☉江蘇省東臺市實驗中學(xué) 鄒施凱

將探究進行到底
——由角的分割引發(fā)的三角形相似問題的探究

☉江蘇省東臺市實驗中學(xué) 鄒施凱

一、引言

2013年11月，江蘇省教研室網(wǎng)絡(luò)教研平臺——“教學(xué)新時空”欄目邀請了幾位資深嘉賓，對“數(shù)學(xué)探究”教學(xué)做了一次專題研討，旨在通過對數(shù)學(xué)探究的深入研究，進一步促進廣大教師對探究教學(xué)的思考，增強大家對探究教學(xué)的認(rèn)識，筆者有幸全程參與了這次活動，感觸頗深.下面就讓我們從本次活動的開場白出發(fā)，結(jié)合角的分割引發(fā)的三角形相似問題，談?wù)勌骄啃越虒W(xué).

主持人：請問鄒老師，你選擇“數(shù)學(xué)探究”為今天研討的主題，原因是什么？

筆者：從事數(shù)學(xué)教育二十多年，最讓我對數(shù)學(xué)教育充滿感情的是“三維數(shù)學(xué)思想”，它是我通過多年實踐所積淀的教學(xué)主張，“數(shù)學(xué)探究”式學(xué)習(xí)正符合這樣的思想理念.在“三維數(shù)學(xué)思想”的指引下，我和我的同事都嘗到了“數(shù)學(xué)探究”的甜頭，它打開了學(xué)生的思維空間，提高了學(xué)生解決問題的能力.另外，“新課標(biāo)”將課程目標(biāo)分為“知識技能”、“數(shù)學(xué)思考”、“問題解決”和“情感態(tài)度”四個方面.目前，雖然大家對以上四個目標(biāo)都已經(jīng)有了一定的認(rèn)識，但并不代表對每一個標(biāo)準(zhǔn)和每一個標(biāo)準(zhǔn)的支撐點的理解都很到位.因此，我想借助今天這個平臺，就這個話題與大家進行交流，共同提高對“數(shù)學(xué)探究”教學(xué)的認(rèn)識.

嘉賓A：從數(shù)學(xué)探究課的本質(zhì)研究看，數(shù)學(xué)探究具有一定的挑戰(zhàn)性，往往解決一個探究性問題并不困難，但如何設(shè)計探究情境、組織問題串卻大有文章可做.

嘉賓B：從數(shù)學(xué)探究課的實施現(xiàn)狀看，在實際教學(xué)過程中，由于數(shù)學(xué)探究式教學(xué)所用時間與常規(guī)用時的矛盾，使得實際探究課有很大的“機動性”，常常有說起來重要，但忙起來卻顧不到的現(xiàn)象發(fā)生，所以認(rèn)真研究“數(shù)學(xué)探究”教學(xué)很有必要.

主持人：下面先讓我們一起來觀看“由角的分割引發(fā)的三角形相似問題的探究”的教學(xué)視頻.

二、教學(xué)片段實錄與點評

1.新課的導(dǎo)入

師：同學(xué)們，數(shù)學(xué)是一種冰冷的美麗，今天我將和大家一起通過角的分割來探究這樣的美麗，在探究之前我們一起來回憶課前討論的問題.

花圃問題：如圖1，校園內(nèi)有一塊等腰直角三角形和一塊正三角形的空地，現(xiàn)打算把它們分別種植成三種不同顏色的花圃，且使得每種顏色的花圃所形成的圖形為相似的三角形，你能幫忙設(shè)計一下嗎？

圖1

生1（代表）：看起來似乎無從下手，我們小組的同學(xué)還沒有想到可行的辦法.

生2：我們小組也是.

師：通過今天這節(jié)課的探究，我們就可以解決此類問題了！

點評：教者在課前先拋出問題，讓學(xué)生有充分的思考時間，使學(xué)生基本處于思考，多數(shù)處于迷茫，部分處于“絕望”之中，充分激發(fā)學(xué)生的求知欲望，使其產(chǎn)生探究問題、解決問題的迫切愿望，為探究做心理上的準(zhǔn)備.

師：如圖2，（PPT出示）在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，△A′B′C′中，∠B′=60°，∠C′=70°，這兩個三角形相似嗎？為什么？

圖2

生3：相似，因為在這兩個三角形中能找到兩對角相等.

