時(shí)對(duì)于為了利潤(rùn)最大化的制造商而言，對(duì)于在低價(jià)與高價(jià)需求量相同時(shí)最優(yōu)選擇為ph。

命題1刻畫(huà)了制造商的行為。當(dāng)且僅當(dāng)其單位產(chǎn)品成本高于ph時(shí)才會(huì)取消拍賣(mài);當(dāng)且僅當(dāng)其成本小于由(1)式所決定的閾值β*時(shí)選擇低價(jià)。從式(1)可以看出，β*取決于零售商在不同價(jià)格時(shí)的需求量，這表明零售商不是價(jià)格的接受者，他可以通過(guò)改變自己的需求量來(lái)影響制造商的價(jià)格選擇。

對(duì)于零售商i，主要選擇(xi，yi)來(lái)最大化其期望效用。由于i知道制造商的產(chǎn)品成本分布G，且知道制造商通過(guò)式(1)來(lái)確定β*，因此制造商選擇低價(jià)的概率為G(β*)，選擇高價(jià)的概率為G(ph)-G(β*)，選擇取消拍賣(mài)的概率為1-G(ph)。因此零售商i的期望效用由下式?jīng)Q定:

其中 Li(xi)=vi(xi)-plxi，Hi(yi)=vi(yi)-phyi，Li(xi)為制造商選擇低價(jià)時(shí)分配零售商i的產(chǎn)品數(shù)量為xi時(shí)零售商i所得到的價(jià)值，Hi(yi)為制造商選擇高價(jià)時(shí)分配零售商i的產(chǎn)品數(shù)量為yi時(shí)零售商i所得到的價(jià)值。

命題2:在假設(shè)1和假設(shè)3條件下，以下命題成立:

(1)?xiβ*≥0，當(dāng)且僅當(dāng)∑y=0 時(shí)等式成立;?yiβ*＜0。

(2)Li(xi)＞Hi(yi)。

(3)0 ＜ β*≤pl，當(dāng)且僅當(dāng)∑y=0 時(shí)等式成立。

(4)xi＞ yi≥0。

證明:根據(jù)假設(shè)有 xi≥yi≥0，若 xi=yi，根據(jù)命題1知β*=0，則此時(shí)制造商選擇高價(jià)，作為零售商的最優(yōu)策略，因此會(huì)選擇xi＞yi。因此(4)成立。

對(duì)式(1)關(guān)于xi和yi分別求偏導(dǎo)，有:

?xiβ*，而當(dāng)且僅當(dāng)∑y=0時(shí)等式成立。

?yiβ*因此(1)成立。

對(duì)于擬凹函數(shù)Li(xi)和Hi(yi)，有Li(0)=0，Hi(0)=0。且對(duì)于?a＞0，由于 pla＜pha，故有Li(a)＞Hi(a)。又由于Li(xi)為擬凹函數(shù)，因此當(dāng)a＜di(pl)時(shí) L'i(a)＞0;當(dāng) a=di(pl)時(shí) Li(a)達(dá)到最大值;當(dāng)a＞di(pl)時(shí)L'i(a)＜0。同理Hi(yi)可得?z＞0，當(dāng) z＜di(ph)時(shí) H'i(z)＞0;當(dāng) z=di(ph)時(shí)Hi(z)達(dá)到最大值;當(dāng)z＞di(ph)時(shí)H'i(z)＜0。

由(4)知拍賣(mài)存在均衡解，因此Li(xi)關(guān)于xi的一階條件應(yīng)該存在。假設(shè)xi＜di(pl)，則L'i(xi)＞0，由(4)得 Li(xi)＞Li(yi)。又 Li(yi)＞Hi(yi)，因此 Li(xi)＞Hi(yi)。則?xiΠi(xi，yi)=G'(β*)?xiβ*(Li(xi)-Hi(yi))+G(β*)L'i(xi)＞0，這與均衡解存在相矛盾，因此有 xi＞di(pl)。此時(shí)就有L'i(xi)＜0，根據(jù)一階條件可得到Li(xi)＞Hi(yi)。因此(2)成立。

假設(shè) β*≤0，由式(1)得到 pl∑x ≤ph∑y，由命題1知道制造商絕對(duì)不會(huì)選擇低價(jià)，則零售商的問(wèn)題為:

從式(3)可以看出，xi對(duì)零售商的期望效用無(wú)影響，因此零售商可以提交任意數(shù)量的xi。而β*≤0則意味著 xi≤ph∑y-pl∑j≠ixj。由于零售商可以提交任意數(shù)量的xi，因此零售商可以改變xi使得xi＞ph∑y-pl∑j≠ixj從而 β*＞0，而此時(shí)零售商的問(wèn)題為:

