于光遠, 宋 楠, 楊 雄, 潘永華, 高惠濱

(南京大學(xué) 物理學(xué)院， 江蘇 南京 210093)

0 引 言

在倒水時，我們發(fā)現(xiàn)自然傾瀉的水流可能會發(fā)生分節(jié)的情況[1]，出現(xiàn)所謂水“波節(jié)”現(xiàn)象。通過實驗重復(fù)這一現(xiàn)象，并記錄大量數(shù)據(jù)來找出影響這一現(xiàn)象的因素。實驗過程中又發(fā)現(xiàn)了水流旋轉(zhuǎn)的“水麻花”現(xiàn)象[2]，新現(xiàn)象促使我們設(shè)計新儀器和建立新模型，并重復(fù)更多的實驗，結(jié)合相關(guān)知識分析討論，并用計算機模擬，找出現(xiàn)象的本質(zhì)。

1 實驗現(xiàn)象

實驗所用出水管管口分別有圓口和方口兩種，如圖1、2所示。實驗中使用水泵供水，流量計調(diào)節(jié)流量。圖1為水“波節(jié)”現(xiàn)象，使用圓口裝置，可以明顯看出下瀉水流分成了類似“波節(jié)”的形狀，即圖中H2段。圖2為水“麻花”現(xiàn)象，使用非對稱方口裝置，可以明顯看出下瀉水流發(fā)生旋轉(zhuǎn)[3]。

記錄數(shù)據(jù)是由高清攝像頭記錄實驗影像，再從視頻影像中抽樣讀數(shù)得到實驗數(shù)據(jù)。

2 水“波節(jié)”模型建立

2.1 流速模型

2.1.1流速模型1

首先考慮的是出水速率均勻分布情況。實驗采用半徑r=3.50 cm的圓口裝置,如圖3所示。當(dāng)水流量Q=100 L/h時，水流經(jīng)過的管口寬度為L=3.78 cm。因此,水流經(jīng)過的管口面積S=1.42 cm2,如圖3中陰影部分所示。進而可求得此時平均水流速率v=Q/S=0.196 m/s。

圖1 水“波節(jié)”現(xiàn)象圖2 水“麻花”現(xiàn)象

圖3 圓口裝置示意圖

2.1.2流速模型2

流速模型1比較粗糙，求出的速率只能作為參考。一般情況下水流速率不是嚴格相等的，故建立模型2。

水在圓筒中流動時，各流層為自管道中心開始而半徑逐漸加大的圓筒形[4]。中心處流速最大，隨著半徑的增大而流速逐漸變小[5]。當(dāng)它的密度ρ及黏滯系數(shù)η為常數(shù)時，列出相關(guān)的流體動力學(xué)基本方程[6]。

連續(xù)性方程：

divv=0

(1)

運動方程：

(2)

式中,F是單位質(zhì)量流體所受的力。

式(1)可寫成：

(3)

式(2)可寫成：

(4)

(5)

(6)

式中，u、v、w是速率在x、y、z軸方向的分量。

在等直徑圓截面直管中，流體作平行流動(不考慮起始段)，所有質(zhì)點都沿同一方向運動，只有一個不為零的速度分量。如取直角坐標系，并把運動方向取作x軸,則

v=0,w=0

(7)

在僅考慮重力而忽略電磁力等的情況下，F(xiàn)=g，為了簡便，令

(8)

將式(7)、(8)代入式(5)、(6)，得：

(9)

可見p′僅是x的函數(shù),即p′=p′(x)。將式(7)代入式(3)，得：

(10)

將式(7)～(9)代入(4)～(6)，得：

(11)

由于是穩(wěn)定流動，?u/?t=0,上式變?yōu)?/p>

(12)

上式左邊只與y,z有關(guān)，而右邊只與x有關(guān)，所以它們都必須等于同一常數(shù)，即：

常數(shù)

(13)

換成柱坐標為

(14)

兩次積分得：

(15)

式中，系數(shù)簡化為k。r0是圓口半徑，假設(shè)邊沿處速率為0，則c=1，得到

(16)

(17)