師（追問）：能具體一點嗎？

生3：在△ABC中，運用三角形內(nèi)角和定理可求得∠C=70°，結(jié)合條件可知∠B=∠B′，∠C=∠C′，所以兩三角形相似.

師：回答得很好！

點評：設(shè)計如此簡單的題目的目的是讓所有學(xué)生熟悉兩個知識點：①三角形內(nèi)角和定理；②判斷兩個三角形相似的最常用的方法之一——找兩組角對應(yīng)相等.這兩個起點低、發(fā)散性強的基礎(chǔ)知識，能增強所有同學(xué)積極參與問題探究的自信心，為探究問題做知識上的準(zhǔn)備.

2.建模的思想

師：下面，讓我們一起看看課本上的問題（八年級下冊課本P123第15題）：如圖3，有兩個分別涂有黃色和藍(lán)色的△ABC和△A′B′C′，其中∠C=∠C′=90°，且兩個三角形不相似.問：能否分別用一條直線分割這兩個三角形，使△ABC所分割成的兩個黃色三角形與△A′B′C′所分割成的兩個藍(lán)色三角形分別對應(yīng)相似？如果能，請設(shè)計出多種分割方案；如果不能，請說明理由.

圖3

師：假設(shè)∠A=60°、∠B=30°，∠A′=∠B′=45°，現(xiàn)在就請大家分組合作，用不同的方法對圖形進行分割，并完成在導(dǎo)學(xué)案中.

小組1分割圖形展示（如圖4）.

圖4

小組2分割圖形展示（如圖5）.

圖5

師：請這兩個小組的同學(xué)對各自的分割方法作適當(dāng)?shù)恼f明.

生4：我們在一個三角形最大的角中割出另一個三角形的最小角.具體思路為：如圖4，在∠ACB中割出一個45°角，在∠A′C′B′中割出一個30°角，“生產(chǎn)”出的都含有45°和30°的兩個三角形必然相似，剩下的兩個三角形經(jīng)驗證也相似.

生5：我們先分別找出兩個三角形中的最小角30°和45°，然后在兩個三角形的次小角中分別割出45°角和30°角，形成如圖5所示的△ABD與△A′B′D′，這兩個三角形相似，△ACD與△B′C′D′也相似.

師：說得都很好！你們的分割有一個共同的特點：（稍停頓）“割大出小”.請大家繼續(xù)思考：如果我們抓住△ABC和△A′B′C′中的∠A+∠B=∠A′+∠B′（板書），即60°+30°=45°+45°，移項后就得到60°-45°=45°-30°=15°，你能結(jié)合圖形解釋分割的依據(jù)嗎？

生6：“60°-45°”就是在△ABC的60°角中割出45°角；“45°-30°”就是在△A′B′C′的45°角中割出30°角，從而形成△ABD中有45°角，△A′B′D′中有30°角，并且其差均為15°，再結(jié)合∠C=∠C′=90°，可得所分割成的兩對三角形分別對應(yīng)相似.

點評：確定好三角形銳角的度數(shù)后，學(xué)生的探究容易上手，同學(xué)們幾乎都能看出“-”的幾何意義，在分割的過程中體會數(shù)形結(jié)合的思想方法.另外，從課本習(xí)題出發(fā)，讓學(xué)生分組展開探究，從中發(fā)現(xiàn)、歸納分割圖形的方法，為后續(xù)探究積蓄技能，體會“我中有你、你中有我”的分割思路.

師：歸納得很好！請大家用這樣的分割思路來探究下面的問題.

探究1：把課本習(xí)題中的條件改為：如圖6，在兩個銳角三角形中，如果∠C=∠C′=60°，其余條件不變，是否可以分割？

圖6

師：同學(xué)們，為了便于分割，我們?nèi)匀豢梢约僭O(shè)兩個三角形中未知角的度數(shù).

生7：假設(shè)∠A=70°、∠A′=85°，則∠B=50°、∠B′=35°.

師：好！請大家在這位同學(xué)的假設(shè)前提下進行探究.

教學(xué)說明：一會兒工夫，各小組紛紛完成自己的作品，其中某小組作品展示如圖7所示.

