☉江蘇省贛榆縣塔山中學(xué) 萬(wàn)學(xué)友

引領(lǐng)教學(xué)：“課題研究”考題的價(jià)值思考

☉江蘇省贛榆縣塔山中學(xué) 萬(wàn)學(xué)友

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）中關(guān)于“綜合實(shí)踐”有如下表述：“結(jié)合實(shí)際情境，經(jīng)歷設(shè)計(jì)解決具體問(wèn)題的方案，并加以實(shí)施的過(guò)程，體驗(yàn)建立模型、解決問(wèn)題的過(guò)程，并在此過(guò)程中，嘗試發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題.”［1］新課改以來(lái)的十多年里，各地中考試卷中出現(xiàn)了一類新題型：“課題研究”類考題.筆者理解，這類考題的教學(xué)導(dǎo)向主要是指向教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué).本文結(jié)合一些“課題研究”類考題，嘗試解讀命題價(jià)值，思考教學(xué)導(dǎo)向，與同行研討.

一、倡導(dǎo)由教材出發(fā)，自主探究新知

（1）寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，并求a的值；

圖1

①求n的值；

②分別寫(xiě)出平移后的兩個(gè)圖像C′和l′對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

價(jià)值思考：對(duì)于第（2）問(wèn)，引導(dǎo)再讀教材后，可將函數(shù)y=（fx）的圖像向左（或向右）平移k（k＞0）個(gè)單位后得到新的函數(shù)解析式為y=（fx＋k）（或y=（fx－k）），這樣雙曲線平移后的函數(shù)解析式為，將M（2，4）代入可得n的值，進(jìn)一步平移后，一次函數(shù)的解析式可求.最后畫(huà)出平移后的圖像，利用數(shù)形結(jié)合思想（即圖像法）即可寫(xiě)出不等式的解集.經(jīng)歷上述“教材再讀”、“模仿操作”“、新題探究”等過(guò)程之后，解題和探究過(guò)程本身就是一種教學(xué)引領(lǐng)：要重視對(duì)教材的研究，加強(qiáng)對(duì)教材內(nèi)容的深刻理解，哪怕是像教材上的一道探究習(xí)題，也值得認(rèn)真、深入地研習(xí).從這個(gè)角度看，章建躍教授的“教材的結(jié)構(gòu)體系、內(nèi)容順序是反復(fù)考量的，語(yǔ)言是字斟句酌的，例題是反復(fù)打磨的，習(xí)題是精挑細(xì)選的”［2］論點(diǎn)就顯得有意義.

二、重視特殊到一般，學(xué)會(huì)拓展研究

例2（2013年福建莆田第25題）在Rt△ABC中，∠C=0°，D為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在BC、AC邊上，且DM⊥DN.作MF⊥AB于點(diǎn)F，NE垂直AB于點(diǎn)E.

（1）特殊驗(yàn)證：如圖2，若AC=BC，且D為AB的中點(diǎn)，求證：DM=DN，AE=DF.

（2）拓展研究：若AC≠BC.

①如圖3，若D為AB的中點(diǎn)，（1）中的兩個(gè)結(jié)論有一個(gè)仍成立，請(qǐng)指出并加以證明；

圖2

圖3

②如圖4，若BD=kAD，條件中“點(diǎn)M在BC邊上”改為“點(diǎn)M在線段CB的延長(zhǎng)線上”，其他條件不變，請(qǐng)?zhí)骄緼D與DF的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

價(jià)值思考：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）在“課程內(nèi)容”中提到了十個(gè)關(guān)鍵詞，其中“創(chuàng)新意識(shí)”首次出現(xiàn)，并且明確指出“學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)”，本題也是強(qiáng)化問(wèn)題意識(shí)的一個(gè)嘗試.值得一說(shuō)的是，問(wèn)題設(shè)計(jì)明確提出“特殊驗(yàn)證”、“拓展研究”，意在傳遞研究范式，學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)不僅需要模仿、運(yùn)算、演繹，還需要思辨批判，需要在一般中發(fā)現(xiàn)特例、構(gòu)造反例，這些都是創(chuàng)新人才必備的思維品質(zhì).此外，解題中要重視特殊的意識(shí)應(yīng)該成為解題教學(xué)的一種追求，這事實(shí)上關(guān)系到“模式識(shí)別”策略，即“在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，所積累的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過(guò)加工，會(huì)得出有長(zhǎng)久保存價(jià)值或基本重要性的典型結(jié)構(gòu)與重要類型——模式，將其有意識(shí)地記憶下來(lái).當(dāng)遇到一個(gè)新問(wèn)題時(shí)，我們辨認(rèn)它屬于哪一類基本模式，聯(lián)想起一個(gè)已解決的問(wèn)題，以此為索引，在記憶貯存中提取出相應(yīng)的方法來(lái)加以解決，這就是模式識(shí)別的解題策略.”［3］

三、善于類比探究，追求拓展延伸

例3（2013年浙江衢州第22題）提出問(wèn)題：

（1）如圖5，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC邊上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接AM，以AM為邊作等邊△AMN，連接CN.求證：∠ABC=∠ACN.

