肖來元，寇曉菲，左惟偉

（華中科技大學(xué)軟件學(xué)院，湖北 武漢 430074)

三維編織復(fù)合材料編織工藝過程仿真研究＊

肖來元，寇曉菲，左惟偉

（華中科技大學(xué)軟件學(xué)院，湖北 武漢 430074)

總結(jié)了四步編織工藝的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。對(duì)紗線的空間坐標(biāo)進(jìn)行三次B樣條曲線擬合得到擬合坐標(biāo)；設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了紗線實(shí)體的靜態(tài)模型算法，根據(jù)擬合坐標(biāo)得到紗線空間網(wǎng)格坐標(biāo)并建立了紗線實(shí)體的靜態(tài)模型；實(shí)現(xiàn)了紗線軌跡的動(dòng)態(tài)展示以及實(shí)體生成過程的動(dòng)態(tài)展示；構(gòu)建了GUI界面并編譯成了可脫離Matlab環(huán)境的獨(dú)立運(yùn)行程序。

三維編織；靜態(tài)模型；動(dòng)態(tài)仿真；圖形用戶接口

1 引言

三維編織復(fù)合材料是一種新型的復(fù)合材料，雖然其出現(xiàn)較晚，發(fā)展時(shí)間不長，但是已經(jīng)在國民經(jīng)濟(jì)各個(gè)領(lǐng)域，特別是在航天航空領(lǐng)域占據(jù)重要地位。傳統(tǒng)的二維材料受力之后易分層，嚴(yán)重影響其力學(xué)性能，而三維編織復(fù)合材料一次成型不分層，因此具有高的比模量和比強(qiáng)度、抗沖擊、耐腐蝕、良好的疲勞抗性等。目前最常用的三維編織方法是四步法和二步法，且四步法是研究最多的編織方法［1，2］。

本文將三維編織工藝和計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)相結(jié)合，以方形截面和圓形截面的四步法三維編織復(fù)合材料為例，研究其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，建立靜態(tài)網(wǎng)格模型和靜態(tài)實(shí)體模型，同時(shí)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真。

2 三維編織復(fù)合材料四步編織運(yùn)動(dòng)

四步編織運(yùn)動(dòng)是最常用且被研究得最多的編織工藝，下面分別以方形截面和圓形截面為例，對(duì)四步編織運(yùn)動(dòng)進(jìn)行簡要說明。

2.1 方形截面四步編織運(yùn)動(dòng)

方形截面四步編織運(yùn)動(dòng)每四步為一個(gè)機(jī)器循環(huán)，具體的編織過程如圖1所示。由圖1可知，方形截面的四步編織運(yùn)動(dòng)第一步和第三步沿水平方向運(yùn)動(dòng)一個(gè)位置，且一、三步的運(yùn)動(dòng)方向相反；第二步和第四步沿豎直方向運(yùn)動(dòng)一個(gè)位置，且二、四步的運(yùn)動(dòng)方向相反。為了區(qū)分每個(gè)攜紗器，方便觀察特定攜紗器的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，給每個(gè)攜紗器都按照所在的行列編號(hào)，且由圖1我們可以得到以下結(jié)論：

（1)如果某個(gè)攜紗器當(dāng)前的位置已經(jīng)確定，則可以根據(jù)這個(gè)攜紗器是處于內(nèi)部、表面、次表面還是邊界來確定此攜紗器上一個(gè)機(jī)器循環(huán)之前的位置和下一個(gè)機(jī)器循環(huán)之后的位置。

（2)任何一個(gè)攜紗器經(jīng)過有限個(gè)機(jī)器循環(huán)S后都會(huì)回到初始的位置，S僅和m 和n有關(guān)［3］：S＝4＊（m＊n＋m＋n)/g，g為m 和n的最大公約數(shù)，其中m為主體攜紗器陣列中攜紗器的行數(shù)，n為主體攜紗器陣列中攜紗器的列數(shù)。

（3)任何一個(gè)攜紗器在第一次回到初始位置的運(yùn)動(dòng)過程中，每個(gè)機(jī)器循環(huán)所經(jīng)過的位置都不會(huì)重復(fù)。

Figure 1 Four-step braiding motion of square section圖1 方形截面四步編織運(yùn)動(dòng)

2.2 圓形截面四步編織運(yùn)動(dòng)

