張劍

所謂數(shù)學模型，是指由字母、數(shù)字和其他數(shù)學符號構成的等式或不等式，或用圖表、圖像、框圖、數(shù)理邏輯等來描述系統(tǒng)的特征及其內(nèi)部或外部聯(lián)系的模型。在教學實踐中，數(shù)學模型的建構過程可以滲透于數(shù)與代數(shù)、空間與圖形等教學內(nèi)容中，尤其是，在數(shù)學綜合運用中，模型建構有著至關重要的作用。同時，數(shù)學模型的建構總是與數(shù)學探究活動聯(lián)系在一起的，如何引導學生構建基于數(shù)學活動經(jīng)驗的數(shù)學模型，值得我們進行深入的思考。本文以“物體浸沒水中的體積問題”的教學為例，談一談自己的教學實踐與思考。

一、組織探究活動，獲得數(shù)學活動經(jīng)驗

史寧中教授認為，“基本活動經(jīng)驗是指學生直接或間接經(jīng)歷了活動過程而獲得的經(jīng)驗”。在教學“長方體與正方體體積”后，筆者發(fā)現(xiàn)，雖然學生掌握了求長方體、正方體體積的方法，但是對體積公式的綜合運用（如物體浸沒水中的問題），則顯得有些力不從心，例如：一個長方體玻璃魚缸，長25厘米，寬16厘米，高20厘米，在魚缸中放入一個棱長10厘米的正方體鐵塊，使它全部浸沒在水中，水面會上升多少厘米？學生普遍感覺解決此題有困難，因為在這一問題情境中，正方體浸沒水中時存在一個動態(tài)變化的過程（即水面上升，總體積的變化），學生由于缺乏相應的數(shù)學活動經(jīng)驗，難以把握情境中的各部分數(shù)量間的關系。

要讓學生真正地理解和掌握物體浸沒水中的相關問題，就必須讓學生親歷這一變化過程，為此，教師可引導學生開展如下探究活動：

1.給每個小組準備一個長方體容器，一個雞蛋，引導學生思考，想要測得雞蛋的體積，可以怎么做？

2.學生分小組進行探究實驗，實驗結束后進行交流匯報。

在探究活動中，學生通過參與數(shù)學活動，經(jīng)歷“做數(shù)學”的過程和思考的過程，從而將探究“物體浸沒水中”問題的經(jīng)歷變成了數(shù)學活動的經(jīng)驗。

二、引領數(shù)學思考，提煉構建數(shù)學模型

《數(shù)學課程標準》指出，教師要引導學生從已有的經(jīng)驗出發(fā)，讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用的過程。

在“物體浸沒水中的體積問題”的教學中，教師可以引導學生借助圖形展開觀察、分析、概括、提煉等一系列數(shù)學思考活動：1.將雞蛋浸沒于水中后，雞蛋的體積相當于哪一部分水的體積？2.上升部分水的體積與長方體容器有什么聯(lián)系，你怎樣計算上升水的體積？3.如果放入的物體是一個馬鈴薯或其他不規(guī)則物體，你能用一個公式表示如何計算它的體積嗎？4.除了將雞蛋浸沒水中，求上升的水的體積外，我們還可以怎樣測得雞蛋的體積？

通過思考與交流，學生不僅發(fā)現(xiàn)雞蛋體積的測量方法，還在分析思考中發(fā)現(xiàn)了這一方法的普遍適用性，抽象出相應的數(shù)學模型V雞蛋=V上升。而“還可以怎樣測得雞蛋的體積”則引導學生實現(xiàn)對數(shù)學模型的拓展。

三、變換問題情境，把握模型內(nèi)在結構

事實上，學生通過對某一個問題情境活動經(jīng)驗的分析概括，初步地建構數(shù)學模型，這樣的模型顯然有一定的局限性。

如在“物體浸沒水中的體積問題”的教學中，教師可設計如下兩個變式問題，讓學生繼續(xù)探究，進而逐步把握數(shù)學模型的內(nèi)在結構：

1.在一個棱長10厘米的正方體容器中，放入一個長5厘米、寬4厘米的長方體鐵塊，使其完全浸沒后，水面上升0.6厘米，求長方體鐵塊的高。

2.一個長方體玻璃容器，從里面量，長和寬均為2分米，高是3.5分米。向容器中倒入6升的水，再將一個蘋果浸沒水中。這時量得水深是1.55分米。這個蘋果的體積是多少？

在上述兩個變式的問題情境中，學生發(fā)現(xiàn)，無論情境中的條件怎樣變化，鐵塊或蘋果的體積始終等于上升部分水的體積。這樣，學生也就在變式訓練中把握了數(shù)學模型的內(nèi)在結構。

總之，在數(shù)學教學中，教師要善于引領學生在數(shù)學探究活動中獲得豐富的數(shù)學活動經(jīng)驗，基于數(shù)學活動經(jīng)驗建構數(shù)學模型，實現(xiàn)課堂教學效益的最大化。

（作者單位：江蘇南通市通州區(qū)通州小學）