類比探究：

圖5

圖6

（2）如圖6，在等邊△ABC中點(diǎn)M是BC邊延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），其他條件不變，（1）中的結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

拓展延伸：

（3）如圖7，在等腰△ABC中，BA=BC，點(diǎn)M是BC邊上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC，連接CN.試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

圖7

價(jià)值思考：類比學(xué)習(xí)不僅在數(shù)學(xué)上有廣泛的體現(xiàn)，在其他學(xué)科領(lǐng)域都有，比如響尾蛇導(dǎo)彈就是取自一種蛇類的名稱，這種蛇體積很小，平時(shí)使用紅外線感知器官來(lái)捕捉溫血獵物.響尾蛇導(dǎo)彈是世界上第一款紅外制導(dǎo)空導(dǎo)彈，它可以如同響尾蛇一樣感知敵機(jī)發(fā)出的溫度進(jìn)行攻擊，在多次實(shí)戰(zhàn)中，被其擊落的飛機(jī)大概有200多架，被人們稱之為是劃時(shí)代的空中殺手.這道問(wèn)題明確提出“類比探究”、“拓展延伸”也是一種強(qiáng)烈的教學(xué)導(dǎo)向，倡導(dǎo)學(xué)生重視類比方法.事實(shí)上，在日常教學(xué)中，方程與不等式、從分?jǐn)?shù)到分式、從三角形到四邊形，從一次函數(shù)到反比例函數(shù)或二次函數(shù)等，這些學(xué)習(xí)都需要類比，學(xué)生了有類比的意識(shí)，就在潛移默化中掌握了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的“基本套路”，這里也可順便提及章建躍教授在文4中強(qiáng)調(diào)的“基本套路”的教學(xué)，如代數(shù)教學(xué)中，無(wú)論是數(shù)、式、方程、不等式，都應(yīng)強(qiáng)調(diào)從運(yùn)算的角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題，并稱這就是“代數(shù)的整體性”.而具體對(duì)象的研究中，則要遵循“定義—表示—性質(zhì)—公式、法則”的“基本套路”.

四、經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

例4（2013年山西第25題）數(shù)學(xué)活動(dòng)——求重疊部分的面積.

問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題.

圖8

如圖8，將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，頂點(diǎn)D與邊AB的中點(diǎn)重合，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，DF交AC于點(diǎn)G.

求重疊部分（△DCG）的面積.

（1）獨(dú)立思考：請(qǐng)解答老師提出的問(wèn)題.

（2）合作交流：“希望”小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥AB交AC于點(diǎn)H，DF交AC于點(diǎn)G，如圖9，你能求出重疊部分（△DGH）的面積嗎？請(qǐng)寫(xiě)出解答過(guò)程.

圖9

（3）提出問(wèn)題：老師要求各小組向“希望”小組學(xué)習(xí)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，再提出一個(gè)求重疊部分面積的問(wèn)題.“愛(ài)心”小組提出的問(wèn)題是：如圖10，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交AC于點(diǎn)M，N，使DM=MN，求重疊部分（△DMN）的面積.

圖10

任務(wù)：①請(qǐng)解決“愛(ài)心”小組所提出的問(wèn)題，直接寫(xiě)出△DMN的面積是_____.

②請(qǐng)你仿照以上兩個(gè)小組，大膽提出一個(gè)符合老師要求的問(wèn)題，并在圖11中畫(huà)出圖形，標(biāo)明字母，不必解答（注：也可在圖8的基礎(chǔ)上按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)）.

圖11

價(jià)值思考：這道考題從一個(gè)“重疊部分的面積”的數(shù)學(xué)活動(dòng)出發(fā)，經(jīng)過(guò)“問(wèn)題情境”展示、倡導(dǎo)“獨(dú)立思考”后“合作交流”，并且引領(lǐng)學(xué)會(huì)“提出問(wèn)題”，這一活動(dòng)過(guò)程是對(duì)當(dāng)前數(shù)學(xué)活動(dòng)的一種范式引領(lǐng)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué).筆者特別欣賞這里所提的“獨(dú)立思考”，想到近期研習(xí)江蘇南通著名的特級(jí)教師李庾南老師的“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)法，李老師認(rèn)為“自學(xué)、議論、引導(dǎo)是教學(xué)的三個(gè)重要環(huán)節(jié)，獨(dú)立自學(xué)是基礎(chǔ)，群體議論是樞紐，相機(jī)引導(dǎo)是關(guān)鍵.它們又不僅僅是教學(xué)的環(huán)節(jié)，更應(yīng)是教學(xué)的基本理念.”［5］對(duì)于獨(dú)立自學(xué)，李老師進(jìn)一步指出：“在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生調(diào)動(dòng)自己的各種感官，以思維訓(xùn)練為核心，積極、主動(dòng)、自覺(jué)地獨(dú)立閱讀、傾聽(tīng)、演練、操作、筆記、思考，關(guān)鍵是學(xué)生的積極思維和獨(dú)立思考.”從獨(dú)立自學(xué)的角度看，山西卷的這道考題起到很好的教學(xué)導(dǎo)向，即數(shù)學(xué)課堂要重視學(xué)生的獨(dú)立自學(xué)，重視學(xué)生在教師的有效指導(dǎo)下的獨(dú)立自學(xué).當(dāng)然，這道題最后還倡導(dǎo)了提出問(wèn)題的教學(xué)取向，這也是所倡導(dǎo)的開(kāi)放教學(xué)、變式教學(xué)，值得我們回味.

五、結(jié)束語(yǔ)

中考試題是命題組專家們的智慧結(jié)晶，不僅具有考試選拔功能，還具有很好的教學(xué)導(dǎo)向.作為本文的結(jié)束，有兩個(gè)建議：一是希望各地命題組專家通過(guò)相關(guān)雜志適時(shí)發(fā)布“特色試題”或“亮點(diǎn)試題”的命制意圖、歷程與導(dǎo)向；二是愿意看到更多的同行關(guān)注、研究、品味、爭(zhēng)鳴中考試題.

1.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2010（3~5）.

3.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

4.章建躍.課堂教學(xué)要注重?cái)?shù)學(xué)的整體性［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2013（5）.

5.李庾南.自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］.北京：人民教育出版社，2013.FH

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