李曉平，袁淋，羅誠(chéng)，劉斌，劉振平

邊水推進(jìn)對(duì)水平井產(chǎn)量的影響

李曉平1，袁淋1，羅誠(chéng)2，劉斌1，劉振平1

（1.西南石油大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都610500；2.中國(guó)石油川慶鉆探工程公司地質(zhì)勘探開發(fā)研究院，成都610056）

邊水油藏開發(fā)過程中，即使水平井井底未見水，但邊水推進(jìn)仍會(huì)影響水平井產(chǎn)量?；谒骄S滲流場(chǎng)模型，將三維滲流場(chǎng)分為內(nèi)部和外部2個(gè)徑向滲流場(chǎng)，考慮外部滲流場(chǎng)邊水推進(jìn)的影響，分別運(yùn)用坐標(biāo)變換與保角變換方法求得內(nèi)部與外部滲流場(chǎng)的產(chǎn)能公式，根據(jù)等效滲流阻力原理最終獲得了考慮邊水推進(jìn)的水平井產(chǎn)能計(jì)算新公式。實(shí)例計(jì)算發(fā)現(xiàn)，新公式計(jì)算結(jié)果與實(shí)際產(chǎn)量絕對(duì)誤差及相對(duì)誤差均較小，表明新公式準(zhǔn)確性較高，實(shí)用性較好。敏感性分析結(jié)果表明，考慮邊水推進(jìn)條件的水平井產(chǎn)量小于未考慮邊水推進(jìn)條件的水平井產(chǎn)量，且隨著邊水推進(jìn)距離增大，水平段長(zhǎng)度越小，產(chǎn)量減小的幅度越大；水平段長(zhǎng)度越大，產(chǎn)量減小的幅度越小。該研究成果為邊水推進(jìn)過程中水平井產(chǎn)能預(yù)測(cè)提供了新思路。

邊水推進(jìn)；橢圓形；坐標(biāo)變換；保角變換；水平井產(chǎn)量

0 引言

水平井技術(shù)已在邊水油藏開發(fā)中廣泛運(yùn)用［1-3］，這是因?yàn)樗骄哂行褂兔娣e大和生產(chǎn)壓差小等特點(diǎn)，但是邊水推進(jìn)以及由此導(dǎo)致的井底見水均是影響水平井產(chǎn)量的重要因素。目前，雖然國(guó)內(nèi)外學(xué)者［4-7］提出了一系列優(yōu)化方法，通過控制水平井井筒位置以及產(chǎn)量來(lái)延緩井底見水的時(shí)間，但是始終無(wú)法避免邊水推進(jìn)，最終導(dǎo)致產(chǎn)量下降。目前的邊水油藏水平井穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能公式只適用于邊水推進(jìn)前水平井產(chǎn)能的預(yù)測(cè)［8-9］，而關(guān)于邊水推進(jìn)過程中水平井產(chǎn)能預(yù)測(cè)模型尚未見報(bào)道。筆者以Joshi［10］對(duì)水平井產(chǎn)能的研究為基礎(chǔ)，將水平井三維滲流場(chǎng)分為內(nèi)部與外部2個(gè)徑向滲流場(chǎng)，考慮外部滲流場(chǎng)邊水推進(jìn)的影響，分別運(yùn)用坐標(biāo)變換與保角變換方法得到邊水推進(jìn)過程中水平井產(chǎn)能計(jì)算新公式；同時(shí)利用實(shí)例數(shù)據(jù)驗(yàn)證新產(chǎn)能公式的準(zhǔn)確性，并分析邊水推進(jìn)對(duì)水平井產(chǎn)能的影響，為邊水油藏開發(fā)過程中水平井產(chǎn)能預(yù)測(cè)提供新思路。

1 產(chǎn)能公式推導(dǎo)

