熊炳忠

摘要：金融資產(chǎn)收益波動率是金融計量分析的核心議題，該文考慮對其建模分析的計算機實現(xiàn)問題。利用R軟件的強大計算與繪圖功能，給出金融資產(chǎn)收益波動率各個模型的模擬實現(xiàn)以及對實際金融市場數(shù)據(jù)的各種建模分析。

關(guān)鍵詞：波動率；R軟件；建模分析

中圖分類號：F830 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-3044（2014）01-0185-04

現(xiàn)代金融問題的顯著特點是不斷在金融學(xué)內(nèi)容中引入數(shù)量化的理論和方法，最優(yōu)投資組合、資產(chǎn)波動率建模、金融衍生品定價、金融風(fēng)險管理等，無一不是現(xiàn)代統(tǒng)計學(xué)、數(shù)學(xué)、計算機技術(shù)等知識在金融上的集中體現(xiàn)。因此要使金融數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生能更好地理解掌握現(xiàn)代金融理論的內(nèi)涵，提高對金融問題的定量化分析能力與水平，適應(yīng)時代發(fā)展的需要，教師在課堂上不僅要解釋清楚各個模型及其背后的原理，更重要的是教會學(xué)生如何實現(xiàn)各模型的每一步計算機實現(xiàn)的全過程，訓(xùn)練他們能利用實際金融數(shù)據(jù)進行建模分析的能力。

金融資產(chǎn)收益波動率是期權(quán)定價、風(fēng)險管理、投資組合分析、交易策略中的關(guān)鍵指標(biāo)，對其建模分析是金融計量分析的核心議題，其已經(jīng)貫穿到整個現(xiàn)代金融理論體系中。在馬科維茲提出的均值方差投資組合[1]模型中，其將標(biāo)的資產(chǎn)收益的標(biāo)準(zhǔn)差作為波動率；著名的Black-Scholes期權(quán)定價公式[2]中的重要參數(shù)[σ]就是標(biāo)的資產(chǎn)對數(shù)收益率的條件標(biāo)準(zhǔn)差；J.P，Morgan將風(fēng)險度量制發(fā)展成為VaR[3]計算，其考慮就是將條件正態(tài)分布的標(biāo)注差作為風(fēng)險資產(chǎn)收益率的波動率；更有市場指數(shù)的波動率本身也成為一種金融交易產(chǎn)品，如，芝加哥期權(quán)交易所的VIX波動指數(shù)。二十年來，廣大學(xué)者關(guān)于一元波動率提出了相當(dāng)豐富的模型，其主要有Engle提出的ARCH模型[4]、Bollersev提出的GARCH模型[5]、Nelson提出的EGARCH模型、Tsay提出的CHARMA模型、Glosten， Jagannathan， Runlele等提出的TGARCH[6]、Jacquier，Polson，Rissi提出的隨機波動（SV）模型[7]等。如何有效掌握、利用現(xiàn)代統(tǒng)計計算的高級軟件[8]對金融資產(chǎn)收益波動率的科學(xué)建模分析已經(jīng)成為金融數(shù)量化分析人才的必備技能之一。

1 R語言的優(yōu)勢

對金融資產(chǎn)波動率建模分析涉及到較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)與統(tǒng)計理論，計算復(fù)雜繁瑣，根本不可能由手工完成，往往需要借助于相關(guān)的統(tǒng)計計算軟件?，F(xiàn)代金融計量分析中常用軟件有MATLAB、SAS、SPSS、SPLUS、EVIEWS以及R等。其中R軟件是一套完整的集數(shù)據(jù)處理分析、計算和繪圖的軟件系統(tǒng)，其交互式運行方式使得人們利用它可以非常方便探索復(fù)雜數(shù)據(jù)。R軟件具有強大的統(tǒng)計分析與數(shù)據(jù)可視化功能，相比較于其他語言，其語言比較簡單、易懂、編程簡便、語法易學(xué)、有較多的統(tǒng)計函數(shù)；再有，其是自由、免費、源代碼公開的軟件，各種可以獲得的資源豐富；更有是其非常方便加載各種工具包。R軟件憑借其有向量、數(shù)組、列表等豐富的數(shù)據(jù)類型豐富以及安裝及其方便等許多優(yōu)點，就非常適合于對金融數(shù)據(jù)的建模分析的課堂教學(xué)工具。

2 金融資產(chǎn)收益波動率模型與模擬

金融資產(chǎn)波動率的一個特殊性就是其不可直接觀測到，但是通過其收益率序列的一些特征能發(fā)現(xiàn)其一些特征，比如波動聚類性、在固定范圍內(nèi)隨時間連續(xù)變化以及顯示杠桿效應(yīng)等。通常的波動率模型選擇主要是基于能反映出其一些特征而設(shè)計。

用[rt]表示資產(chǎn)在[t]時刻的收益率，記[Ft-1]為[t-1]時刻已知的信息集，在[Ft-1]下[rt]的條件均值為[μt]及條件方差為[σ2t]，其中[μt=E（rt|Ft-1）]，[σ2t=Var（rt|Ft-1）]。對[rt]一般假定為

