王海蓮，王良龍

（1.安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601；2.巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽巢湖 238000）

三階p－Laplacian中立型泛函微分方程的周期解

王海蓮1，2，王良龍1

（1.安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601；2.巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽巢湖 238000）

周期解；Mawhin重合度；三階；p－Laplacian方程

0 引 言

泛函微分方程周期解的存在性在生態(tài)學(xué)、物理和控制理論等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛［1－4］.文獻(xiàn)［5－6］證明了二階p－Laplacian中立型方程周期解的存在性；文獻(xiàn)［7］研究了四階p－Laplacian方程：

的周期解問題；文獻(xiàn)［8］得到了如下三階p－Laplacian方程

的周期解問題.基于文獻(xiàn)［5－8］的研究結(jié)果，本文考慮一類更一般的具有多個(gè)偏差變?cè)娜Ap-Laplacian方程.利用Mawhin重合度理論，研究一類三階p－Laplacian中立型泛函微分方程周期解的存在性問題，給出了這類方程存在一個(gè)T周期解的充分性條件.考慮方程：

1 引 理

引理5［6］若g∈CT，τ∈CT∩C1（R，R），且τ′（t）＜1，?t∈［0，T］，則g（μ（t））∈CT，這里μ（t）是t－τ（t）的逆算子.

引理6［9］設(shè)L是指數(shù)為零的Fredholm算子，且L滿足下列條件：

1）對(duì)任意的λ∈（0，1），x∈?Ω∩domL，L（x）≠λN x；

2）N x?ImL，?x∈?Ω∩KerL；

3）deg｛QN x，Ω∩KerL，0｝≠0.

則方程L x＝N x在domL∩ˉΩ中至少有一個(gè)解.

2 主要結(jié)果

從而對(duì)于任意的x∈?Ω∩KerL，μ∈［0，1］，H（x，μ）＝φx＋（1－μ）J QN x≠0.因此，

再由引理6知，方程（1）有一個(gè)T周期解.證畢.

根據(jù)定理1可知，方程（35）至少存在一個(gè)π周期解.

［1］ WANG Lianglong，WANG Zhicheng，ZOU Xingfu.Periodic Solutions of Neutral Functional Differential Equations［J］.J London Math Soc，2002，65（2）：439－452.

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［9］ Gines R E，Mawhin J L.Coincidence Degree and Nonlinear Differential Equations［M］.Heidelberg：Springer－Verlag，1977.

Periodic Solutions for Three－Orderp－Laplacian Neutral Functional Differential Equation

WANG Hailian1，2，WANG Lianglong1
（1.SchoolofMathematicalSciences，AnhuiUniversity，Hefei230601，China；2.DepartmentofMathematics，ChaohuUniversity，Chaohu238000，AnhuiProvince，China）

periodic solution；Mawhin’s coincidence degree；three－order；p－Laplacian equation

O175.14

A

1671－5489（2014）03－0421－08

10.13413／j.cnki.jdxblxb.2014.03.04

2013－06－18.

王海蓮（1981—），女，漢族，碩士研究生，從事微分方程的研究，E－mail：wanghailian77＠163.com.通信作者：王良龍（1964—），男，漢族，博士，教授，從事微分方程的研究，E－mail：wangll＠ahu.edu.cn.

高等學(xué)校博士點(diǎn)基金（批準(zhǔn)號(hào)：20113401110001）、安徽省自然科學(xué)基金（批準(zhǔn)號(hào)：1308085 MA01）和安徽大學(xué)研究生學(xué)術(shù)創(chuàng)新研究項(xiàng)目（批準(zhǔn)號(hào)：10117700020）.

趙立芹）