1.1 物理模型

假設(shè)水平井位于頂、底封閉和水平方向存在邊水供給邊界的各向異性油藏中部，流體在油藏中的滲流為穩(wěn)定滲流，流體微可壓縮，不考慮表皮效應(yīng)以及井筒壓降對(duì)水平井產(chǎn)能的影響，邊水沿水平方向呈橢圓形徑向推進(jìn)，邊水推進(jìn)區(qū)域內(nèi)為油水兩相滲流，目前井底尚未見水。水平井內(nèi)部滲流場(chǎng)與外部滲流場(chǎng)的物理模型如圖1所示。圖1中a1，a2與a3分別為橢圓形供給邊界、油水前緣及內(nèi)部滲流場(chǎng)的長(zhǎng)半軸，m；b1，b2與b3分別為橢圓形供給邊界、油水前緣及內(nèi)部滲流場(chǎng)的短半軸，m；pe1，pe2，pe3與pwf分別為油藏邊界驅(qū)動(dòng)壓力、油水前緣處壓力、內(nèi)外部滲流場(chǎng)交界面壓力以及目前井底流壓，MPa；h為油層厚度，m；d為目前邊水推進(jìn)距離，m。

1.2 內(nèi)部滲流場(chǎng)產(chǎn)能公式推導(dǎo)

內(nèi)部滲流場(chǎng)等壓線為一簇簇橢球面［11］，當(dāng)壓力波呈橢球面?zhèn)鞑サ接筒仨?、底邊界時(shí)，橢球面為內(nèi)部滲流場(chǎng)的供給邊界［參見圖1（a）］，該橢球面方程可以寫為

在橢球面供給邊界上任一位置χ處的y-z橫截面均為一個(gè)橢圓，橢圓方程及長(zhǎng)、短半軸分別為

圖1 水平井內(nèi)部與外部滲流場(chǎng)物理模型Fig.1Physic models of internal seepage field and external seepage field of horizontal well

在水平井任一位置χ處選取微元井段dχ，其在y-z平面內(nèi)可以看成橢圓形供給邊界中的一口“普通直井”［圖2（a）］，其中Kv和Kh分別為油藏垂直方向和水平方向滲透率，mD。假設(shè)各向異性地層中滲透率張量方向與坐標(biāo)軸方向相同，則y-z平面上穩(wěn)態(tài)滲流方程為

圖2內(nèi)部滲流場(chǎng)坐標(biāo)變換Fig.2Coordinate transformation in internal seepage field

式中：p為內(nèi)部滲流場(chǎng)任一位置處的壓力，MPa。

內(nèi)部滲流場(chǎng)邊界條件為

式中：r為內(nèi)部滲流場(chǎng)任一點(diǎn)的徑向距離，m；rw為井筒半徑，m。

可轉(zhuǎn)變?yōu)槔绽狗匠?，?/p>

內(nèi)部滲流場(chǎng)邊界條件變?yōu)?/p>

引入保角變換u=mcoshρcosθ和v=msinhρsinθ，將橢圓坐標(biāo)系轉(zhuǎn)變?yōu)棣?θ極坐標(biāo)系，其中m為待定常數(shù)，設(shè)ρw代表井筒橢圓參數(shù)，應(yīng)用cos2θ+sin2θ=1，式（7）可變?yōu)?/p>

內(nèi)部滲流場(chǎng)邊界條件變?yōu)棣?ρw和p=pwf，由于式（7）的解與θ無(wú)關(guān)，因此式（7）的解為p=pwf+C（ρρw），其中C為與流量有關(guān)的常數(shù)。沿著閉合等壓線對(duì)速度進(jìn)行積分可以得到流量dqo，即

式中：dqo為微元段產(chǎn)量，m3/d；vn為等壓線法線方向滲流速度，m/d；s為等壓線圓弧，m。

對(duì)式（8）進(jìn)行積分，結(jié)合內(nèi)部滲流場(chǎng)邊界條件得

式中：μo為原油黏度，mPa·s；ρw為極坐標(biāo)系中的井筒半徑，m。

當(dāng)ρ取較大值時(shí)，cosh ρ≈sinh ρ，u-v平面上等壓線為圓形［參見圖2（b）］。等壓線平均半徑可以定義為內(nèi)部滲流場(chǎng)橢圓長(zhǎng)軸與短軸的平均值，即式中：為內(nèi)部滲流場(chǎng)任一點(diǎn)處的長(zhǎng)、短半軸平均值，mw為井筒半徑的平均值，m。