2.1.3流速模型3

模型2的缺陷在于要求邊沿流速為零，而邊沿處水流較多，為了保證流量，中心速率就過高。因此模型2也應(yīng)進行修正，必須考慮到邊沿處流速不為零，修正后的模型如下式所示：

(18)

則邊沿速率為

(19)

圖4是流量為100 L/h時的實驗截圖，現(xiàn)以其為例來求解模型3中的系數(shù)k、c1和中心速率。因為在管口處，水流噴涌而出以后主要受到來自水的表面張力的作用。表面張力改變了邊緣液滴的速度方向，使其向中心靠攏[7]。對于一個直徑1 mm的液滴，受到的表面張力約為其重力的45倍。表面張力使得邊沿速度方向發(fā)生了改變，離開管口以后，速度方向近似指向水流中央。于是可以先利用水流在豎直和水平方向上的位移，求出水流運動時間t和u邊，再計算k、c1，最后求得中心速率:0.5gt2=0.028 4,t=0.076 1 s,u邊=0.014 3/t=0.188 m/s。

圖4 Q=100 L/h實驗截圖

將Q=100 L/h和u邊=0.188 m/s代入式(17)和(19)得:k=225.43,c1=0.319。最后求得中心速率v=0.214 m/s。該結(jié)果與實際情況比較相符。

綜上所述，模型1為我們提供了平均速率作為參考，以模型2為基礎(chǔ)的模型3求解出了圓口模型的速率分布，且中心速率與平均速率非常接近，是比較理想的模型。

2.2 波長模型

2.2.1實驗觀察

實驗中只能明顯地觀察到2個“波節(jié)”點，如圖5中A、B所示。考慮到水流在交會碰撞之后水平速率會降低，由于表面張力作用，分散的水流逐漸向中間靠攏。再一次交會時水平速率已經(jīng)比較小，所以不會再明顯地分開，觀察不到新的“波腹”和“波節(jié)”。

2.2.2猜想假設(shè)

把“波節(jié)”點間距稱之為“波長”，通過實驗觀察到圓口裝置半徑相同時，流量越大，“波長”越長。我們覺得影響“波長”的關(guān)鍵物理量是速率，速率正比于流量，反比于圓口半徑的平方。所以猜想“波長”H與流量Q之間的函數(shù)關(guān)系可以表示為

圖5 “波長”-流量關(guān)系實拍標注圖

H=A(r)·Q+c2

(20)

實驗中測得的H2是A、B兩個“波節(jié)”點之間的距離，也就是“波長”被重力拉長之后的長度?？梢岳肏1與H2計算出“波長”H。

(21)

2.2.3實驗驗證

實驗中，測量了在不同管口直徑和不同流量下的“波長”值，結(jié)果如表1所示。結(jié)果表明,對于同一流量，不同管口直徑下的“波長”變化不大，說明系數(shù)A(r)近似是一個常數(shù)。

根據(jù)表1中數(shù)據(jù)，以流量Q為橫坐標，“波長”H為縱坐標繪制“波長”-流量關(guān)系圖，如圖6所示。通過直線擬合得到“波長”-流量關(guān)系為

H=1 215.600 3Q+0.001 43

(22)

相關(guān)系數(shù)R=0.957 94。

圖6 “波長”-流量關(guān)系圖

我們選取的流量范圍與平時生活中能接觸到的流量比較接近。可見在該范圍內(nèi)，“波長”與流量近似呈線性關(guān)系。

3 水“麻花”模型

水“麻花”現(xiàn)象是在研究水“波節(jié)”現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)的，考慮到可能是由于出水口處的水流速率分布不均造成了這種現(xiàn)象[8]。由此設(shè)計出扁形方口左右不對稱型的出水儀器，利用其不對稱性人為制造速率分布的不對稱[9]。實驗結(jié)果驗證了猜想。

表1 波長H與流量Q關(guān)系數(shù)據(jù) m

水“麻花”速率分布分析推導(dǎo)。當(dāng)我們將方形口的高度縮小到較小時，可以視為其高度方向上速率均勻分布，進而可以將很薄的方形口流出的水流視為對一層水流進行近似的模擬[10](見圖7)。

