訥河市第三中學(xué)

如何注重類比方法體現(xiàn)教學(xué)難點(diǎn)突破策略
——以“平方差公式”課堂教學(xué)實(shí)錄（一）為例

訥河市第三中學(xué)陸楊

為進(jìn)一步推進(jìn)數(shù)學(xué)課堂從有效課堂向高效課堂邁進(jìn)，全面提升數(shù)學(xué)教師的教學(xué)水平和素養(yǎng)，訥河市教研院組織了一次同課異構(gòu)活動(dòng)，最大程度地展現(xiàn)了教師的智慧和力量.以下為3個(gè)教師對(duì)“平方差公式”的不同講解，現(xiàn)將具體案例呈現(xiàn)給廣大教師，以供參考和借鑒.

同課異構(gòu)

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)14.2.1平方差公式，主要探究平方差公式的過(guò)程及簡(jiǎn)單應(yīng)用.重、難點(diǎn)是理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，靈活應(yīng)用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.采用“問(wèn)題情景—探究交流—得出結(jié)論—強(qiáng)化訓(xùn)練”的模式展開(kāi)教學(xué).利用多媒體教學(xué)手段，增加教學(xué)過(guò)程的趣味性，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的動(dòng)手操作和主動(dòng)參與，通過(guò)集體討論、小組活動(dòng)，以合作學(xué)習(xí)促進(jìn)自主探究.課堂教學(xué)實(shí)錄如下：

活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境，凸顯問(wèn)題

師：同學(xué)們，我們剛剛學(xué)習(xí)了整式的乘法，知道了兩個(gè)多項(xiàng)式相乘的算法，下面同學(xué)們應(yīng)用你所學(xué)的知識(shí)，探究下面的問(wèn)題：

問(wèn)題1：用簡(jiǎn)便算法計(jì)算下面各題.

21伊19=?103伊97=?

問(wèn)題2：同學(xué)們，你們想知道是如何計(jì)算的嗎？

生：想.

師：今天我們就一起來(lái)探究簡(jiǎn)便計(jì)算這類問(wèn)題的方法.（避開(kāi)問(wèn)題不去直接解答，意在喚起學(xué)生的好奇心，吸引其有意注意.）

活動(dòng)二：類比發(fā)現(xiàn)，體驗(yàn)新知

問(wèn)題1：下面請(qǐng)同學(xué)們觀察下面的算式有什么特點(diǎn)?

（大屏幕打出.）

（1）（m+2）（m-2）

（2）（2x+1）（2x-1）

（3）（x+5y）（x-5y）

生甲：每個(gè)因式都是兩項(xiàng).

生乙：都是兩個(gè)數(shù)的和與差的積……

師：大家都非常善于觀察，表現(xiàn)得很好，學(xué)習(xí)就需要這種仔細(xì)，認(rèn)真的態(tài)度.（及時(shí)對(duì)學(xué)生的積極表現(xiàn)作出表?yè)P(yáng)，使學(xué)生保持良好的學(xué)習(xí)狀態(tài).）

問(wèn)題2：同學(xué)們，試著計(jì)算一下，你還會(huì)有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？（以小組為單位，進(jìn)行計(jì)算，并且給一定的時(shí)間讓學(xué)生一起討論.）

一小組匯報(bào)：我們組通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)（1）（2）結(jié)果是兩個(gè)數(shù)平方的差.

二小組補(bǔ)充：（3）的結(jié)果變形后也是兩個(gè)數(shù)的平方的差.

師：概括得很好！觀察得很仔細(xì)，它們運(yùn)算結(jié)果就是這兩個(gè)數(shù)的平方的差.根據(jù)你們找出的規(guī)律，快速計(jì)算（a+b）（a-b）.

生：異口同聲的說(shuō)：a2-b2.

師：正確，我們來(lái)證明一下.（板書(shū)驗(yàn)證過(guò)程.）

問(wèn)題3：能不能給我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：（a+b）（a-b）= a2-b2起一個(gè)名字呢？最后的結(jié)果是這兩個(gè)數(shù)的平方差，就叫它“平方差公式”怎么樣？

生齊答：好.

