牛銀菊，羅永麗，夏亞峰

(1.東莞理工學(xué)院計算機學(xué)院，廣東東莞523808;2.蘭州理工大學(xué)理學(xué)院，甘肅蘭州730050)

0 引言

風(fēng)險理論是當(dāng)前精算數(shù)學(xué)界研究的熱門課題.文獻［1］介紹了帶干擾的經(jīng)典風(fēng)險模型，文獻［2-4］基于干擾條件對保費和索賠到達過程進行了推廣.文獻［5］利用效用理論討論了確定停止損失再保險的數(shù)學(xué)模型，給出了最優(yōu)自留額存在且唯一的充要條件.文獻［6］利用線性規(guī)劃證明了停止損失再保險的最優(yōu)性，用鞅方法得到了破產(chǎn)概率的解析表達式及上界.關(guān)于 Cox 風(fēng)險模型，J.Grandell［7］對此有深入地研究，得到了其破產(chǎn)概率的Lundberg不等式以及其他一些結(jié)論.文獻［8-11］較為詳細地研究了雙險種且理賠次數(shù)服從Cox過程的風(fēng)險模型，得到破產(chǎn)概率在特殊情況下的數(shù)學(xué)表達式.文獻［12-14］建立了再保險的Cox風(fēng)險模型，文獻［15-16］建立了帶干擾項的雙Cox風(fēng)險模型，得到了其破產(chǎn)概率明確的表達式及Lundberg不等式.在實際運營中，保險公司由于保險規(guī)模的不斷擴大，保險的組織形式也需要建立多元化的模式，同時由于受通貨膨脹、投資回報、自然災(zāi)害等因素的影響，保險公司有可能面臨破產(chǎn).為了規(guī)避破產(chǎn)的風(fēng)險，保險公司通過簽訂分保合同，將其所承擔(dān)的風(fēng)險轉(zhuǎn)給再保險公司.再保險是一種分散保險公司風(fēng)險的有效方法，而破產(chǎn)概率又是度量風(fēng)險的重要指標(biāo).為得到更符合保險公司實際情況的風(fēng)險模型，本文建立帶投資組合和超額賠款的再保險雙Cox風(fēng)險模型，得到了其Lundberg指數(shù)上界和破產(chǎn)概率的上界，并給出了最終破產(chǎn)概率的表達式.

1 模型的建立

給定概率空間(Ω，F(xiàn)，P).

定義1 隨機過程{Λ(t)，t≥0}以概率1滿足:

1)Λ(0)=0;

2)?t＜+∞，Λ(t)＜+∞;

3)其樣本軌道是關(guān)于時間t的連續(xù)函數(shù)且單調(diào)不減，以及當(dāng)t→+∞ 時，Λ(t)→+∞，P-a.s.，則稱Λ(t)為一個擴散的隨機測度.

定義3 設(shè)Λ(t)是擴散的隨機測度，{N(t)，t≥0}是累積強度為Λ(t)的Cox過程，{Zk，k≥1}是同分布的非負隨機序列且相互獨立，其均值為μ，分布函數(shù)為F(·)，且假定它們是相互獨立的，再保險公司向分出保險的保險公司的第k次賠付額為

其中，m表示分出保險的保險公司自留賠付額的最大上限，zk表示所支付的第k次賠付額(k=1，2，3，…).