圓形截面的四步編織運(yùn)動(dòng)不同于方形截面。圓形截面的編織運(yùn)動(dòng)：第一步和第三步所有的攜紗器沿徑向運(yùn)動(dòng)一個(gè)位置，且一、三步的運(yùn)動(dòng)方向相反；第二步和第四步基本陣列中的攜紗器沿周向運(yùn)動(dòng)一個(gè)位置，且二、四步的運(yùn)動(dòng)方向相反。由編織規(guī)律可知，排列在圓環(huán)最內(nèi)側(cè)和最外側(cè)的攜紗器只參與一、三步的徑向運(yùn)動(dòng)，并不參與二、四步的周向運(yùn)動(dòng)。

圓形截面算法設(shè)計(jì)的中心環(huán)節(jié)便是坐標(biāo)變換。圖2給出了方形截面和圓形截面四步編織運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系。由圖2可知，如果把圓形截面展開，把圓環(huán)內(nèi)徑拉伸到與外徑相同的長度，就能把圓形截面變換成方形截面。同時(shí)，圓形截面原本的周向運(yùn)動(dòng)在變換成方形截面之后變?yōu)榱似叫杏赬軸的水平運(yùn)動(dòng)；而圓形截面中的徑向運(yùn)動(dòng)在變換成方形截面之后變成了平行于Y軸的豎直運(yùn)動(dòng)。由此可知，只需將方形截面三維編織復(fù)合結(jié)構(gòu)的靜態(tài)網(wǎng)格坐標(biāo)進(jìn)行一定的坐標(biāo)變換，便可以得到圓形截面三維編織復(fù)合結(jié)構(gòu)的靜態(tài)網(wǎng)格坐標(biāo)。

Figure 2 Four-step braiding motion of circular section and square section圖2 圓形截面和方形截面四步編織運(yùn)動(dòng)

2.3 三維編織復(fù)合結(jié)構(gòu)的靜態(tài)網(wǎng)格坐標(biāo)

由四步編織運(yùn)動(dòng)的編織規(guī)律，結(jié)合網(wǎng)格坐標(biāo)法的思想［4］，便可以模擬四步編織運(yùn)動(dòng)，分別得到方形截面和圓形截面三維編織復(fù)合結(jié)構(gòu)的靜態(tài)網(wǎng)格坐標(biāo)，為建立三維編織復(fù)合材料靜態(tài)實(shí)體模型奠定基礎(chǔ)。

3 三維編織復(fù)合材料靜態(tài)實(shí)體模型

靜態(tài)實(shí)體模型能直觀地展示紗線實(shí)體空間的繞行情況，由于Matlab并不提供繪制紗線實(shí)體模型的函數(shù)，所以我們需要自己編寫函數(shù)來繪制紗線實(shí)體。為了實(shí)現(xiàn)三維編織結(jié)構(gòu)構(gòu)件的靜態(tài)實(shí)體模型，我們必須首先做如下假設(shè)：

（1)紗線的橫截面為理想狀況的圓形，并沿紗線軸向方向是均勻的。

（2)所有紗線都具有相同的直徑。

（3)紗線處于理想狀況，即紗線在相互交織、相互擠壓受力時(shí)，紗線的形狀不發(fā)生改變。

在滿足如上的假設(shè)前提下，結(jié)合上一節(jié)求出的三維編織復(fù)合材料四步編織運(yùn)動(dòng)后的靜態(tài)網(wǎng)格坐標(biāo)，并對(duì)此坐標(biāo)進(jìn)行三次B樣條曲線擬合得到擬合坐標(biāo)，最后由此坐標(biāo)作為紗線軸線坐標(biāo)繪制出靜態(tài)實(shí)體模型。

3.1 三次B樣條曲線擬合

B樣條有許多定義方式，但在應(yīng)用上較為簡便且常用的是de Boor-Cox公式。由de Boor-Cox公式推導(dǎo)出三次B樣條曲線為［5］：

上式是在u∈［0，1］的范圍內(nèi)求得的，規(guī)定每段曲線用100個(gè)節(jié)點(diǎn)來擬合曲線段，由上式運(yùn)用Matlab設(shè)計(jì)算法便可得到三次B樣條曲線的擬合坐標(biāo)。

