徐亞蘭，薛 敏

(西安電子科技大學(xué) 機電工程學(xué)院，西安 710071)

結(jié)構(gòu)損傷識別作為結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測技術(shù)的重要組成部分，一直是國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點問題。結(jié)構(gòu)損傷識別研究具有很強的工程背景，在土木工程、航空航天、機械工程等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。結(jié)構(gòu)損傷識別的方法很多，如振動診斷法、聲發(fā)射法、超聲波診斷法、光學(xué)診斷法、紅外診斷法等。近年來，由于計算機技術(shù)、信號檢測與處理技術(shù)的快速發(fā)展，基于振動信息的結(jié)構(gòu)損傷識別方法的研究與應(yīng)用最為廣泛［1-2］。不過，雖然經(jīng)過國內(nèi)外學(xué)者的長期研究，基于振動信息的結(jié)構(gòu)損傷識別已經(jīng)形成很多方法［3-5］，如:動力指紋類方法、信號處理類方法，但是作為結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測的一部分，結(jié)構(gòu)損傷識別往往存在在線實時的要求［6］，而目前現(xiàn)有的損傷識別方法由于存在計算效率低、測量數(shù)據(jù)多等局限而不易于工程實際應(yīng)用。

Box等［7］提出的實驗設(shè)計與數(shù)理統(tǒng)計相結(jié)合的響應(yīng)面方法，由于有高效、實用的特點，近年來在多個領(lǐng)域受到越來越多的重視。響應(yīng)面方法在結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域的應(yīng)用主要集中在可靠性分析［8］及模型修正［9-10］等方面，而在結(jié)構(gòu)損傷識別方面，特別是非線性損傷識別的應(yīng)用研究鮮有報道。由于響應(yīng)面模型有著較低的試驗數(shù)據(jù)訓(xùn)練要求、計算量小、操作性強及非線性建模的優(yōu)勢，符合結(jié)構(gòu)在線損傷識別的要求，顯示了其在結(jié)構(gòu)損傷識別領(lǐng)域的應(yīng)用潛力。文獻(xiàn)［11-12］嘗試著將響應(yīng)面方法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)損傷識別中，建立了結(jié)構(gòu)損傷與模態(tài)頻率之間的近似解析表達(dá)式。

本文主要利用響應(yīng)面方法在非線性建模問題上的優(yōu)勢，基于結(jié)構(gòu)的非響應(yīng)信號，提出以結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號的功率譜特征量為損傷動力指標(biāo)，建立結(jié)構(gòu)非線性損傷與動力指標(biāo)的響應(yīng)面模型，探索性地研究響應(yīng)面方法在結(jié)構(gòu)非線性損傷中的應(yīng)用。

1 非線性損傷的動力指標(biāo)

結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷后，某些損傷行為會使結(jié)構(gòu)的響應(yīng)信號表現(xiàn)為非線性特性。盡管模態(tài)頻率由于易測量且測試精度較高經(jīng)常用來作為結(jié)構(gòu)線性損傷識別的動力指標(biāo)，但是模態(tài)頻率在損傷定位方面有其局限性，而且利用固有頻率很難對線性損傷與非線性損傷進行區(qū)分。考慮到與結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率相比，響應(yīng)信號頻譜能量的分布對結(jié)構(gòu)非線性特征更為敏感度，為了更好地描述非線性損傷造成結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號頻率能量特征的變化，本文提出以結(jié)構(gòu)在沖擊激勵下響應(yīng)信號的功率譜特征值作為損傷動力指標(biāo):

式中，S(ω)為結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號的功率譜，ω為角頻率。ID1，ID2，ID3能分別從不同的角度描述響應(yīng)信號的頻域特征，反映了其功率譜主頻帶位置和頻譜能量分布的分散程度，其中，ID1表示功率譜主頻帶的位置，ID2表示信號功率譜的質(zhì)心，ID3表示功率譜主頻帶的移動趨勢。

