高 麗，郝虹斐，2，魯偉陽

（1.延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000；

2.榆林市清澗縣店則溝鎮(zhèn)九年制學(xué)校，陜西榆林719000）

Smarandache函數(shù)在數(shù)列ap－bp上的一個(gè)下界估計(jì)

高 麗1，郝虹斐1，2，魯偉陽1

（1.延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000；

2.榆林市清澗縣店則溝鎮(zhèn)九年制學(xué)校，陜西榆林719000）

研究Smarandache函數(shù)在數(shù)列ap－bp上的下界估計(jì)問題。利用初等方法和組合方法，證明了估計(jì)式S（ap－bp）≥10 p＋1，其中p≥17為任意素?cái)?shù)，a與b為任意不同的正整數(shù)，且a＞b。結(jié)論給出了Smarandache函數(shù)在數(shù)列ap－bp上的一個(gè)較強(qiáng)的下界估計(jì)。

Smarandache函數(shù)；下界估計(jì)；初等方法；組合方法

對(duì)于任意的正整數(shù)n，F(xiàn).Smarandache給出Smarandache函數(shù)S（n）被定義為最小的正整數(shù)m，使得n｜m！，即S（n）＝min｛m：m∈N＋，n｜m！｝。其中N＋表示所有的正整數(shù)集合。假設(shè)n的標(biāo)準(zhǔn)分解式為：n，依據(jù)S（n）的定義易得：S（n）＝，由此容易通過計(jì)算可以得到：S（1）＝1，S（2）＝2，S（3）＝3，S（4）＝4，S（5）＝5，S（6）＝3，S（7）＝7，S（8）＝4，…。而關(guān)于函數(shù)S（n）的初等性質(zhì)，近幾年有許多學(xué)者進(jìn)行了研究，并獲得了不少有趣的結(jié)論［1－4］。例如陸亞明［1］研究了關(guān)于Smarandache函數(shù)S（n）的方程，并證明了

的可解性問題，并利用解析數(shù)論中的三素?cái)?shù)定理證明了對(duì)于任意正整數(shù)k≥3，該方程有無數(shù)組正整數(shù)解（m1，m2，m3，…，mk）。

此外，一些學(xué)者對(duì)Smarandache函數(shù)S（n）在某特殊數(shù)列上的下界估計(jì)做出研究。其中，蘇娟麗［2］研究了S（2p＋1）的下界估計(jì)問題，證明了：當(dāng)p≥17且為素?cái)?shù)時(shí)，有估計(jì)式

溫田丁在文獻(xiàn)［3］中更精確了文獻(xiàn)［2］的結(jié)果，證明了：當(dāng)p≥17為素?cái)?shù)時(shí)，有估計(jì)式

文獻(xiàn)［4］中石鵬等人則討論了S（n）在特殊數(shù)列ap＋bp上的下界估計(jì)問題，證明了：當(dāng)a與b為任意不同的正整數(shù)，p≥17為素?cái)?shù)時(shí)，有估計(jì)式

受到文獻(xiàn)［2－4］的啟示，本文利用初等方法及組合方法，研究Smarandache函數(shù)S（n）在特殊數(shù)列ap－bp上的下界估計(jì)問題，并獲得了一個(gè)較強(qiáng)的估計(jì)式。從而得到結(jié)果為：

定理設(shè)p≥17為素?cái)?shù)，a與b為任意不同的正整數(shù)，且a＞b，有估計(jì)式

1 相關(guān)引理

引理1 設(shè)p為奇素?cái)?shù)，對(duì)于任意互素的正整數(shù)a及b，且a＞b，有

由于（a，b）＝1，d｜a－b，所以（a，b）＝1，進(jìn)而由（1）式立刻推出d｜p，進(jìn)而推出d＝1，p。

引理2［5］對(duì)任意素?cái)?shù)p，正整數(shù)及α，t及n，有

則S（pα）≥S（pt）≥pt。

2 定理的證明

本節(jié)利用初等方法和組合方法給出定理證明。

由引理2中Smarandache函數(shù)S（n）的性質(zhì)知：對(duì)任意素?cái)?shù)p，若p｜n，有S（n）≥S（p），而且p｜S（pα）對(duì)任意滿足α≤p的正整數(shù)α成立。所以對(duì)任意素?cái)?shù)p≥17，令q為ap－bp的任意素因子，顯然q≥3，于是可得S（ap－bp）≥q，又因?yàn)閝｜ap－bp，因而ap－bp≡0（mod q），或者

因此p是（a，b）p模q的指標(biāo)，則由上式及指標(biāo)的性質(zhì)［6－7］知

由于q為奇素?cái)?shù)，那么m一定是偶數(shù)，因而可以設(shè)

于是由式（2）知ap－bp有以下5種可能：

1.ap－bp為p的方冪。假設(shè)ap－bp＝pα，當(dāng)α＝2時(shí)，有ap－bp≥2p－1≥p2，所以α≥3。由引理1不難推出a－b＝pk·μ，其中k∈N＋，（p，μ）＝1。因?yàn)閍－b｜ap－bp，從而μ＝1。當(dāng)時(shí)，有k＝0，或k＝α，即a－b＝1或a－b＝pα，此時(shí)有