將式（10）代入式（9）得

式中：β為各向異性系數(shù)，無(wú)量綱。

在內(nèi)部滲流場(chǎng)供給邊界上，選取點(diǎn)（ve，0），由式（10）得

式中：ρe為極坐標(biāo)系中的內(nèi)部滲流場(chǎng)供給半徑，m；ve為坐標(biāo)變換后內(nèi)部滲流場(chǎng)供給邊界上一點(diǎn)，m。

由式（10）及式（13）可得到內(nèi)部滲流場(chǎng)平均供給半徑，即

式中：re.eq為內(nèi)部滲流場(chǎng)平均供給半徑，m。

因此，式（11）可變?yōu)?/p>

通常情況下，油層厚度等于水平井水平段長(zhǎng)度的直井的產(chǎn)量計(jì)算公式為

式中：K為直井地層滲透率，mD；L為水平井水平段長(zhǎng)度，m；Δp為直井生產(chǎn)壓差，MPa；qvo為直井產(chǎn)量，m3/d；Ru為內(nèi)部滲流場(chǎng)等效阻力，無(wú)量綱。

對(duì)比式（15）與式（16），并對(duì)χ在［-L/2，L/2］進(jìn)行積分，得到內(nèi)部滲流場(chǎng)的等效阻力為

1.3 外部滲流場(chǎng)產(chǎn)能公式推導(dǎo)

隨著邊水的推進(jìn)，外部滲流場(chǎng)變?yōu)闄E圓形復(fù)合區(qū)域，引入保角變換［12］，即

式中：Z與W分別為保角變換前、后外部滲流場(chǎng)任一點(diǎn)處的坐標(biāo)，C。

通過保角變換，將橢圓形復(fù)合區(qū)域內(nèi)的滲流問題變換為圓形復(fù)合區(qū)域的滲流問題（圖3），圖3中Re1，Re2和Re3分別為保角變換后的供給邊界、油水前緣和外部滲流場(chǎng)等效井筒直徑，m。

變換后圓形復(fù)合區(qū)域的半徑分別為

圖3 外部滲流場(chǎng)保角變換的圓形復(fù)合區(qū)域Fig.3Circular composite area after conformaltransformation in external seepage field

式中：Re為保角變換前的供給邊界，m。

在Re3—Re2區(qū)域內(nèi)，流體為油相單相滲流，根據(jù)平面徑向單相滲流，可得

式中：qo為水平井地下流量，m3/d。

在Re2—Re1區(qū)域內(nèi)，流體為油水兩相滲流，根據(jù)平面徑向兩相滲流原理，可得

式中：qL為外部滲流場(chǎng)地下產(chǎn)液量，m3/d；Krw為水相相對(duì)滲透率，無(wú)量綱；Kro為油相相對(duì)滲透率，無(wú)量綱；μw為水相黏度，mPa·s。

含水飽和度分布規(guī)律滿足徑向Buckley-Levereet方程［13］：

式中：φ為儲(chǔ)層孔隙度，%；fw為分流率，無(wú)量綱；Sw為含水飽和度，%；Q為邊水累計(jì)推進(jìn)量，m3。

當(dāng)r=Re2，則該處為油水驅(qū)替前緣，則式（22）可以寫為

式中：Swf為前緣含水飽和度，%。

綜合式（22）～（23），可得

式中：Sw為含水飽和度，%。

對(duì)式（24）兩邊同時(shí)微分，得

將式（25）代入式（21），并利用分流率的表達(dá)式［14］，油水兩相區(qū)等效滲流阻力為

1.4產(chǎn)能公式

根據(jù)油藏體積守恒原理qo=qL，結(jié)合內(nèi)部與外部滲流場(chǎng)產(chǎn)能公式，得到考慮邊水推進(jìn)條件的水平井產(chǎn)能公式，即

式中：qosc為水平井地面產(chǎn)量，m3/d。

A1的求解方法有2種：一種是圖形擬合法，另一種是數(shù)值積分方法。由于求解A1的已知數(shù)據(jù)均為離散分布，圖形擬合法容易產(chǎn)生較大的誤差，因此，筆者利用數(shù)值積分方法求解，具體步驟為：①根據(jù)巖心測(cè)試數(shù)據(jù)作油水兩相相對(duì)滲透率曲線，再根據(jù)分流率表達(dá)式計(jì)算并繪制分流率分布曲線，求取分流率導(dǎo)數(shù)，得到前緣含水飽和度以及前緣含水飽和度對(duì)應(yīng)的分流率導(dǎo)數(shù)；②利用各離散數(shù)據(jù)計(jì)算A1，A2與A3，將［0，fw′（Swf）］分為若干個(gè)微元段，在每個(gè)微元段內(nèi)運(yùn)用梯形公式可計(jì)算分流率導(dǎo)數(shù)的積分值，則整個(gè)區(qū)間內(nèi)的積分值為各個(gè)微元段積分值的和。

