高小雪

插值法在《財(cái)務(wù)管理》教學(xué)中的應(yīng)用

高小雪

在《財(cái)務(wù)管理》貨幣時(shí)間價(jià)值的計(jì)算中，常常用到插值法，但幾乎所有的教材都沒有對插值法的原理進(jìn)行清楚的解析，對于初學(xué)者來說比較難以理解。本文根據(jù)教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，利用圖示法和案例解釋插值法的數(shù)學(xué)原理，更容易理解和掌握。同時(shí)，分析了插值法的使用范圍。

貨幣時(shí)間價(jià)值；插值法；圖示法

在《財(cái)務(wù)管理》時(shí)間價(jià)值計(jì)算中，經(jīng)常會遇到已知終值或現(xiàn)值，求計(jì)息期或利率的問題，然而系數(shù)表的使用范圍有限，教學(xué)中通常引入插值法解決問題。插值法又稱“內(nèi)插法”，是函數(shù)逼近的一種重要方法，是利用函數(shù)f (x)在某區(qū)間中插入若干點(diǎn)的函數(shù)值，作出適當(dāng)?shù)奶囟ê瘮?shù)，在這些點(diǎn)上取已知值，在區(qū)間的其他點(diǎn)上用這特定函數(shù)的值作為函數(shù)f(x)的近似值，這種方法稱為插值法。

一、插值法的幾何原理

插值法利用了幾何上相似三角形對應(yīng)邊長成比例的原理，將數(shù)學(xué)應(yīng)用于解決實(shí)際問題。插值法最早在1976年提出用于解決車輛線路問題?！敦?cái)務(wù)管理》中使用的插值法是簡單的線性插值法。下面用圖形（圖1）說明簡單線性插值法的幾何意義。圖1是某線性函數(shù)f（x），求X2。根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊長成比例的幾何原理，△CBD∽△CAE可知，因X1、X3、f(X1)、f(X2)、f(X3)已知，對等式進(jìn)行恒等變換可求得未知數(shù)X2。這就是插值法的基本原理。

圖1

在圖1中，f（x）為線性函數(shù)，在圖中體現(xiàn)為一條直線。但是，在《財(cái)務(wù)管理》的時(shí)間價(jià)值計(jì)算中，f（x）為非線性函數(shù)，在坐標(biāo)圖中亦非直線，而是一條曲線。因此，根據(jù)上述原理使用插值法求得的結(jié)果并非真實(shí)結(jié)果，而是存在一定誤差。在圖2中，我們可以清晰的看到真實(shí)結(jié)果與插值法求得的結(jié)果之間的誤差。

圖2

二、插值法的圖示解析

在《財(cái)務(wù)管理》時(shí)間價(jià)值的計(jì)算中使用插值法，如果只是以函數(shù)式來求解，對學(xué)生而言有些抽象，也不容易理解，但如果以圖示法，學(xué)生會比較直觀而輕松地化解疑問。下面用兩個(gè)具體案例來對插值法進(jìn)行圖示解析。

案例一：計(jì)劃現(xiàn)在起每年年末存進(jìn)銀行1000元、假設(shè)利率為10%，那么幾年之后可以從銀行取出5000元？

解析：（F/A，10%，n）=5000/1000=5，在年金終值系數(shù)表中無法查到系數(shù)為5的期數(shù)n，要找到臨界值構(gòu)造相似三角形計(jì)算。當(dāng)期數(shù)為4時(shí)，系數(shù)是4.6410；當(dāng)期數(shù)為5時(shí)，系數(shù)是6.1051。因此，期數(shù)應(yīng)當(dāng)介于4和5之間。插值法求解如圖3所示。

函數(shù)（F/A，10%，n）為增函數(shù)，可以近似的把兩個(gè)臨界值之間的曲線ABC近似的看成直線，構(gòu)造圖1所示的相似三角形。根據(jù)插值法相似三角形對應(yīng)邊長成比例的幾何原理可知：

