☉浙江省紹興市建功中學(xué) 曹 青

一題激起千層浪 萬流歸宗能力成
——對充分挖掘題目教學(xué)功能的案例剖析與反思

☉浙江省紹興市建功中學(xué) 曹 青

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)四基四能（四基，即基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗(yàn)；四能，即發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力），關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與習(xí)慣，倡導(dǎo)創(chuàng)新型和應(yīng)用型人才的培養(yǎng).要實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)，離不開過程與方法教學(xué)，沒有充分展開問題教學(xué)的時間和空間是不行的，在中考系統(tǒng)復(fù)習(xí)階段時間緊任務(wù)重的情況下更是如此.本文深入分析一例，從中獲得教學(xué)啟示.

一、教學(xué)案例

出于問題引領(lǐng)系統(tǒng)復(fù)習(xí)教學(xué)的考慮，在充分研究的基礎(chǔ)上，我們設(shè)計(jì)了一節(jié)以一題多解為特征的幾何復(fù)習(xí)課，達(dá)到了良好效果.

問題：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

首先把問題符號化：已知，如圖1所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°.求證：BC=AB.

在學(xué)生眼里，此定理應(yīng)用廣泛，早已了然于胸.中考復(fù)習(xí)時施以“多證”，學(xué)生們切入容易，方法眾多，堪稱“一題激起千層浪”.由之理順解題規(guī)律，水到渠成，自然流暢.

（一）截長補(bǔ)短法

顧名思義，“截長法”即在長線段上截下一段，使之等于短線段的方法；“補(bǔ)短法”則是在短線段上補(bǔ)上一段，使之等于長線段的方法.如此，往往能把分散的條件給集中起來，迅速釋放題目內(nèi)涵.

1.截長法

解法1：如圖1，取AB的中點(diǎn)D，連接CD.結(jié)合∠ACB=90°，利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，可得CD=AD=BD=AB.又∠B=60°，則△BCD是等邊三角形，于是有BC=BD=AB.

異曲同工之法，還有（只提供輔助線，不贅詳解）：

方法變式1-1：在AB上取一點(diǎn)D，使BD=BC，連接CD.

方法變式1-2：作BC的中垂線交AB于點(diǎn)D，連接CD.

方法變式1-3：以點(diǎn)C為圓心、CB長為半徑作圓弧，交AB于點(diǎn)D，連接CD.

方法變式1-4：在AB上取一點(diǎn)D，使∠BCD=60°.

方法變式1-5：作AC的中垂線交AB于點(diǎn)D，連接CD.

方法變式1-6：在AB上取一點(diǎn)D，使∠ACD=30°，連接CD.

2.補(bǔ)短法

方法變式2-2：作AB的中垂線交BC的延長線于點(diǎn)D，連接AD.

點(diǎn)評：遇到線段（角）的和、差、倍、分問題，采用截長（大）補(bǔ)短（?。┑牟呗酝茚尫蓬}、圖信息內(nèi)涵，打開思路.

（二）線段疊合法

把一條線段疊合到另一條線段上去，讓它們的一端重合，觀察另一端的情況，就可比較兩條線段的長短，同樣也是判斷和證明線段大小關(guān)系的常用策略.

解法3：如圖3，作∠B的平分線，交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E.容易證明圖中分出的三個小三角形全等，從而使問題獲解.異曲同工之法，還有（只提供輔助線，不贅詳解）：方法變式3-1：作AB的中垂線ED，交AC于點(diǎn)D，連接BD.

方法變式3-2：如圖4，作∠B的平分線，交AC于點(diǎn)D，延長BC到點(diǎn)E，使BE=BA，連接DE.

方法變式3-3：作∠B的平分線，交AC于點(diǎn)D，以D為圓心、DB為半徑作圓弧，交BC的延長線于點(diǎn)E.

點(diǎn)評：關(guān)注到兩個銳角內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系和圖形特征，結(jié)合待證目標(biāo)，容易聯(lián)想到借助角平分線巧妙完成線段疊合.角是以其平分線所在直線為對稱軸的軸對稱圖形，我們常利用這一點(diǎn)把一側(cè)的圖形翻折到另一側(cè)去，或無中生有——過角平分線上的上點(diǎn)向角的兩邊引垂線——完善圖形成軸對稱圖形，同時一舉多得，打開解證思路.