2 實(shí)例計(jì)算及影響因素分析

某邊水油藏中水平井基本參數(shù)為：油層厚度為10 m，油藏水平方向和垂直方向滲透率分別為3 mD和0.5 mD，邊水驅(qū)動(dòng)壓力為30 MPa，驅(qū)動(dòng)半徑為300 m，水平段長(zhǎng)度為500 m，井筒半徑為0.1 m，井底流壓為17 MPa，原油黏度為1 mPa·s，地層水黏度為0.6 mPa·s，原油體積系數(shù)為1.2 m3/m3，初投產(chǎn)產(chǎn)量為10.66 m3/d，目前邊水推進(jìn)距離為20 m，產(chǎn)量為10.53 m3/d，其油水兩相相滲曲線及分流率曲線如圖4所示。

利用實(shí)例參數(shù)、相對(duì)滲透率及分流率數(shù)據(jù)求得A1，A2與A3，并將其代入式（27），計(jì)算得到邊水推進(jìn)條件下（d=20 m）水平井產(chǎn)量為10.34 m3/d。該計(jì)算結(jié)果與實(shí)際產(chǎn)量數(shù)據(jù)絕對(duì)誤差為0.19 m3/d，相對(duì)誤差為1.80%，絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差均較小，表明該產(chǎn)能新公式準(zhǔn)確性較高，實(shí)用性較強(qiáng)。

圖4 相對(duì)滲透率曲線（a）與分流率曲線（b）Fig.4Curves of relative permeability（a）and shunt index（b）

在實(shí)例數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，制作考慮邊水推進(jìn)條件（d≠0）與不考慮邊水推進(jìn)條件（d=0）的邊水驅(qū)油藏水平井產(chǎn)量隨水平段長(zhǎng)度變化的關(guān)系曲線（圖5）。

圖5 邊水推進(jìn)對(duì)水平井產(chǎn)量的影響Fig.5Effect of edge water incursion on productivity of horizontal well

從圖5可以看出，隨著水平段長(zhǎng)度增加，水平井產(chǎn)量逐漸增大，但是增大趨勢(shì)越來(lái)越平緩。對(duì)于任意水平段長(zhǎng)度，考慮邊水推進(jìn)條件下的水平井產(chǎn)量比不考慮邊水推進(jìn)條件的水平井產(chǎn)量低，這是因?yàn)檫吽七M(jìn)使得外部滲流場(chǎng)由油相單相滲流變?yōu)榫植坑退畠上酀B流，增大了滲流阻力，因而產(chǎn)量降低，水平段長(zhǎng)度越小時(shí)產(chǎn)量降低越明顯。

將其他參數(shù)固定，制作不同邊水推進(jìn)距離條件下水平井產(chǎn)量隨水平段長(zhǎng)度變化的關(guān)系曲線（圖6）。從圖6可以看出，邊水推進(jìn)并未改變水平井產(chǎn)量隨水平段長(zhǎng)度變化的趨勢(shì)，產(chǎn)量仍隨水平段長(zhǎng)度的增大而增大，但是增大趨勢(shì)越來(lái)越平緩。當(dāng)水平段長(zhǎng)度一定時(shí)，隨著邊水推進(jìn)距離增大，水平段產(chǎn)量逐漸減小，特別是水平段長(zhǎng)度較小時(shí)，產(chǎn)量減小更加明顯，而當(dāng)水平段長(zhǎng)度較大時(shí)，邊水推進(jìn)距離對(duì)水平井產(chǎn)量的影響較小。這是因?yàn)殡S著邊水推進(jìn)距離增大，外部滲流場(chǎng)的兩相滲流區(qū)越來(lái)越大，滲流阻力也逐漸增大，因此使得產(chǎn)量減小。對(duì)于水平段長(zhǎng)度較小的水平井，其對(duì)應(yīng)的泄油面積相對(duì)較小，因而兩相滲流區(qū)域占總泄油面積的比值將更大，隨著邊水推進(jìn)距離增大，滲流阻力增加的速度將更快，因而產(chǎn)量減小更明顯，反之越不明顯。