圖3

案例二：假設(shè)現(xiàn)在存進(jìn)銀行5000元，在未來8年每年年末都能從銀行取出1000元，那么銀行利率應(yīng)為多少？

解析：（P/A，i，8）=5000/1000=5，在年金現(xiàn)值系數(shù)表中無法查到系數(shù)為5的利率i，要找到臨界值構(gòu)造相似三角形計(jì)算。當(dāng)利率為11%時(shí)，系數(shù)是5.1461；當(dāng)利率為12%時(shí)，系數(shù)是4.9676。因此，利率應(yīng)當(dāng)介于11%和12%之間。插值法求解如圖4所示。

圖4

函數(shù)（P/A，i，8）為減函數(shù)，可以近似的把兩個(gè)臨界值之間的曲線ABC近似的看成直線，構(gòu)造圖1所示的相似三角形。根據(jù)插值法相似三角形對應(yīng)邊長成比例的數(shù)學(xué)原理可知：

通過圖示法，我們可以直觀且較容易的理解插值法的具體應(yīng)用。當(dāng)我們很熟悉插值法之后，可以不必畫出坐標(biāo)圖就可以進(jìn)行插值法的求解。

例三：某項(xiàng)目投資方案，當(dāng)折現(xiàn)率為12%時(shí)，方案的凈現(xiàn)值為250萬元，當(dāng)折現(xiàn)率為14%時(shí)，其凈現(xiàn)值為-50萬元，那么該投資方案的內(nèi)含報(bào)酬率是多少？

解析：能夠使凈現(xiàn)值NPV=0的折現(xiàn)率就是項(xiàng)目的內(nèi)含報(bào)酬率。

三、插值法的使用范圍

在《財(cái)務(wù)管理》貨幣時(shí)間價(jià)值的計(jì)算中，有些其實(shí)是可以通過計(jì)算器得到一個(gè)精確結(jié)果。對于求解年金終值系數(shù)、年金現(xiàn)值系數(shù)中的利率i或者期數(shù)n的問題，在求解的公式中利率i或者期數(shù)n不只出現(xiàn)一次或不容易通過恒等變化得到一個(gè)不含未知量的等式，通過計(jì)算器也往往得不到精確結(jié)果。在很多的《財(cái)務(wù)管理》教材中，凡是遇到貨幣時(shí)間價(jià)值無法查系數(shù)表計(jì)算的問題，都一概使用“插值法”解決。其實(shí)，在教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)區(qū)別對待。對于求解年金終值系數(shù)、年金現(xiàn)值系數(shù)中的利率i或者期數(shù)n的問題，可以使用插值法。但是對于求解復(fù)利終值系數(shù)、復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)中利率i或期數(shù)n的問題完全可以用公式算術(shù)式準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果，如果使用了插值法，反而麻煩而且得到的只是一個(gè)近似的結(jié)果?，F(xiàn)舉例說明。

案例四：已知終值F=3000，現(xiàn)值P=1000，期數(shù)n=10，求利率i。

先使用插值法計(jì)算，查表可知兩個(gè)臨界值分別是（F/P，11%，10）=2.8394（F/P，12%，10）=3.1058，由插值法可得算式，則利率i≈11.60%。

再使用公式算數(shù)法計(jì)算，F(xiàn)=3000=1000(1+i)，恒等變換之后

四、結(jié)論

在《財(cái)務(wù)管理》貨幣時(shí)間價(jià)值的計(jì)算中，使用“插值法”可以解決系數(shù)表局限性的問題。同時(shí)，在教學(xué)實(shí)踐中，使用圖示法可以幫助學(xué)生直觀且更好的理解插值法的原理。但是，對于插值法的使用，應(yīng)針對不同問題區(qū)別對待，不能一概而論，對于求解復(fù)利終值系數(shù)、復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)中利率i或期數(shù)n的問題出于準(zhǔn)確性的考慮就不適合采用插值法。

[1]關(guān)繼芳.插補(bǔ)法簡解[J].會計(jì)之友,2008（6）.

[2]田笑豐.財(cái)務(wù)管理教學(xué)中插值法的快速理解和掌握[J].會計(jì)之友,2008（4）:74～75.

[3]郭復(fù)初，王慶成.財(cái)務(wù)管理學(xué)[M].北京:高等教育出版社，2005，8:57.

（作者單位：黃河科技學(xué)院）