圖7

生8：由條件可知：∠A+∠B=∠A′+∠B′=120°，即70°+50°=85°+35°，然后找出較小角度數(shù)：35°和50°，移項得：70°-35°=85°-50°.其意義就是在70°角中割出一個35°角，在85°角中割出一個50°角，且使得割出的35°角和50°角在同一個三角形中.

師（追問）：如果不給出兩個三角形中另外4個角的度數(shù)，你還能分割嗎？

生8：能.

師（追問）：為什么？

生8：因為原來的兩個三角形不相似，所以不可能出現(xiàn)第二組角對應(yīng)相等，無論角的大小如何變化，我們都可以在較大角中割出較小角.

生9：老師，我還有一種不同的分割方法，就是把50°角和85°角進行分割.

師：請展示一下你的作品，并作簡單的說明.

生9：由70°+50°=85°+35°，可以得到：50°-35°=85°-70°=15°，如圖8，就是在50°角中割出一個35°角，在85°角中割出一個70°角，且使得割出的35°角和70°角在同一個三角形中即可.

圖8

師：太棒了！同學(xué)們，這位同學(xué)已經(jīng)完全掌握了分割的方法：“找小割大”，真不簡單！有了這次分割的經(jīng)驗，請大家繼續(xù)探究下面的問題.

探究2：如圖9，在兩個鈍角三角形中，如果∠C=∠C′=120°，其余不變，是否可以分割？

圖9

點評：當(dāng)學(xué)生歸納出分割的思路“先找小角，后割大角”后，學(xué)生品味到了成功的喜悅，探究的信心更足了！很多同學(xué)面露喜色，躍躍欲試！

一會兒工夫，不少小組已經(jīng)分割成功，現(xiàn)選兩小組作品展示如下.

A組：

圖10

生10：如圖10，我們假設(shè)∠A=40°、∠A′=50°，則∠B=20°、∠B′=10°.由∠A+∠B=∠A′+∠B′，即40°+20°=50°+10°，移項得：40°-10°=50°-20°=30°，所以在40°角中分割出10°角，在50°角中分割出20°角，且使得分割出的10°角、20°角在同一個三角形中，分割剩下的30°角和120°角在同一個三角形中，形成兩對三角形分別對應(yīng)相似.

生11：也可以利用三角形的外角分別計算出∠1、∠2均為30°.

B組：

圖11

生12：如圖11，我們小組也假設(shè)∠A=40°、∠A′=50°，則∠B=20°、∠B′=10°.由∠A+∠B=∠A′+∠B′，即40°+20°=50°+10°，移項得：20°-10°=50°-40°=10°，所以在20°角中分割出10°角，在50°角中分割出40°角，且使得分割出的10°角、40°角在同一三角形中，分割剩下的10°角和120°角在同一三角形中，形成的兩對三角形分別對應(yīng)相似.

師：兩組同學(xué)的分割方法都是正確的，同學(xué)們能先抓住小角再移項，用“數(shù)”的運算去指揮“形”的分割，太好了！請大家接著思考.

探究3：就以上直角、銳角、鈍角三角形，你能否分別總結(jié)出一般性結(jié)論？

生13：這三種三角形都能分割…….

教學(xué)說明：學(xué)生敘述的同時，老師邊補充邊板書，使大家形成共識，歸納出階段性的結(jié)論.

結(jié)論1：任意兩個三角形不相似，只要有一組角對應(yīng)相等，都可分別用一條直線分割這兩個三角形，使分割得到的兩對三角形分別對應(yīng)相似.

師：同學(xué)們，我們正行走在美麗花圃的途中，離解決花圃問題已經(jīng)不遠(yuǎn)了，請大家接著探究下面的問題.

點評：在成功分割兩個直角三角形后，接著分割兩個銳角三角形和兩個鈍角三角形，學(xué)生在已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，運用已有方法，運用類比思想進行探究，為進一步推廣分割的方法進行有效的驗證，形成技能，也為后續(xù)探究再做準(zhǔn)備.另外由直角三角形到銳角三角形，再到鈍角三角形，體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.