（三）“同一”證明法

當(dāng)命題的條件與結(jié)論所指的事件是唯一的，且范圍相同，則原命題的逆命題一定成立.這時若證明原命題不易入手，可改證其逆命題，是一種間接證法，我們稱之為“同一法”.

運(yùn)用“同一法”，一般經(jīng)歷如下步驟：

（1）作一個具有命題所述屬性的圖形；

（2）證明這個圖形與已知條件符合；

（3）通過推理，說明所作圖形與題設(shè)要求的圖形是一致的；

（4）判斷原命題所述圖形具有某種屬性.

解法4：如圖5，延長CB到D，使BD=BC，以BD為一邊作等邊△BDE，連接CE，則DE=CD.又容易證明△CED≌△ACB，則有BC=AB.

點(diǎn)評：從本質(zhì)上說，這個辦法與前述“截長”各法是相通的，但從思路上卻各有千秋.本法突出在先構(gòu)造符合目標(biāo)條件的圖形，再證明它與原圖形全等；而“截長法”則指向探究對象的變更，如解法1中，由判斷BC=AB轉(zhuǎn)為判斷BC=BD.

（四）相似推理法

全等是特殊（相似比為1∶1）的相似，相似是全等的深化.判定圖形全等離開等線段是不行的，而判定相似則不然.因此，運(yùn)用相似這個解證工具往往更加方便.

解法5：如圖6，作∠ABC的平分線，交AC于點(diǎn)D.

點(diǎn)評：利用相似，一個典型的幾何問題最終被化歸為解一個代數(shù)方程.雖然在方程解法上，需要分組分解因式的方法，技巧性比較強(qiáng)，卻不需要特殊的構(gòu)圖技巧，對幾何思考的能力放低了一些.

二、教學(xué)啟示

一題多解有利于加深對概念、命題的認(rèn)識和理解，溝通數(shù)學(xué)各分支內(nèi)容間的聯(lián)系，以點(diǎn)帶面地復(fù)習(xí)章節(jié)知識，找到最優(yōu)解證思路，可以激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)探究學(xué)風(fēng)的形成，是常用且有效的教學(xué)策略.

那么，上述案例達(dá)到這些目的了嗎？能給我們一些什么教學(xué)啟示呢？

（一）推陳出新，充分挖掘經(jīng)典題目的教學(xué)功能

經(jīng)典或說好的數(shù)學(xué)問題不一定是繁難問題，它應(yīng)該是知識的交匯平臺，有眾多的思維切入點(diǎn)，能承載更多的思想方法成分.本例系教材定理，學(xué)生們熟能成誦，但上述處理卻似枯樹生新芽，各種方法均給人以新鮮之感，教學(xué)上主要體現(xiàn)為以下三點(diǎn)：

1.舍簡求繁，只為領(lǐng)悟方法

教材是在學(xué)習(xí)完等邊三角形以后，借助其對稱性，觀察局部與整體（命題對應(yīng)三角形是等邊三角形的一半）關(guān)系的基礎(chǔ)上，以推論的形式自然引入該定理的，堪謂水到渠成.如果單從理解和證明命題考慮的話，顯然毫無再度研究的必要.此處舍簡求繁，在中考系統(tǒng)復(fù)習(xí)階段又深入解讀，目的只為在過程中感悟思想，提煉方法，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).

2.顛覆經(jīng)典，體味數(shù)學(xué)魅力

數(shù)學(xué)是思維的藝術(shù).上述問題的解決一改傳統(tǒng)思路，另辟蹊徑，顛覆經(jīng)典解法，展示了數(shù)學(xué)“道無止境，思有路徑”的無窮魅力.當(dāng)然，上述各思路并非全部生成于課堂，也并非完全生成于學(xué)生，其中有教師充分的研究、預(yù)設(shè)、點(diǎn)撥與啟發(fā)，有學(xué)生開放的探索、合作、嘗試與頓悟，更有師生間相互的“靈犀一動”！

3.承載思想，升華思維品質(zhì)

經(jīng)典問題必然能承載更多的思想方法，能建立并強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)意識，升華學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念，讓學(xué)生“數(shù)學(xué)地思考”的能力不斷提高.實(shí)際上，在本教學(xué)結(jié)束時，我們布置了一份作業(yè)，即證明上述命題的逆命題.二者的結(jié)合，不僅實(shí)現(xiàn)了方法的類比和遷移，更對截長補(bǔ)短法、線段疊合法、同一證明法、相似推理法做了再次極佳的詮釋.不知不覺中，思維品質(zhì)得到了升華.