3.2 坐標(biāo)變換

坐標(biāo)變換的實(shí)質(zhì)：空間擬合坐標(biāo)做差分，令差分為紗線實(shí)體橫截面圓面的法向量，由法向量、空間擬合坐標(biāo)和紗線橫截圓面的半徑可以求得紗線實(shí)體的空間網(wǎng)格坐標(biāo)。求解的方法是令法向量平移到坐標(biāo)原點(diǎn)進(jìn)行平移變換；規(guī)定一基準(zhǔn)點(diǎn)并求出基準(zhǔn)點(diǎn)的空間坐標(biāo)；使得基準(zhǔn)點(diǎn)繞法向量旋轉(zhuǎn)求出旋轉(zhuǎn)軌跡坐標(biāo)矩陣，則此坐標(biāo)矩陣即為紗線實(shí)體的空間網(wǎng)格坐標(biāo)集合。

（1)平移變換。

假設(shè)空間一點(diǎn)的坐標(biāo)為 （x′，y′，z′)，平移后的坐標(biāo)為 （x，y，z)，則平移方程為：

（2)圓上基準(zhǔn)點(diǎn)坐標(biāo)。

由圖3可知，點(diǎn)F為圓上的一個(gè)特殊點(diǎn)，其空間坐標(biāo)很容易求得，但圓上其它點(diǎn)的空間坐標(biāo)比較難求。我們可以把點(diǎn)F看作是基準(zhǔn)點(diǎn)，圓上其它的點(diǎn)都是該基準(zhǔn)點(diǎn)繞著圓的法向量OB旋轉(zhuǎn)而形成的，這樣就可以把圓上其它點(diǎn)坐標(biāo)的問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)繞已知向量旋轉(zhuǎn)的問題，這在一定程度上簡化了運(yùn)算。

（3)點(diǎn)繞任意向量旋轉(zhuǎn)。

如圖4所示，已知一過原點(diǎn)的向量u，要求繞向量u逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角在笛卡爾坐標(biāo)系中的標(biāo)準(zhǔn)自然基下的齊次變換矩陣。既然在標(biāo)準(zhǔn)自然基下，坐標(biāo)軸上的旋轉(zhuǎn)變換矩陣很容易求得，那么我們在做旋轉(zhuǎn)變換的時(shí)候一定要選好基。然而結(jié)果是要求在標(biāo)準(zhǔn)自然基下的，直接求解比較麻煩，我們通過構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)恼换鶃砬蠼鈫栴}，然后根據(jù)過度矩陣與坐標(biāo)的關(guān)系，轉(zhuǎn)換到標(biāo)準(zhǔn)自然基下，具體的求解過程如下所示：

Figure 3 Reference point F圖3 基準(zhǔn)點(diǎn)F

Figure 4 Structural map of orthonormal basis圖4 標(biāo)準(zhǔn)正交基構(gòu)造圖

（1)為了簡化計(jì)算，我們不妨設(shè)向量w為單位向量。

（2)構(gòu)造我們的標(biāo)準(zhǔn)正交基。如圖4所示，我們首先在空間中取不在向量w上的任意一點(diǎn)P，則向量u與向量OP可以確定一個(gè)平面。在平面u-OP中，將OP投影到u上，得到向量OM 和向量ON，則：將向量ON單位化并取反向（跟右手坐標(biāo)系一致)，得到單位向量v，最后：

那么，u、v、w組成了新的標(biāo)準(zhǔn)正交基，如圖4所示。

（3)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換?？梢钥闯觯?｛x｜x＝ku，k為實(shí)數(shù)｝與集合｛z＝x＋y｜x＝mv，y＝nw；m、n為實(shí)數(shù)｝都是旋轉(zhuǎn)變換的不變子空間，其中前者還是旋轉(zhuǎn)軸。那么，我們很容易得出這個(gè)旋轉(zhuǎn)變換在基｛u，v，w｝下的變換矩陣是：