師：這個(gè)內(nèi)容就是我們今天要研究的內(nèi)容.（板書(shū)課題：平方差公式，使學(xué)生體驗(yàn)獲取知識(shí)后的成功與喜悅，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.）

活動(dòng)三：追根溯源，鞏固認(rèn)知

師：你能計(jì)算出圖1與圖2的面積和嗎？有哪幾種方法？

生：（通過(guò)觀察）我是這樣計(jì)算的，圖2和圖3的面積相等，所以，圖1與圖2的面積和就是圖形1與圖3的面積和，而圖1與圖3是一個(gè)長(zhǎng)方形，一邊是（a+b），另一邊是（a-b），所以面積是（a+b）（a-b）.

師：很好！還有沒(méi)有其他方法？

生：圖1與圖2的面積和其實(shí)就是大的正方形面積減去小的正方形的面積，而大的正方形的邊長(zhǎng)為a，小的正方形的邊長(zhǎng)為b，所以面積為a2-b2.

師：很好！還有沒(méi)有其他方法？

生：我先計(jì)算圖1的面積，圖1是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為a，寬為（a-b），面積為a（a-b），而圖2的面積是b（a-b），所以，圖1與圖2的面積和為（a+b）（a-b）.

師：非常好！大家想出了很多種計(jì)算方法，無(wú)論哪種方法其結(jié)果都是（a+b）（a-b）和a2-b2.所以，（a+b）（a-b）= a2-b2.

這樣我們又從幾何角度驗(yàn)證了平方差公式.

活動(dòng)四：規(guī)律應(yīng)用，提升認(rèn)知

師：學(xué)習(xí)公式為了運(yùn)算簡(jiǎn)便，現(xiàn)在看這樣兩道題.

例：運(yùn)用平方差公式計(jì)算：

（1）（3x+2）（3x-2）

（2）(2a+5b2)(2a-5b2)

師：這兩個(gè)題目條件是否符合平方差公式特征，你能說(shuō)出本題中a，b分別表示什么嗎？（學(xué)生回答后，教師板書(shū)解題過(guò)程.）

生：（異口同聲）能.

活動(dòng)五：突破難點(diǎn)，升華認(rèn)知

問(wèn)題：觀察下面各式能否運(yùn)用平方差公式計(jì)算;如果能運(yùn)用平方差公式,兩個(gè)因式中的哪個(gè)數(shù)看做公式中的a,哪個(gè)數(shù)看做公式中的b;計(jì)算結(jié)果是什么？

（1）（4y+3x）（3x-4y）

（2）（-5m2+3n）（5m2+3n）

（3）（2y-3）（3-2y）

（巡視學(xué)生解題情況.）

師：哪位同學(xué)愿意把你的計(jì)算結(jié)果展示給大家.

生：（1）題能運(yùn)用平方差公式，把4y和3x調(diào)換一下位置，4y相當(dāng)于a，3x相當(dāng)于b.

師：大家判斷的很準(zhǔn)確，真是火眼金睛啊.第（2）題呢？

生：能運(yùn)用平方差公式-5m2和3n和調(diào)換位置，和調(diào)換位置，5m和3n就變成（3n-5m2）（3n+5m2）=9n2-25m4

師：有沒(méi)有跟她的看法不同？

生：（-5m2+3n）（5m2+3n）=-（5m2-3n）（5m2+3n）=-[（5· m2）2-（3n）2]

師：看來(lái)真的把這節(jié)課內(nèi)容學(xué)會(huì)了，太棒了.那第（3）題該如何做呢？

生：不可以運(yùn)用平方差進(jìn)行計(jì)算，2y與-2y是互為相反數(shù)，與-3也是互為相反數(shù)，所以，不能用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，運(yùn)用多項(xiàng)式乘法計(jì)算.

師：這道題只能運(yùn)用多項(xiàng)式乘法來(lái)進(jìn)行計(jì)算了.以后，我們還會(huì)用另外一個(gè)乘法公式對(duì)它進(jìn)行計(jì)算.

師：有些運(yùn)算式很可能不能運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，所以給出運(yùn)算式后先看符合不符合公式，然后再找公式中的a，公式中b，最后計(jì)算結(jié)果，從前面例題和練習(xí)題看，大家對(duì)公式掌握的已經(jīng)很好了.下面我們小結(jié)以下本節(jié)主要內(nèi)容（略）.

活動(dòng)六：分層作業(yè)，各有所獲

必做題：1．課本P108練習(xí)第1、2題．

2.課本P112習(xí)題14.2第1～3題．

選做題：計(jì)算：（a+b+c）（a+b-c）