2 響應(yīng)面方法

響應(yīng)面方法就是利用試驗設(shè)計與回歸分析方法，通過近似構(gòu)造一個具有明確表達(dá)式形式的多項式對試驗樣本的回歸進行擬合來表達(dá)隱式功能函數(shù)。試驗樣本的選取直接關(guān)系到響應(yīng)面模型的精度與計算成本;樣本選取過少不能完全反應(yīng)系統(tǒng)的特征，而樣本選取太多雖然能在一定程度上提高擬合精度，但會大幅度提高計算成本。在實際應(yīng)用中樣本選取主要取決于研究對象、特征量的選擇以及所采用的試驗設(shè)計方法。

試驗設(shè)計是為了通過合理布置試驗點的位置，達(dá)到利用少量試驗點得到較高精度響應(yīng)面模型的目的。試驗設(shè)計的方法主要有全因子設(shè)計、部分因子設(shè)計、中心復(fù)合設(shè)計及Plackett-Burman設(shè)計等。本文在結(jié)構(gòu)非線性損傷識別中將采用全因子設(shè)計方法和如下多項式響應(yīng)面模型:

式中，xi(i=1，2，…，k)，y分別為響應(yīng)面模型的輸入?yún)?shù)和輸出響應(yīng)，k表示設(shè)計變量個數(shù)，α0是常數(shù)項待定系數(shù)，αj是一次待定系數(shù)，αij為二次項待定系數(shù)，αijm為三次項待定系數(shù)。全因子設(shè)計是最基本的試驗設(shè)計方法，其將設(shè)計變量各分量上、下限之間的區(qū)域分成若干子區(qū)間，在各個子區(qū)間的交界處取值;若設(shè)計變量個數(shù)為n，每個設(shè)計變量分量均取l個值，則全因子設(shè)計試驗點的個數(shù)為ln。

響應(yīng)面函數(shù)對試驗數(shù)據(jù)的擬和程度由如下評價指標(biāo)來檢驗，即修正的負(fù)相關(guān)系數(shù)復(fù)相關(guān)系數(shù)R2adj和均方誤差MSE:

式中，yrs為響應(yīng)面模型的計算值，y為真值為真值的均值，N為樣本點的個數(shù)，n表示試驗運行的次數(shù)，p為在輸入量和輸出量個數(shù)之和的基礎(chǔ)上加一，為σ真值的標(biāo)準(zhǔn)偏差。值越接近1說明回歸模型越準(zhǔn)確，而MSE值越小說明擬合度就越好。

3 基于響應(yīng)面方法的結(jié)構(gòu)非線性損傷識別

基于響應(yīng)面的結(jié)構(gòu)損傷識別方法就是通過實驗或數(shù)值計算獲得輸入變量及響應(yīng)變量的樣本點，利用多項式響應(yīng)面方法對這些采樣點進行擬合或逼近獲得系統(tǒng)損傷與動力指標(biāo)之間的近似解析表達(dá)式，將響應(yīng)面思想引入結(jié)構(gòu)損傷識別中，降低數(shù)據(jù)測試要求并提高計算效率，以便應(yīng)用于在線結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測。主要步驟包括試驗所需要輸入量與輸出量的確定，基于試驗設(shè)計的樣本選取，響應(yīng)面模型的建立以及利用響應(yīng)面進行損傷識別。

為了驗證本文所提出以功率譜特征量為損傷動力指標(biāo)，利用響應(yīng)面方法進行結(jié)構(gòu)非線性損傷識別的有效性。本節(jié)對一個五自由度系統(tǒng)(如圖1所示)的線性損傷和非線性損傷識別進行了仿真比較研究。這里，以各個彈簧剛度系數(shù)的變化來模擬結(jié)構(gòu)的損傷，故損傷識別的目標(biāo)就是彈簧的剛度值及其定位。利用全因子設(shè)計方法來建立剛度值、剛度定位與損傷動力指標(biāo)ID1，ID2，ID3之間的擬合關(guān)系。因為損傷識別的目標(biāo)就是彈簧的剛度值及其定位，故在實驗設(shè)計時變量個數(shù)為2;每個變量均取5個設(shè)計水平，即:損傷定位分別為第1個彈簧至第5個彈簧，而五個定位中某一定位的損傷用彈簧剛度系數(shù)的降低來模擬，共分為五個等級(2 000 N/m，3 000 N/m，4 000 N/m，5 000 N/m ，6 000 N/m(健康值))。由于使用全因子設(shè)計需要25次仿真試驗獲得樣本點，所以本文模擬仿真了25個不同的損傷工況。