又可以求出由標(biāo)準(zhǔn)自然基到基｛u，v，w｝的過

度矩陣C為：

那么可以求得在自然基下這個(gè)旋轉(zhuǎn)變換的矩陣是：

又｛u，v，w｝也是標(biāo)準(zhǔn)正交基，因此過度矩陣C也是正交矩陣，正交矩陣的逆矩陣等于自己的轉(zhuǎn)置。最后，在自然基下的矩陣為：

（4)求出齊次變換矩陣，并代入變化量為已知值，最后化成四階的齊次矩陣。

由以上公式，運(yùn)用Matlab設(shè)計(jì)算法可以求得紗線實(shí)體的空間網(wǎng)格坐標(biāo)。

3.3 靜態(tài)實(shí)體模型

由3.1節(jié)和3.2節(jié)可求得紗線實(shí)體的空間網(wǎng)格數(shù)據(jù)，利用Matlab自身所具有的surf和patch函數(shù)，可以得到靜態(tài)實(shí)體模型。圖5a為方形截面四步法6＊6三維編織靜態(tài)實(shí)體模型，圖5b為圓形截面四步法4＊8三維編織靜態(tài)實(shí)體模型。

4 三維編織過程紗線軌跡動(dòng)態(tài)展示和實(shí)體動(dòng)態(tài)生成

4.1 三維編織過程紗線軌跡動(dòng)態(tài)展示

用Matlab進(jìn)行動(dòng)畫制作主要有三種方式：電影動(dòng)畫、擦除動(dòng)畫和質(zhì)點(diǎn)動(dòng)畫。根據(jù)各種動(dòng)畫制作的特性，我們選擇擦除動(dòng)畫作為三維編織過程紗線軌跡的動(dòng)態(tài)展示。

繪制攜紗器的運(yùn)動(dòng)過程，我們希望能夠達(dá)到攜紗器運(yùn)動(dòng)但是其運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的軌跡并不保留的效果；而對(duì)于紗線的空間運(yùn)動(dòng)，我們希望保留其運(yùn)動(dòng)軌跡。根據(jù)擦除動(dòng)畫制作的描述，我們可以把攜紗器對(duì)象的擦除屬性“EraseMode”設(shè)置成Xor，這樣就可以滿足攜紗器的動(dòng)畫制作要求；同時(shí)，紗線的空間運(yùn)動(dòng)希望保留其運(yùn)動(dòng)軌跡，我們通過plot3函數(shù)就能夠滿足其要求。程序設(shè)計(jì)總的思想是：每一個(gè)運(yùn)動(dòng)步驟畫出所有的攜紗器及紗線對(duì)象；然后刷新屏幕，下一個(gè)運(yùn)動(dòng)步驟再畫出所有的攜紗器及紗線，循環(huán)往復(fù)直到所有的運(yùn)動(dòng)步驟都完成為止。

我們以第3節(jié)求出的三次B樣條曲線的擬合坐標(biāo)作為紗線運(yùn)動(dòng)的空間坐標(biāo)來設(shè)計(jì)算法，繪制出四步法方形截面紗線的動(dòng)態(tài)軌跡圖。

圖6為方形截面四步法4＊4三維編織紗線軌跡動(dòng)態(tài)展示圖截圖。

Figure 5 Static entity model圖5 靜態(tài)實(shí)體模型

4.2 三維編織過程紗線實(shí)體動(dòng)態(tài)生成

Figure 6 Dynamic display figure of the yarn trajectory圖6 紗線軌跡動(dòng)態(tài)展示圖

Figure 7 Dynamic display of the yarn entity generation process圖7 紗線實(shí)體生成過程動(dòng)態(tài)展示

5 三維編織成型工藝仿真GUI

GUI是圖形用戶界面，像許多高級(jí)編程語言一樣，Matlab也有用戶界面開發(fā)環(huán)境。在Matlab環(huán)境下設(shè)計(jì)GUI，可以設(shè)計(jì)出簡潔的界面，通過點(diǎn)擊GUI界面上的按鈕調(diào)用某些函數(shù)來實(shí)現(xiàn)預(yù)定的功能。

本文主要設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)三維編織成型工藝GUI，整個(gè)GUI可實(shí)現(xiàn)編織工藝參數(shù)的輸入、根據(jù)參數(shù)完成方形截面和圓形截面四步編織法的靜態(tài)網(wǎng)格模型和靜態(tài)實(shí)體模型的繪制、紗線軌跡生成的動(dòng)態(tài)展示、紗線實(shí)體動(dòng)態(tài)生成過程的展示等功能。