由于Li(xi)＞Hi(yi)，因此式(4)的值明顯大于式(3)，這意味著零售商絕對(duì)不會(huì)選擇(xi，yi)使得β*≤0。因此 β*＞0。

由于β*＞0，由命題1可得到∑x-∑y＞0。

β*=(pl∑x-ph∑y)/(∑x- ∑y)=pl-(phpl)∑y/(∑x-∑y)≤pl，當(dāng)且僅當(dāng)∑y=0時(shí)等式成立。因此(3)成立。

命題2中，(1)說(shuō)明了零售商提交的需求數(shù)量對(duì)制造商選擇的影響，通過(guò)增加低價(jià)的需求量和減少高價(jià)的需求量可以提高制造商選擇低價(jià)的概率;(2)說(shuō)明制造商選擇低價(jià)時(shí)分配零售商i的產(chǎn)品數(shù)量為xi時(shí)零售商i所得到的價(jià)值大于制造商選擇高價(jià)時(shí)分配零售商i的產(chǎn)品數(shù)量為yi時(shí)零售商i所得到的價(jià)值;由于β*≤0說(shuō)明制造商以概率1選擇高價(jià)，因此(3)的第一個(gè)不等式表示制造商選擇低價(jià)存在可能性，而第二個(gè)不等式表明臨界點(diǎn)β*不大于低價(jià)，若β*大于pl，則制造商不可能選擇低價(jià)，因?yàn)檫x擇低價(jià)會(huì)得到負(fù)的利潤(rùn)，因此制造商會(huì)取消拍賣(mài)或者選擇高價(jià);(4)說(shuō)明零售商在低價(jià)時(shí)所提交的需求量嚴(yán)格高于高價(jià)時(shí)所提交的。

命題3:在統(tǒng)一價(jià)格拍賣(mài)中，xi≥di(pl)，當(dāng)且僅當(dāng)∑y=0時(shí)等式成立;yi≤di(ph)，當(dāng)且僅當(dāng)di(ph)=0時(shí)等式成立。

證明:對(duì)于式(2)關(guān)于xi的一階條件為:G(β*)(d-1i(xi)-pl)+G'(β*)?xiβ*(Li(xi)-Hi(yi))=0

由于d-1i是減函數(shù)，因此有:xi=di(pl-

當(dāng)∑y=0時(shí)，有xi=di(pl)。

同理，關(guān)于yi的一階條件可以得到:yi=di(ph

因此有yi≤d(ph)。若 yi=0則 yi≤d(ph)成立;當(dāng)d(ph)=0時(shí)，則yi=0。因此當(dāng)且僅當(dāng)d(ph)=0時(shí)有yi=d(ph)。

命題3說(shuō)明在統(tǒng)一價(jià)格拍賣(mài)中，零售商在低價(jià)時(shí)所提交數(shù)量高于其真實(shí)需求，在高價(jià)時(shí)所提交數(shù)量低于其真實(shí)需求。

由以上分析可以知道，統(tǒng)一價(jià)格拍賣(mài)中的均衡總是無(wú)效率的。這有兩個(gè)原因，首先，對(duì)于制造商而言，不同于完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)，其產(chǎn)品價(jià)格總高于其邊際成本。由命題2知道0＜β*≤pl，由命題1知當(dāng)制造商成本β≤β*時(shí)，其選擇價(jià)格pl大于邊際成本;當(dāng)制造商成本ph≥β≥β*時(shí)，則選擇價(jià)格ph仍大于邊際成本β。其次，對(duì)于零售商而言總是掩蓋其在不同價(jià)格時(shí)的真實(shí)需求量，從而導(dǎo)致物品的分配無(wú)效率。這可以由命題3看出。

三、歧視價(jià)格拍賣(mài)

在歧視價(jià)格拍賣(mài)中，制造商針對(duì)不同的零售商所提交的產(chǎn)品需求量，采用不同的零售價(jià)格，與統(tǒng)一價(jià)格拍賣(mài)相比，除了支付規(guī)則不同外其它均相同。在本文中，歧視價(jià)格拍賣(mài)的支付規(guī)則為，零售商提交兩種價(jià)格下的需求量(xi，yi)，xi＞yi。若制造商選擇高價(jià)ph，則零售商得到y(tǒng)i個(gè)單位物品，每單位支付ph，其總支付為yiph。若制造商選擇低價(jià)pl，則零售商先為yi個(gè)單位物品每單位支付ph，余下的xi-yi每單位支付pl，其總支付為phyi+(xi-yi)pl。若制造商取消拍賣(mài)，則零售商的支付為0。

命題4:在歧視價(jià)格拍賣(mài)中，制造商的最優(yōu)策略為:

證明:令 a=(ph- β)∑y，b=(pl- β)(∑x-∑y)。若制造商選擇高價(jià)，則其利潤(rùn)為a;若選擇低價(jià)，則其利潤(rùn)為a+b。若β＞ph，制造商選擇高價(jià)或者低價(jià)其利潤(rùn)均為負(fù)，因此此時(shí)最優(yōu)策略為取消拍賣(mài)。若 pl≤β ≤ph，則 a ＞0，b ＜0，此時(shí)最優(yōu)策略為選擇高價(jià)。若 β ≤pl，則 a ＞0，b＞0，此時(shí)最優(yōu)策略為選擇低價(jià)。