3.辯證的思維

探究4：對探究2中的兩個鈍角三角形，如果∠C=∠C′=120°，能否分別用兩條直線分割這兩個三角形，使得被分割成的三對三角形分別對應(yīng)相似？

圖12

生14：如圖12，在探究2中A組分割的基礎(chǔ)上再作直線CE和C′E′，使得∠3=∠4，即可得到三對三角形分別對應(yīng)相似，它們分別是：△ABD與△A′B′D′、△CDE與△C′D′E′、△ACE與△A′C′E′.

師：此時△ACE與△A′C′E′為什么相似？

生15：∠CAE=∠C′A′E′，∠ACE=∠A′C′E′.

師：有道理，請大家接著探究下面的問題.

點評：學(xué)生在探究2的基礎(chǔ)上，進一步對△ACD與△A′C′D′進行分割，設(shè)置了合理的探究臺階，讓學(xué)生拾級而上，能增強學(xué)生的信心，體驗成功的快樂，也為后面的進一步探究再做鋪墊.

探究5：如果兩個鈍角三角形中∠C≠∠C′（如圖13），能否分別用兩條直線分割這兩個三角形，使得被分割成的三對三角形分別對應(yīng)相似？

圖13

師：為了便于分割，我們可以先假設(shè)兩個三角形各內(nèi)角的度數(shù).

生16：設(shè)∠C=110°、∠C′=125°，同時令∠A=40°、∠B=30°、∠A′=35°、∠B′=20°.

師：請大家首先在兩個三角形中分割出一對相似三角形.

生17：用“割大出小”的思路，在∠A中割出20°角，在∠A′中割出30°角，使得△ABD與△A′B′D′相似（如圖14）.

圖14

師（追問）：接著怎么分割？

生17：剩下的問題就是在△ACD和△A′C′D′中進行分割，由于這兩個三角形中有∠CDA=∠C′D′A′=50°，所以剩下的問題就是我們熟悉的問題，用結(jié)論1即可解決.

師：具體怎么解決？請大家在導(dǎo)學(xué)案上畫出分割線.

生18：如圖14，在△ACD和△A′C′D′中，因為20°+110°=5°+125°，所以20°-5°=125°-110°，即在∠CAD中分割出5°角，在∠A′C′D′中分割出110°角，此時△ACE與△A′C′E′、△ADE與△C′D′E′相似，結(jié)合前面得到的△ABD與△A′B′D′相似，共有三對三角形相似.

師：請大家歸納一下分割的思路.

生19：主要分兩步，第一步，分別找兩個三角形中的最小角，以“你中有我、我中有你”的方式進行分割，構(gòu)造出一對相似三角形和另一對只有一組角相等的三角形；第二步，在只有一組角相等的三角形中運用結(jié)論1再分割即可.

師：由上面的5個探究，你能歸納出什么結(jié)論？說給小組其他成員聽聽.（給學(xué)生充分的時間，學(xué)生歸納的同時，老師邊補充邊板書）

結(jié)論2：任意兩個不相似的三角形都可分別用兩條直線分割，使分割得到的三對三角形分別對應(yīng)相似.

師：現(xiàn)在我們能不能解決課前提出的花圃問題？

生（齊）：能.

探究6：校園內(nèi)有一塊等腰直角三角形和一塊正三角形的空地，現(xiàn)打算把它們分別種植成三種不同顏色的花圃，且使得每種顏色的花圃所形成的圖形為相似的三角形，你能幫忙設(shè)計一下嗎？

部分學(xué)生作品展示：

圖15

點評：經(jīng)歷了前面循序漸進、步步深入的探究和結(jié)論1、結(jié)論2的歸納，學(xué)生已經(jīng)基本掌握了分割圖形的方法，對于花圃問題的解決自然水到渠成.

師：在課本原題中，兩直角相等，我們不僅可以看成相等，還可以看成互補，對不對？

生（齊）：對.

師：請問，如果兩個三角形有一對角互補，我們是否可以分別用一條直線把它分割成兩個三角形，使所得的兩對三角形分別對應(yīng)相似？如果能，你還能歸納出什么結(jié)論？請大家課后繼續(xù)鉆研，將探究進行到底！

三、教學(xué)內(nèi)容的簡略分析

數(shù)學(xué)探究，是一種發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)，是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情境中，通過觀察、操作，發(fā)現(xiàn)問題，形成解釋并獲得答案，從而發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)的規(guī)律.在本課例中，教者的任務(wù)就是激發(fā)和調(diào)動學(xué)生的探究欲望，使學(xué)生一直處于一種積極探究的沖動之中.