GUI設(shè)計(jì)界面如圖8所示，對(duì)于方形截面來說，圖中所需輸入的編織參數(shù)m和n分別為主攜紗器陣列的行數(shù)和列數(shù)；對(duì)于圓形截面來說，m和n分別為主攜紗器陣列徑向攜紗器數(shù)和周向攜紗器數(shù)，Rin和Rout為圓形截面編織物的內(nèi)徑和外徑。

Figure 8 GUI of 3-D braiding process圖8 三維編織工藝GUI

6 結(jié)束語

本文以四步編織法為基礎(chǔ)，建立了方形截面和圓形截面三維編織復(fù)合結(jié)構(gòu)的靜態(tài)實(shí)體模型，實(shí)現(xiàn)了紗線軌跡運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)展示和紗線實(shí)體的動(dòng)態(tài)生成展示，并設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了三維編織成型工藝仿真GUI。

本文構(gòu)建的三維編織成型工藝GUI，使用戶的操作更加方便，不需要了解函數(shù)的功能和調(diào)用方式便可以方便地實(shí)現(xiàn)所需的功能，并可以根據(jù)不同的編織參數(shù)建立不同的模型，僅需輸入編織參數(shù)，點(diǎn)擊所需功能的按鈕便可以完成功能需求。用戶可以通過本設(shè)計(jì)，在產(chǎn)品生產(chǎn)之前就直觀地了解各種編織參數(shù)下產(chǎn)品的形狀以及紗線的運(yùn)動(dòng)軌跡和紗線實(shí)體的生成過程。這在很大程度上縮短了產(chǎn)品的設(shè)計(jì)、生產(chǎn)和交付周期，降低了生產(chǎn)成本，提高了生產(chǎn)效率。

本文建立的均為數(shù)學(xué)模型，并沒有考慮紗線之間相互力的作用，也沒有考慮紗線的大小和編織過程中編織速度的影響。

紗線的大小和編織過程中編織速度的不同均可能影響最終編織物的幾何形狀，這均為今后進(jìn)一步研究的重點(diǎn)之一。

［1］ Dong Fu-yun，Wang Chun-min，Dong Juan.Development and application of 3Dtextile composites［J］.Fiber Composites，2001，37（3)：37-40.（in Chinese)

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［4］ Wang Bo-feng.Study on the geometric molding simulation and algorithm of 3Dbraided composites［D］.Wuhan：Huazhong University of Science and Technology，2006.（in Chinese)

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附中文參考文獻(xiàn)

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Study on the simulation of 3-D braided composites braiding process

XIAO Lai-yuan，KOU Xiao-fei，ZUO Wei-wei
（School of Software，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China)

The motion law of four－step braiding technique is summarized.Through cubic B-spline curve fitting，the fitting coordinates can be got from the spatial coordinates.The algorithm that can achieve the static model of yarn entity is designed.Based on the fitting coordinates，the yarn space grid coordinates and the static model of the yarn entity are obtained.The dynamic display of the yarn trajectory and the yarn entity generation process is achieved.The GUI interface is designed and the program that can be independent from the Matlab environment is compiled.

3-D braiding；static model；dynamic simulation；graphical user interface（GUI)

TP391.9

A

10.3969/j.issn.1007-130X.2014.04.025

2012-07-30；

2013-01-28

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51145010)

通訊地址：430074湖北省武漢市華中科技大學(xué)軟件學(xué)院

Address：School of Software，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，Hubei，P.R.China

1007-130X（2014)04-0719-06

book=0,ebook=341

肖來元（1957-)，男，湖北松滋人，博士，教授，研究方向?yàn)檐浖こ?。E-mail：Xiao.l.y＠263.net

XIAO Lai-yuan，born in 1957，PhD，professor，his research interest includes software engineering.

寇曉菲（1987-)，男，河南平頂山人，碩士生，研 究 方 向 為 軟 件 工 程。E-mail：Kxfei1987＠163.com

KOU Xiao-fei，born in 1987，MS candidate，his research interest includes software engineering.

左惟煒（1973-)，男，湖北漢川人，博士，講師，研究方向?yàn)闄C(jī)械學(xué)、機(jī)械動(dòng)力學(xué)和復(fù)合材料力學(xué)。E-mail：zuo＿william＠yahoo.com.cn

ZUO Wei-wei，born in 1973，PhD，lecturer，his research interests include mechanism，mechanical kinetics，and mechanics of composite materials.