在引入本文的模型之前，還需要作如下假設(shè):

(i)在時期［0，t］內(nèi)收到的保費次數(shù){N1(t)，t≥0}是強度為{Λ1(t)，t≥0}的Cox過程，每次收到的保費{Xk，k≥1}是獨立同分布的隨機變量，且與{N1(t)，t≥0}相互獨立;

(ii)再保險公司所承擔(dān)的險種在時期［0，t］內(nèi)的理賠次數(shù){N2(t)，t≥0}是強度為{Λ2(t)，t≥0}的Cox過程，每次的理賠額{Yk，k≥0}是相互獨立的隨機變量，且與{N2(t)，t≥0}相互獨立;

(iii)再保險公司向分出保險的保險公司的理賠次數(shù){N3(t)，t≥0}是強度為{Λ3(t)，t≥0}的Cox過程，每次的理賠額{zk，k≥0}相互獨立的隨機變量，且與{N3(t)，t≥0}相互獨立;

(iv){N1(t)，t≥0}，{Xk，k≥1};{N2(t)，t≥0}，{Yk，k≥0};{N3(t)，t≥0}，{zk-h(zk)，k≥0}分別相互獨立;

(v)假設(shè)投資組合收益率滿足aW(t)+rt，其中a為干擾因子，W(t)為標(biāo)準(zhǔn)的布朗運動，r為漂移參數(shù).

在上述假設(shè)下，考慮超額賠款再保險，建立帶投資組合的再保險雙Cox風(fēng)險模型為

其中，u1表示保險公司的初始資金，u2表示用于投資的項目資金，r1表示u2的投資組合收益率(不包括投資管理成本和稅收)，u3表示投資風(fēng)險較大且收益不確定的項目資金，E［h(z)］表示再保險公司所承擔(dān)賠付額的均值，ξ表示再保險公司受理再保險的相對安全系數(shù)，U(t)表示t時刻保險公司的盈余，u1＞ 0，u2＞ 0，u3＞ 0，r1＞ 0，r2＞ 0，a ＞ 0.

令 u=u1+u2+u3，b=r1u2+r2u3，

則U(t)=u+S(t).

令 ψ(u)=p(u+S(t)＜ 0，?t≥0)，φ(u)=1- ψ(u)，Tu=inf{t≥0，u+S(t)＜ 0}，則稱Tu為破產(chǎn)時刻，ψ(u)為保險公司的破產(chǎn)概率.

2 破產(chǎn)概率的上界

引理 1［7］如果 Λ(t)是隨機測度，且假設(shè)E［Λ(t)］＜∞，= σ(Λ(t)，t≥0)，則N(t)是相應(yīng)的Cox過程，當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件:

定理1 令Mu(t)=exp［-r(u+S(t))］［exp(-rS(t))］，則 Mu(t)是 Ft鞅.

證令FΛ1∞=σ(Λ1(t)，t≥0)，F(xiàn)Λ2∞=σ(Λ1(t)，t≥0)，F(xiàn)Λ2∞=，其中F(x)，G(x)，G1(x)分別是隨機變量X，Y，Z的分布函數(shù).

因此有

其中 g4(r)=g3(r)+r(1+ ξ)E(h(Z))，E(h(Z))=是再保險部分分布函數(shù)G1(x)的均值.

另一方面，有

因此，由(2)和(3)式有

所以Mu(t)是Ft鞅.

定理2 對于模型(1)，?r＞0，破產(chǎn)概率ψ(u)≤e-ru·G(r)，其中

證設(shè)Tu是破產(chǎn)時刻，Tu是停時，設(shè)t0(＜∞)為常數(shù)，則易知t0∧Tu(≥0)是有界停時.由鞅的可選停時定理得

因此，

又由于Tu時刻保險公司破產(chǎn)，-r(u+S(Tu))≥0，故 exp［-r(u+S(Tu))］≥1，則

故(5)式可化為

對(6)式兩邊取期望得

在上式兩端令t0→+∞ 得

定理3 對于模型(1)，最終破產(chǎn)概率

證由于exp{-Ru}=M0(0)=E［Mu(t0∧t0］P［Tu≥ t0］，所以，當(dāng) t0→∞ 時，

又Tu＞t0，E［U(t0)］→∞(t0→∞)，由控制收斂定理得

(7)式變?yōu)?/p>

于是

以上結(jié)論表明，本文建立的風(fēng)險模型與古典風(fēng)險模型的結(jié)果相類似.

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