圖7 水流薄層模型圖

取出與對稱軸y距離為x處的液滴微元進行分析[11]，

式中，n為黏滯系數(shù)。因為是定常流動，有

F=(Pa-Pb)hdx

式中，Pa、Pb為兩端壓強，視為恒定，得

所以，vx=ax2+bx+c。

水流與一個振幅衰減的駐波非常相似，考慮到液體之間的黏滯力以及表面張力,根據(jù)流體運動形式，猜想x軸方向上的速率函數(shù)為[12]

(23)

根據(jù)管口處初始速率分布式(18)以及x軸方向上的速率式(23)進行編程模擬。模擬結(jié)果可以驗證所推公式的實用性。

4 水“波節(jié)”現(xiàn)象計算機模擬

4.1 水“波節(jié)”現(xiàn)象中出水口水流俯視圖模擬[11]

實驗中拍攝到的出水口水流俯視圖如圖8所示。模擬時，先利用實驗測量數(shù)據(jù)求出管口兩側(cè)水流的相遇時間t，再根據(jù)管口處每個微元的位置求出它的速率v[13]，之后將y=vt作為縱坐標，管口位置作為橫坐標，繪制出出水口水流俯視模擬圖，如圖9所示，可以看出與實際情況符合得比較好。

圖8 出水口俯視圖

圖9 計算機模擬俯視圖

4.2 水“波節(jié)”現(xiàn)象中出水口水流正視圖模擬

圖10是實驗中拍攝到的出水口水流正視圖。利用式(18)、(26)，令b=0，選取適當(dāng)?shù)摩录唉兀捎嬎銠C生成數(shù)據(jù)，繪制出出水口水流正視模擬圖[14]，如圖11所示?？梢钥闯觯瑑烧咭廊环系帽容^好，這也就從模擬的角度驗證了模型3的正確性。

圖10 出水口正視圖圖11 計算機模擬正視圖

4.3 水“麻花”現(xiàn)象計算機模擬

通過以上分析，用軟件Origin作出模擬圖。

設(shè)定管口處的初始速率分布左側(cè)較快，可以得到左側(cè)水流壓過右側(cè)水流并向右偏的模擬圖像，如圖 12所示。并且，從上俯視時可以看出，水流是逆時針的旋向[15]，這與實際情況(見圖 13)是相符的。類似地，當(dāng)設(shè)定管口處的初始速率分布右側(cè)較快時，可以得到右側(cè)水流壓過左側(cè)水流并向左偏的模擬圖像。

圖12 非對稱流速(左側(cè)快)水流模擬正視圖圖13 非對稱流速(左側(cè)快)水流實拍正視圖

由模擬圖像與實際圖像的對比可以看出，管口處水流的初始速率分布的不對稱確實是造成水流產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)的主要原因。

5 結(jié) 語

根據(jù)以上研究可以得出一些比較確定的結(jié)論。

水“波節(jié)”現(xiàn)象：當(dāng)傾瀉水流均勻地通過規(guī)則的出水口時，在流速不太快、流量不太大情況下，下瀉的水柱會出現(xiàn)分節(jié)現(xiàn)象，且這種水“波節(jié)”的“波長”和流量呈近似的線性關(guān)系，與出水口的半徑無明顯關(guān)系。

可以計算出流速分布近似是二次函數(shù)分布，在遠離軸線的對稱位置上，速率近似一致。此時水流不發(fā)生明顯的旋轉(zhuǎn)，而會產(chǎn)生類似“波節(jié)”的現(xiàn)象。

水“麻花”現(xiàn)象：如果水流傾瀉時，水流于出水口兩側(cè)速率分布不對稱，此時下瀉水流會發(fā)生旋轉(zhuǎn)，形成螺旋下瀉的水流，并且速率大的那側(cè)水流將會位于上方。此時仍要求流速不太快，流量不太大。

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好奇——創(chuàng)新意識的萌芽;
興趣——創(chuàng)新思維的營養(yǎng);
質(zhì)疑——創(chuàng)新行為的舉措;
探索——創(chuàng)新學(xué)習(xí)的方法。