[rt=μt+atμt=i=1p?iμt-i-i=1qθiat-i] （1）

由此得到[σ2t=Var（rt|Ft-1）=Var（at|Ft-1）]，這樣對波動率建模主要是描述[σ2t]的模型演變。

2.1 ARCH 模型

考慮對波動率的條件異方差建模中，ARCH模型是最基本的。具體如下：

[at=σtetσt=α0+i=1pαia2t-i] （2）

其中[et]是個均值為0，方差為1的獨立同分布隨機變量序列，[α0>0，αi≥0，p]為某一正整數(shù)?，F(xiàn)在模擬1100個AR（1）-ARCH（1）模型的數(shù)據(jù)，其中條件均值方程中各個參數(shù)設(shè)置為[μ=0.1，?=0.8]，條件方差中各參數(shù)設(shè)置為[α0=1，α1=0.95]，R程序代碼如下：

#################

#AR（1）-ARCH（1）模型模擬

n=1100

e=rnorm（n）

a=u=e

sig2=e^2

alpha0=1

alpha1=0.95

phi=0.8

mu=0.1

for （i in 2：n）

{

sig2[i+1] = alpha0+ alpha1*a[i]^2

a[i] = sqrt（sig2[i]）*e[i]

u[i] = mu + phi*（u[i-1]-mu） + a[i]

}

plot（e，type="l"）

plot（a，type="l"）

plot（u，type="l"）

#################

2.2 GARCH 模型

基于ARCH模型簡單性，實際應(yīng)用中被廣泛采用，但是一般需要比較高的階數(shù)才能較好地反映資產(chǎn)收益波動率的性態(tài)。Bollerslev于1986年提出了其一個有用的推廣形式，稱為GARCH 模型。具體模型為：

[at=σtetσt=α0+i=1pαia2t-i+j=1qβjσ2t-j] （3）

其中[et]是個均值為0，方差為1的獨立同分布隨機變量序列，[α0>0] [αi≥0，βj≥0，i，j（αi+βj）<1，p，q]為某一正整數(shù)。

利用fGarch包，調(diào)用garchSpec與garchSim函數(shù)同樣模擬10000個ARMA（1，1）-GARCH（1，1）模型的數(shù)據(jù)，其中條件均值方程中各個參數(shù)設(shè)置為[?1=0.3，?2=0.4，θ1=0.6，θ2=0.7，]，條件方差中各參數(shù)設(shè)置為[α0=1.5]，[α1=0.4，]

[β1=0.3]，其相關(guān)的R程序代碼如下：運行程序得到模擬收益率序列如圖1所示。

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#帶ARMA（1，1）-GARCH（1，1）的模擬與估計

library（fGarch）

spec1=garchSpec（model=list（ar=c（0.3，0.4），ma=c（0.6，0.7），alpha0=1.5，alpha1=0.4， beta1=0.3））

armagarch11 = garchSim（spec1， n.start = 500， n=10500）

plot（armagarch11，main="Series garch11"）

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2.3 APARCH 模型

金融資產(chǎn)收益率序列有時表現(xiàn)出較大的負收益比相同幅度的正收益引起更大的波動，這個被稱為杠桿效應(yīng)。普通的GARCH模型不能體現(xiàn)出這個特性，為了反映出這種特性。Ding， Granger和Engle于1993年提出了APARCH模型。其數(shù)學(xué)表達式如下：

[at=σtetσδt=α0+i=1pαiat-i-γiat-1δ+j=1qβjσδt-j] （4）

其中[et]是個均值為0，方差為1的獨立同分布隨機變量序列，[α0>0] [αi≥0，βj≥0，δ>0，-1<γi<1，i=1，2，…，p]。當(dāng)[δ=2]，[γ1=γ2=…=γp=0]時就是標(biāo)準(zhǔn)的GARCH模型。

3 實證分析

收集上證綜合指數(shù)（證券代碼為000001）2011年至2013年9月30日共664個交易日收盤價價格序列，計算得到其對數(shù)收益率序列如圖2所示，然后對該序列分別進行ARCH（2） 、GARCH（1，1）-N、GARCH（1，1）-T、AR（1）-APARCH（1，1） 建模，估計出各種模型的各個參數(shù)，結(jié)果如表1所示。表1中的[μ]值相差較少，表明各個模型下的收益率條件均值比較接近；GARCH（1，1）-T的t分布自由度為4.6說明收益率殘差序列的厚尾性態(tài)明顯；AR（1）-APARCH（1，1）模型中的[γ1]值為0.91，強烈說明收益率序列存在杠桿效應(yīng)；[δ]值為0.125，充分說明[δ]=2的標(biāo)準(zhǔn)GARCH模型不是實際波動率序列的一般模型。基于AIC、BIC、SIC的值以及標(biāo)準(zhǔn)化殘差的拉格朗日乘數(shù)檢驗等指標(biāo)來檢驗?zāi)Ｐ偷恼w效果，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如表2所示。上述四個模型的標(biāo)準(zhǔn)化殘差的LMarch檢驗的p值都遠遠大于0.05，表明它們都不存在ARCH效應(yīng)，說明這些模型都很好地消除了收益率序列波動率的ARCH效應(yīng)；從這四個模型的三種信息準(zhǔn)則看GARCH（1，1）-T表現(xiàn)最好，AR（1）-APARCH（1，1）模型次之；ARCH（2）與GARCH（1，1）-N基本相當(dāng)。