命題4說(shuō)明，與統(tǒng)一價(jià)格拍賣(mài)不同，歧視價(jià)格拍賣(mài)時(shí)制造商的最優(yōu)決策只依賴(lài)于自己的成本，與零售商所提交的需求量無(wú)關(guān)。

命題 5:歧視價(jià)格拍賣(mài)中，xi=di(pl)，yi≤di(ph)，當(dāng)且僅當(dāng)di(ph)=0時(shí)等式成立。

證明:根據(jù)命題4可以知道，制造商選擇低價(jià)的概率為G(pl)，選擇高價(jià)的概率為G(ph)-G(pl)。則零售商i的期望效用為:

式(5)關(guān)于xi的一階條件得到:G(pl)(d-1i(xi)-pl)=0，因此有 xi=di(pl)。

式(5)關(guān)于yi的二階條件得到:

G(pl)(pl-ph)+(G(ph)-G(pl))(d-1i(q)-ph)=0。

命題5說(shuō)明在歧視價(jià)格拍賣(mài)中，零售商在低價(jià)會(huì)選擇提交自己真實(shí)的需求量，在高價(jià)會(huì)選擇提交低于自己真實(shí)的需求量，同時(shí)也說(shuō)明歧視價(jià)格拍賣(mài)也導(dǎo)致了資源配置無(wú)效率。

四、比較分析

命題6:制造商在統(tǒng)一價(jià)格拍賣(mài)時(shí)選擇高價(jià)的概率大于歧視價(jià)格拍賣(mài)時(shí)選擇高價(jià)的概率，歧視價(jià)格拍賣(mài)時(shí)選擇低價(jià)的概率大于統(tǒng)一價(jià)格拍賣(mài)選擇低價(jià)的概率。

證明:由命題1和命題4知，當(dāng)β*=(pl∑x-ph∑y)/(∑x-∑y)時(shí)，有pl＞β*，則統(tǒng)一價(jià)格拍賣(mài)選擇高價(jià)的概率為G(ph)-G(β*)大于歧視價(jià)格拍賣(mài)選擇高價(jià)的概率G(ph)-G(pl)，統(tǒng)一價(jià)格拍賣(mài)選擇低價(jià)的概率為G(β*)小于歧視價(jià)格拍賣(mài)選擇低價(jià)的概率G(pl)，如圖1所示。

圖1 統(tǒng)一價(jià)格與歧視價(jià)格拍賣(mài)價(jià)格選擇概率

由命題4和命題5可以看出，歧視價(jià)格拍賣(mài)中，制造商的均衡策略只與產(chǎn)品的生產(chǎn)成本β相關(guān)。零售商的均衡策略在低價(jià)的策略與高價(jià)的策略只與pl，ph及其概率分布相關(guān)。因此，在歧視價(jià)格拍賣(mài)中，均衡策略與參與競(jìng)爭(zhēng)的人數(shù)無(wú)關(guān)。而在統(tǒng)一價(jià)格拍賣(mài)中，假設(shè)零售商i類(lèi)型有k個(gè)，則共有kn個(gè)零售商參與拍賣(mài)。此時(shí)，因此，當(dāng) k→∞時(shí)，?xiβ*→0，?yiβ*→0，此時(shí)-Hi(yi)))→di(ph)。由此可以看出，在統(tǒng)一價(jià)格拍賣(mài)中，參與競(jìng)爭(zhēng)的零售商越多，則提交的需求量扭曲得越少，即越接近真實(shí)的需求量。因此，從機(jī)制設(shè)計(jì)的角度來(lái)看，若參與拍賣(mài)的零售商越多，相對(duì)歧視價(jià)格拍賣(mài)，則制造商更傾向于用統(tǒng)一價(jià)格拍賣(mài)的方式進(jìn)行產(chǎn)品批發(fā)。

五、結(jié)束語(yǔ)

本文從拍賣(mài)理論的角度來(lái)研究多物品的最優(yōu)配置問(wèn)題，分別從統(tǒng)一價(jià)格拍賣(mài)與歧視價(jià)格拍賣(mài)兩個(gè)方面來(lái)分析在制造商供應(yīng)量變化時(shí)制造商的價(jià)格選擇與零售商的最優(yōu)報(bào)價(jià)問(wèn)題，分析了兩種拍賣(mài)模式下的相關(guān)性質(zhì)，并就兩種拍賣(mài)形式進(jìn)行了比較分析。本文只討論了制造商在兩個(gè)價(jià)格下的拍賣(mài)，如果是多個(gè)價(jià)格，結(jié)果又如何?這是以后需要進(jìn)一步研究的內(nèi)容。

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