在設(shè)計問題情境時，筆者給出兩條探究線索.一是指導(dǎo)學(xué)生學(xué)的明線：即“校園里有兩個三角形空地，要分割成三對對應(yīng)相似的三色花圃，如何分割？”在教學(xué)設(shè)計上，先提出這一問題，并最終解決這一問題，步步深入、環(huán)環(huán)相扣、指向鮮明；二是指導(dǎo)教師教的暗線：“原教材八年級下冊P123第15題”，它既是本節(jié)課探究教學(xué)的源頭，又是教材給出的一個通過探索研究需要解決的問題.

在實施探究活動時，筆者又設(shè)計兩大探究板塊.一是有條件分割出兩對三角形相似得出結(jié)論1，二是無條件分割出三對三角形相似得出結(jié)論2.兩大探究板塊，階梯式設(shè)計若干可探問題，層層深入地讓學(xué)生在自主合作探究中享受問題解決的樂趣.在結(jié)論1的探究板塊，為激發(fā)學(xué)生探究的興趣，增強學(xué)生探究的信心，關(guān)注學(xué)生對問題的思考，筆者設(shè)計了分割花圃、相似判定、問題探究、構(gòu)建模型四個環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在合作探究的基礎(chǔ)上得出結(jié)論1.為得出結(jié)論2，先在鈍角相等的兩鈍角三角形中，提出用兩條線分割，得到三對三角形相似，讓學(xué)生從分得兩對三角形相似，到分得三對三角形相似，實施簡單的辯證思維訓(xùn)練，然后對兩鈍角三角形中鈍角不相等，提出用兩條線分割得三對三角形相似，引導(dǎo)學(xué)生實施步步轉(zhuǎn)化的策略解決問題.在探究過程中，不僅得出結(jié)論2，而且還引導(dǎo)學(xué)生通過探究掌握了分割圖形的方法.

另外，結(jié)論1、2的得出，都是用“分不等角”的辦法來實施的.可能會有同學(xué)提出這樣的疑問，如果用“分相等角”的辦法，我們還會得出什么結(jié)論？因此，在本節(jié)課最后，筆者布置這樣一個作業(yè)留給學(xué)生課后探究.請問：如果兩個三角形有一對角互補，我們是否可以分別用一條直線把它分割成兩個三角形，使所得的兩對三角形對應(yīng)相似？學(xué)生通過課后的探究，可把結(jié)論1拓展成：任意兩個不相似的三角形，只要有一對角相等或互補，都可分別用一條直線分割這兩個三角形，使所分割得到的兩對三角形分別對應(yīng)相似.

四、教學(xué)方法的理論依據(jù)

探究教學(xué)的思想淵源可以追溯到20世紀(jì)初.當(dāng)時，針對脫離兒童生活經(jīng)驗、純知識灌輸?shù)拿绹鴤鹘y(tǒng)教育，著名實用主義教育家杜威提出以兒童為中心、從做中學(xué)的主張.筆者理解的初中數(shù)學(xué)探究，就是以“探索研究”中問題解決為由頭，讓學(xué)生自主體驗、探索研究的學(xué)習(xí)過程，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力.如果說創(chuàng)新是有點空的，探究就是實的.對數(shù)學(xué)學(xué)科而言，圖形的研究、定理的得出、問題的展開，都是很好的探究載體.按照筆者提出的三維數(shù)學(xué)思想的理念，學(xué)生“學(xué)會”數(shù)學(xué)知識都是暫時、被動和有限的，而“會學(xué)”數(shù)學(xué)知識才是長遠(yuǎn)、主動和無限的，通過“數(shù)學(xué)探究”促使學(xué)生會學(xué)習(xí)，才是教育的根本目的.