表1 各種模型的參數(shù)估計結(jié)果

[模型＼&[μ]＼&[α0]＼&[α1]＼&[β1]＼&T分布自由度＼&[γ1]＼&[δ]＼&ARCH（2）＼&-0.0344＼&1.27＼&0＼&[α2=]0.039＼&-＼&-＼&-＼&GARCH（1，1）-N＼&-0.041＼&0.048＼&0＼&0.69＼&-＼&-＼&-＼&GARCH（1，1）-T＼&-0.0375＼&0.445＼&0＼&0.68＼&4.61＼&-＼&-＼&AR（1）-APARCH（1，1）＼&-0.0365＼&0.068＼&0.0098＼&0.93＼&[?=-0.018]＼&0.91＼&0.125＼&]

表2 各模型方程的整體檢驗與標(biāo)準(zhǔn)化殘差檢驗

[模型＼&標(biāo)準(zhǔn)化殘差的LMarch檢驗T*R2值＼&標(biāo)準(zhǔn)化殘差的LMarch檢驗p值＼&AIC＼&BIC＼&SIC＼&ARCH（2）＼&13.57＼&0.33＼&3.128＼&3.155＼&3.127＼&GARCH（1，1）-N＼&14.15＼&0.292＼&3.129＼&3.156＼&3.130＼&GARCH（1，1）-T＼&14.18＼&0.389＼&3.078＼&3.105＼&3.072＼&AR（1）-APARCH（1，1）＼&16.88＼&0.256＼&3.119＼&3.117＼&3.115＼&]

##############################

#上證綜合指數(shù)2011年至2013年三季度市場數(shù)據(jù)建模

library（fGarch）

sz<- read.csv（"SZdaily.csv"）

head（sz）

sz<- rev（sz[1：664，4]）

sz<- log（sz）

rsz <- 100 * diff（sz）

plot（rsz，type='l'，main="SZSeries2011-2013"）

acf（rsz）

acf（rsz^2）

qqmath（～ rsz， distribution = function（p） qt（p， df = 5）， xlab="t（5）"）

qqmath（～ return500， distribution = function（p） qt（p， df = 6）， xlab="t（6）"）

fit1<- garchFit（formula = ～ garch（2， 0）， data = rsz， dist.est=T， cond.dist = "norm" ）

summary（fit1）

fit2<- garchFit（formula = ～ garch（1， 1）， data = rsz， dist.est=T， cond.dist = "norm" ）

summary（fit2）

fit3<- garchFit（formula = ～ garch（1， 1）， data = rsz， dist.est=T， cond.dist = "std" ）

summary（fit3）

fit4<- garchFit（formula = ～ arma（1，0）+aparch（1， 1）， data = rsz， dist.est=T， cond.dist = "norm" ）

summary（fit4）

##############################

4 結(jié)束語

本文主要研究基于免費、強大、主流的R軟件，實現(xiàn)金融定量分析中波動率重要指標(biāo)的各種模型建模分析，對相關(guān)模型進行編程，利用收集到的上證綜合指數(shù)2011年至2013年三季度的數(shù)據(jù)進行建模實證，運行程序，演示各個模型的每一計算步驟與結(jié)果、圖表，實現(xiàn)直觀形象的課堂可視化教學(xué)。試圖改變傳統(tǒng)的只講解波動率模型的理論教學(xué)模式，打破廣大學(xué)生只是教科書上的數(shù)字、圖表、公式的“看客”的局面，讓所有學(xué)生自己動手，參與制作、檢驗金融資產(chǎn)波動率理論與模型，從而激發(fā)廣大學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)興趣、增強學(xué)習(xí)信心；理解掌握現(xiàn)代金融理論，動手解決實際問題的能力；培養(yǎng)勤于思考、探索，肯于建模分析、實證檢驗的良好習(xí)慣。

參考文獻：

[1] Markowitz， H. Portfolio Selection， Journal of Financial[J]. 1952（7）：77-91.

[2] Black，F(xiàn). and Scholes M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities [J]. Journal of Political Economy， 1973（81）：637-654.

[3] Jorion，P. Value at Risk： The New Benchmark for Managing Financial Risk， 3rd ed [M]， McGraw-Hill， Chicago， 2006：53-65.

[4] Engle，R.F. Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of variance of U.K. inflation [J]. Econometrica， 1982（50）：987-1008.

[5] Bollerslev，T.，Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity[J]. Econometrica， 1986（31）：307-327.

[6] Tsay，R.S. Analysis of Financial Time Series，2nd ed.，Wiley，NewYork， 2005：99-121.

[7] Jacquier， E.， Polson， N. G.， and Rissi， P. Bayesian analysis of stochastic variance models [J]. Review of Economic Studies， 1994（61）：247-264.

[8] Ruppert， David. Statistics and data analysis for financial engineering[M]. Springer New York Dordrecht Heidelberg London， 2011：477-493.