陳 勤

（三峽大學科技學院，湖北 宜昌 443002）

地下水位動態(tài)是地下水動態(tài)最主要的指標，對地下水動態(tài)進行預測是正確認識地下水資源形成及其性質(zhì)最有效的方法之一[1]。有許多學者對地下水位動態(tài)進行了預測，常見的預測方法包括回歸分析、時間序列分析、有限差分法。文獻[2-3]應用灰色GM(1,1)模型對地下水位動態(tài)進行了模擬和預測，結(jié)果令人滿意。但目前的研究成果大部分以“實數(shù)”為灰色建模前提，而以“灰數(shù)”為建模對象預測地下水位動態(tài)的文獻尚少。本文探討采用區(qū)間灰數(shù)Verhulst模型對地下水位動態(tài)進行預測，證明該模型的可行性和實用性。

1 灰色Verhulst模型

設原始非負序列 X（0）=｛x（0）（1），x（0）（2），…x（0）（n）｝的一階累加生成序列：

Z（1）為 X（1）的緊鄰均值生成序列：

為灰色Verhulst模型。

根據(jù)式(1)利用最小二乘法，估計出參數(shù)a、b的值，得：

為灰色Verhulst模型的白化方程，也稱影子方程。

設B，Y，a^如上所述，則灰色Verhulst模型的白化方程式(5)的解為：

灰色Verhulst模型的時間響應式為：

2 區(qū)間灰數(shù)Verhulst模型

定義1 既有下界ak，又有上界bk的灰數(shù)稱為區(qū)間灰數(shù)，記作?k∈，其中 ak＜bk。

定義2 在區(qū)間灰數(shù)?k缺乏取值分布信息的情況下，若?k為連續(xù)灰數(shù)，則稱為區(qū)間灰數(shù)?k的核。

定義 3 由區(qū)間灰數(shù)?k∈［ak，bk］（k=1，2，…，n）構(gòu)成的序列稱為區(qū)間灰數(shù)序列，記作 X（?）=｛?1，?2，…，?n｝；在區(qū)間灰數(shù)序列 X（?）中，根據(jù)定義 1，由每個區(qū)間灰數(shù)?k的核?~k所構(gòu)成的序列稱為 X（?）的核序列 X（?~），記作。

定義4[4]區(qū)間灰數(shù)?k的上界bk與下界ak的差值稱為區(qū)間灰數(shù)?k的信息域或區(qū)間域，記為dk=bk-ak。區(qū)間灰數(shù)序列X（?）中所有灰元的信息域dk所構(gòu)成的序列稱作X（?）的信息域序列，記作Xd=

。 區(qū)間灰數(shù)?^ （tk+1）預測值的信息域

定理 1 設?k為連續(xù)灰數(shù)，且，又為灰數(shù)的核，為灰數(shù)的信息域，則有：

區(qū)間灰數(shù)序列的Verhulst模型建立如下：

其中，Z（1）為的緊鄰均值生成序列。

利用最小二乘法，估計出參數(shù)a,b的值，得：

區(qū)間灰數(shù)的Verhulst模型為：

3 應用分析

下面通過對某盆地下游湖區(qū)站點地下水位埋深建立區(qū)間灰數(shù)Verhulst模型，驗證該模型在解決實際問題時的可行性和實用性。

表1 某盆地下游湖區(qū)站點地下水位觀測結(jié)果的區(qū)間灰數(shù)值

由表 1，可得區(qū)間灰數(shù)序列 X（?）=｛［18.06，18.40］，［18.43，18.75］，… ［29.01，29.25］｝， 根據(jù)定義 2 和定義 3，X （?） 的核序列｛18.23，18.59，19.24，19.91，22.48，27.45，28.59，28.72，29.13｝。

圖1表明核序列表現(xiàn)出近S形特征，符合Verhulst模型的建模條件，可以對其建立Verhulst模型。計算模型參數(shù)，得a=-0.1406，b=-0.0034，由式（9）可得核序列的灰色Verhulst模型為：

圖1 核序列的近似S形特征

表2 某盆地下游湖區(qū)站點地下水位預測值

信息域由定義 4確定，d^k+1=d1∨d2∨…d9=0.82，由式(10）得：

經(jīng)計算，核序列Verhulst模型的平均相對誤差接近二級，可用于預測，見表2。

4 結(jié)論

基于核序列的區(qū)間灰數(shù)Verhulst模型應用于地下水位動態(tài)的預測，具有運算方便、易于檢驗等優(yōu)點，驗證了該模型的有效性和實用性，滿足了灰色系統(tǒng)理論中越來越常見的區(qū)間灰數(shù)序列預測的需要。

［1］陳葆仁,洪再吉.地下水動態(tài)及其預測[M].北京：科學出版社,1988.

［2］富飛.灰色GM(1,1)模型在地下水位動態(tài)預測中的應用[J].地下水,2014(1).

［3］楊建飛,劉俊民,陳琳.基于灰色殘差模型的灌區(qū)地下水最小埋深預測[J].人民黃河,2011(7).

［4］楊德嶺,劉思峰,曾波.基于核和信息域的區(qū)間灰數(shù)Verhulst模型[J].控制與決策,2013(2).