從“課標(biāo)”所提出的培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力來講，數(shù)學(xué)探究貫穿于發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的整個過程當(dāng)中，沒有“數(shù)學(xué)探究”就沒有“問題解決”，更沒有廣泛深刻的“數(shù)學(xué)思考”.數(shù)學(xué)探究，既是目的，更是手段.通過數(shù)學(xué)探究，我們不僅可以對教材中“探索研究”問題有一定認(rèn)識，更重要的是在問題解決的過程中提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.筆者還想就教學(xué)中彰顯的三維數(shù)學(xué)思想中的“三思學(xué)習(xí)法”做一點解釋.一是“建模的思想”.要提升自己的探究能力，就必須對所探究的問題，構(gòu)建一定的數(shù)學(xué)模型.本節(jié)課結(jié)論1、2的得出，以及解決問題的方法的總結(jié)，給人以清晰的數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，不是高不可攀，而是觸手可及.二是“辯證的思維”.辯證的觀點是智慧的象征，學(xué)力的提升依賴辯證的思維.本課例中的探究由特殊三角形到一般三角形，由有相等角到?jīng)]有相等角，由分割少到分割多，這些都是辯證思維的結(jié)晶.三是“化歸的思路”.數(shù)學(xué)問題的解決過程，就是問題轉(zhuǎn)化的過程，學(xué)力的提升都融合在問題轉(zhuǎn)化的過程中.本課例探究的終極目標(biāo)，就是導(dǎo)學(xué)線索中花圃分割的問題，其解決的過程就是將分割得三對三角形相似的問題先化歸成兩對，進而再使用結(jié)論1轉(zhuǎn)化成三對.可以這樣說，三思學(xué)習(xí)法是我們在數(shù)學(xué)探究中提升學(xué)力的重要方法.

五、隨感隨想

數(shù)學(xué)探究是一種“主動”的學(xué)習(xí)方式，實踐證明，它有助于學(xué)生初步理解結(jié)論產(chǎn)生的過程，體驗創(chuàng)造的激情，建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和不怕困難的科學(xué)精神.事實上，我們應(yīng)該注意到，在教材中，不僅章節(jié)最后的“探索研究”是數(shù)學(xué)探究的良田，而且在數(shù)學(xué)問題呈現(xiàn)的過程中，教材中所沒有的若干“探索”問題，也是數(shù)學(xué)探究的沃土.

在實際教學(xué)中，要完成正常的教學(xué)任務(wù)，老師們很少有時間對教材中的“探索研究”問題進行剖析與延伸.但是，我們完全可以在一段時間內(nèi)，搞一兩個這樣的示范，篩選一些學(xué)生感興趣的問題來探究，讓學(xué)生在探究的過程中，覺得數(shù)學(xué)好玩、數(shù)學(xué)很有意思.當(dāng)然，一個成熟的探究問題，必定是教者專心研究的成果，為提高數(shù)學(xué)探究的質(zhì)量，教者必須先行研究，致力于提升自己的修為，不斷追求問題解決的最高境界.每個孩子都是有待開采的“金礦”，教者要努力把本領(lǐng)顯在學(xué)生潛能的充分挖掘上.要努力把內(nèi)功下到對探究問題的深度掌控中，體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用.更為重要的是，學(xué)生是主體，精心預(yù)設(shè)的目的，是要構(gòu)建一個靈活的生成空間，以最大化激發(fā)學(xué)生的生命活力和智慧的潛力，要相信學(xué)生的潛能，堅信給他們一個機會，學(xué)生一定會還我們一個奇跡！所以，興趣是老師，教師是主導(dǎo)，學(xué)生是主體.

需要說明的是，本節(jié)課對最后一個引發(fā)繼續(xù)探究思考的鋪墊做得還不夠，留給學(xué)生思考的空間不足.通過這節(jié)課的錄制，以及近年來的教學(xué)研究，筆者有一個強烈的感受，探究問題不能滿足于幾節(jié)課，應(yīng)把探究貫穿于學(xué)習(xí)的始終，甚至學(xué)生學(xué)習(xí)的一生.如何生成學(xué)生的“數(shù)學(xué)探究”空間，對于我們數(shù)學(xué)教師來說，任重而道遠(yuǎn).

1.喻平.著名特級教師教學(xué)思想錄［M］.南京：江蘇教育出版社，2012.

2.曹才翰，章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2008.

3.涂榮豹，季素月.數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論新編［M］.南京：江蘇教育出版社，2007.