圖6 不同邊水推進(jìn)距離對(duì)水平井產(chǎn)量的影響Fig.6Effect of different distance of edge water incursion on productivity of horizontal well

3 結(jié)論

（1）在邊水油藏開發(fā)過程中，井底雖未見水，但邊水推進(jìn)后，外部滲流場(chǎng)局部區(qū)域變?yōu)橛退畠上酀B流，內(nèi)部滲流場(chǎng)仍為橢圓形油相單相徑流，總的滲流阻力增大，因此油井產(chǎn)量會(huì)降低。

（2）利用坐標(biāo)變換與保角變換方法推導(dǎo)了考慮邊水推進(jìn)過程中產(chǎn)量計(jì)算新公式。實(shí)例計(jì)算發(fā)現(xiàn)，利用新公式計(jì)算的結(jié)果與實(shí)際產(chǎn)量的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差均較小，說(shuō)明新公式準(zhǔn)確性較高。

（3）敏感性分析表明，不考慮邊水推進(jìn)條件的水平井產(chǎn)量高于考慮邊水推進(jìn)條件的水平井產(chǎn)量，且隨著邊水推進(jìn)距離增大，產(chǎn)量逐漸減小。對(duì)于水平段長(zhǎng)度較小的水平井，邊水推進(jìn)距離對(duì)其產(chǎn)量的影響較明顯，而對(duì)于水平段長(zhǎng)度較大的水平井，邊水推進(jìn)距離對(duì)其產(chǎn)量影響較小。

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［14］李曉平.地下油氣滲流力學(xué)［M］.北京：石油工業(yè)出版社，2008：128-133.

（本文編輯：李在光）

Effect of edge water incursion on productivity of horizontal well

LI Xiaoping1，YUAN Lin1，LUO Cheng2，LIU Bin1，LIU Zhenping1
（1.State Key Laboratory of Oil and Gas Reservoir Geology and Exploitation，Southwest Petroleum University，Chengdu 610500，China；2.Geological Exploration and Development Research Institute，CNPC Chuanqing Drilling Engineering Co.Ltd.，Chengdu 610056，China）

During the development of reservoir with edge water,even if the water didn’t break through at the bottom of the horizontal well,the edge water incursion still influences the productivity of horizontal well.Based on the threedimensional seepage field model of horizontal well,this paper divided the three-dimensional seepage field into two two-dimensional seepage field which are called internal seepage field and external seepage field respectively,used the methods of transformation of coordinates and conformal mapping to obtain the productivity formulas of the two two-dimensional seepage field,eventually got the new productivity formula of horizontal well considering the edge water incursion according to the principle of equivalent filtration resistance.Practical example shows that result calculated by new formula has small absolute and relative error with actual output,which indicates that the new formula is of high accuracy and good practicability.Sensitivity analysis demonstrates that productivity of horizontal well in consideration of edge water incursion is lower than that with no consideration of edge water incursion. Meanwhile,as the increasing of edge water incursion distance,the productivity of horizontal well decreased to a great extent with short horizontal section,while if the horizontal well length is long enough,the effect can be neglected. This study can provide a new solution to predict the productivity of horizontal wells during edge water incursion.

edgewaterincursion；ellipse；coordinatetransformation；conformalmapping；productivityofhorizontalwell

TE32+8

：A

2013-11-29；

2014-02-18

國(guó)家杰出青年科學(xué)基金“油氣滲流力學(xué)”（編號(hào)：51125019）與教育部“長(zhǎng)江學(xué)者和創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)發(fā)展計(jì)劃”（編號(hào)：IRT1079）聯(lián)合資助

李曉平（1963-），男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事滲流力學(xué)、試井分析及油氣藏工程方面的教學(xué)和科研工作。地址：（610500）四川省成都市新都區(qū)西南石油大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室B403室。E-mail：nclxphm@126.com。

1673-8926（2014）05-0107-06