（二）以點(diǎn)帶面，充分感悟零散知識的內(nèi)在聯(lián)系

數(shù)學(xué)是一個有機(jī)的整體，各部分內(nèi)容之間有著千絲萬縷的聯(lián)系.如何發(fā)現(xiàn)和感受這些聯(lián)系，梳理知識網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建知識系統(tǒng)，以便在應(yīng)用時“牽一發(fā)而動全身”，順利提取和應(yīng)用知識，釋放題目內(nèi)涵，是數(shù)學(xué)教學(xué)的追求.可從以下兩點(diǎn)考慮：

1.經(jīng)緯分明，手提金線串珍珠

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程猶如編織一張漁網(wǎng)的過程.網(wǎng)面越大，則一網(wǎng)下去，即可覆蓋更大的范圍，獲取更多的捕魚機(jī)會；網(wǎng)眼越細(xì)，則大小魚兒皆入網(wǎng)中；經(jīng)緯線越粗，則網(wǎng)越發(fā)牢固.將之遷移到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，一張經(jīng)緯分明、系統(tǒng)清晰的知識大網(wǎng)自然有助于信息的提取和應(yīng)用.反映到教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師首先要找到合適的數(shù)學(xué)問題，提煉引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的思維（或問題）線索，并以之串聯(lián)起散落滿地的數(shù)學(xué)珍珠——章節(jié)知識或數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域的知識.

2.源流清晰，理順脈絡(luò)成網(wǎng)絡(luò)

數(shù)學(xué)知識之間不僅存在以并列為特征的經(jīng)緯分明的橫向聯(lián)系，更存在著先與后、主與次、源與流這些縱向的辯證聯(lián)系.可以想象，要提起一大串葡萄，比較理想的辦法是抓住果蒂.理順出數(shù)學(xué)知識間的源流關(guān)系，則數(shù)學(xué)就可以成為一種結(jié)構(gòu)，如因果、相關(guān)、相似、對比、相近等可實(shí)現(xiàn)相互推理的結(jié)構(gòu)，以減少記憶量，更加容易聯(lián)想.如解法1中，是線段的倍與分讓我們聯(lián)想到了截長補(bǔ)短；解法2中，把分散的兩條線段集中到一條線上，容易發(fā)現(xiàn)圖形的內(nèi)在聯(lián)系；解法3中，則先構(gòu)造“理想目標(biāo)”，再將之嫁接到原圖形上；解法4中，則是發(fā)現(xiàn)并開發(fā)了兩個銳角的內(nèi)在數(shù)量關(guān)系，從而聯(lián)想到構(gòu)造角平分線，找到一對相似三角形.多種方法的實(shí)踐與感悟，讓學(xué)生們深入領(lǐng)會了作圖、全等、相似、勾股定理、等腰三角形性質(zhì)等諸多數(shù)學(xué)知識.一方面是從源到流的發(fā)散與分類，另一方面是從流到源的收斂與概括，二者的結(jié)合讓數(shù)學(xué)在縱向發(fā)展上脈絡(luò)清楚.

如上般組織教學(xué)，對教師的專業(yè)素養(yǎng)和研究能力是個挑戰(zhàn)，而且教學(xué)可能顯得費(fèi)時費(fèi)力，但其價值卻是毋庸置疑的，實(shí)現(xiàn)了笨中取巧.望各位同仁再行深究，推廣應(yīng)用，服務(wù)教學(xué)，再入佳境.

1.王義堂.新課程理念與教學(xué)策略［M］.北京：中國言實(shí)出版社，2003.

2.陳明華.數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)施指南·初中卷［M］.武漢：華中師范大學(xué)出版社，2003.

3.苑建廣.信息轉(zhuǎn)化——問題解決的核心策略［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2012（3）.

4.苑建廣.激趣引思 移情啟智——例談教學(xué)內(nèi)容的組織和引入［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2012（9）.FH