仿真分為兩種情況，首先，在非線性損傷發(fā)生后，仍將以線性動力學(xué)建模的方式產(chǎn)生試驗樣本點，即:分三步進行計算:① 針對各損傷工況，通過振型疊加，計算對應(yīng)的響應(yīng);② 計算響應(yīng)的功率譜;③ 利用第1至3式計算ID1，ID2，ID3。利用響應(yīng)面方法分別擬合線性損傷及非線性損傷情況下剛度值及定位與ID1，ID2，ID3之間的解析關(guān)系如下:

其中，sti為剛度值，loc代表定位，L表示線性，NL表示非線性，A，B 和 C 分別表示 ID1，ID2，ID3。

圖2與3分別為利用以上響應(yīng)面模型對兩種損傷情況下的剛度值和定位進行識別。從圖可見，對非線性系損傷剛度值及定位的識別精確度總體上要比線性高，特別是對非線性損傷定位的識別基本上都在理想值(45°斜線)附近，而對線性損傷定位識別則比較分散，可見利用本文方法可以將線性損傷與非線性損傷進行區(qū)分。本文所采用功率譜特征值作為損傷動力指紋對線性損傷識別并不理想，線性損傷識別時采用結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率作為損傷指標(biāo)比較準(zhǔn)確［11］。

圖2 線性損傷與非線性損傷剛度值的識別結(jié)果Fig.2 Stiffness results for linear and nonlinear damage

然后，假設(shè)已知系統(tǒng)發(fā)生的損傷為非線性，以系統(tǒng)非線性動力學(xué)建模的方式來產(chǎn)生試驗樣本點，即:在計算系統(tǒng)響應(yīng)時，針對各個發(fā)生非線性損傷的彈簧，用非線性項kx3替代原線性項kx，利用Newmark數(shù)值解法獲得近似的響應(yīng)。建立非線性損傷情況下剛度值及定位與ID1，ID2，ID3之間的解析關(guān)系如下:

圖4和圖5為采用非線性動力學(xué)模型進行非線性損傷定位和剛度值的識別結(jié)果?？梢钥闯觯憫?yīng)面模型可以對非線性損傷進行定量與定位識別。與圖2和圖3進行比較可知，試驗樣本點的準(zhǔn)確度可以很大程度上提高非線性損傷識別的響應(yīng)面方法的準(zhǔn)確度。

4 結(jié)論

圖3 線性損傷與非線性損傷定位的識別結(jié)果Fig.3 Location results for linear and nonlinear damage

圖4 非線性損傷剛度值的識別結(jié)果Fig.4 Stiffness results for nonlinear damage

圖5 非線性損傷定位的識別結(jié)果Fig.5 Location results for nonlinear damage

本文提出了一種以結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號的功率譜特征值為損傷動力指標(biāo)，探索性地將響應(yīng)面方法用于對結(jié)構(gòu)的非線性損傷識別的方法，并與結(jié)構(gòu)的線性損傷識別進行了比較研究。結(jié)果表明，本文所提出的方法可以將結(jié)構(gòu)的線性損傷與結(jié)構(gòu)的非線性損傷很好的區(qū)分開來，對結(jié)構(gòu)的非線性損傷有很好的定位和定量精度。由于響應(yīng)面方法可以在很少的測試數(shù)據(jù)情況下，快速準(zhǔn)確地建立結(jié)構(gòu)非線性損傷與損傷動力指標(biāo)之間的關(guān)系，顯示了其在結(jié)構(gòu)非線性損傷識別領(lǐng)域的應(yīng)用潛力。

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