2.除p以外，ap－bp至少含有4個(gè)素因子。由（3）式知，至少存在一個(gè)素因子q，使得q＝2kp＋1，k≥4，因?yàn)楫?dāng)素?cái)?shù)p≥5時(shí)，2p＋1和4p＋1不可能同時(shí)為素?cái)?shù)，此時(shí)

3.除p以外，ap－bp僅含有3個(gè)素因子q1，q2，q3。由（3）式可設(shè)q1＝2k1p＋1，q2＝2k2p＋1，及q3＝2k3p＋1，而當(dāng)p≥17時(shí)，2p＋1和4p＋1不可能同時(shí)為素?cái)?shù)，則至少存在一個(gè)素因子，不妨設(shè)為q3，此時(shí)q3＝2k3p＋1≥8p＋1，k3≥4，則一定有S（ap－bp）≥q3＝2k3p＋1≥8p＋1。

4.ap－bp除p以外，僅含有2個(gè)素因子。由（3）式知，ap－bp不可能同時(shí)包含素因子2p＋1和4p＋1，因而由（3）式及S（n）的性質(zhì)，可以分為以下形式：

若ap－bp＝pα（2p＋1）β（6p＋1）γ成立，當(dāng)β≥4或γ≥2時(shí)，由引理2知

或者

當(dāng)1≤β≤3或γ＝1，現(xiàn)在證明在這種情況下，當(dāng)p≥17時(shí)，ap－bp不可能含有p的方冪，若不然，當(dāng)α≥2時(shí)，由Euler－Fermat定理知：

令a－b＝pk·μ，（p，μ）＝1，由引理1可得k＝α或者k＝α－1，顯然ap－bp＝pα（2p＋1）β（6p＋1）且1≤β≤3，k＝α不可能。因?yàn)榇藭r(shí)

矛盾。于是可設(shè)k＝α－1，同樣的的方法可以推出矛盾。

當(dāng)α＝1時(shí)，由于a－b≡ap－bp≡0（mod p），可以得到k＝α＝1，此時(shí)有p2整除ap－bp顯然這是不成立的。因而ap－bp不含素因子p。這樣可得到

其中1≤β≤3，且p≥17為素?cái)?shù)，通過計(jì)算得出上式不成立。

同理可證當(dāng)ap－bp＝pα（2p＋1）β（6p＋1）γ與ap－bp＝pα（4p＋1）β（6p＋1）γ，素?cái)?shù)p≥17時(shí)，結(jié)論S（ap－bp）≥8p＋1成立。

5.ap－bp除p以外，僅含有1個(gè)素因子。因而由（3）式及S（n）的性質(zhì)，可以考慮以下三種形式：

若ap－bp＝pα（2p＋1）β成立，當(dāng)β≥4時(shí)，由引理2有

當(dāng)β≤3時(shí)，由情況4可知ap－bp不含素因子p的方冪，故當(dāng)α≥1時(shí)，ap－bp＝pα（2p＋1）β且1≤β≤3不成立，故ap－bp＝（2p＋1）β。當(dāng)β＝3，ap－bp＝（2p＋1）3時(shí)，有

而a－b｜ap－bp，所以可設(shè)a－b＝（2p＋1）n，由引理1可知

所以 n＝0，3。

即a－b＝1或a－b＝（2p＋1）3＝ap－bp，這與（a，b）＝1且a≥b＋1，p≥17以及a－b＜ap－bp矛盾。顯然2p－1≤ap－bp＝（2p＋1）β，由1≤β≤2與p≥17。通過計(jì)算可得上述不等式不成立。

同理可證：ap－bp＝pα（4p＋1）β或ap－bp＝pα（6p＋1）β時(shí)定理成立，于是定理得證。

［1］Lu Yaming.On the soulution of an equation involving the Smarandache function［J］.Scientia Magna，2006，2（1）：76－79.

［2］蘇娟麗.關(guān)于Smarandache函數(shù)的一個(gè)下界估計(jì)［J］.紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào)，2009，22（1）：133－134.

［3］溫田丁.Smarandache函數(shù)的一個(gè)下界估計(jì)［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)2010，26（3）：413－416.

［4］石鵬，劉卓.Smarandache函數(shù)在數(shù)列上的一個(gè)下界估計(jì)［J］.西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，38（8）：10－14.

［5］Mark F，Patrick M.Bounding the Smarandache Function［J］.Smarandache Notion Journal，2002，13（1）：2－3.

［6］張文鵬.初等數(shù)論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2007.

［7］Apostol TM.Introduction to Analytic Number Theory［M］.New York：Spring－VErlag，1976.

［責(zé)任編輯 畢 偉］

A Lower Bound Estimate for Smarandache Function on Sequence ap－bp

GAO LI1，HAO Hong-fei1，2，LUWei-yang1
（1.College of Mathematics and Computer Science，Yanan University，Yanan 716000，China；
2.Dianzegou Nine－year School，Yulin 719000，China）

To study a lower bound estimate problem of Smarandache Function on Sequence ap－bp.Using the elementary and combinationalmethods.It is proved the Estimate S（ap－bp）≥8p＋1，where p≥17 be any prime，a and b are two positive integers with a＞b.A lower bound estimate of Smarandache Function on Sequence ap－bpis given.

Smarandache function；lower bound estimate；elementarymethod；combinationalmethod

O156.4

A

1004－602X（2014）03－0001－03

10.13876/J.cnki.ydnse.2014.03.001

2014 05 06

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10271093）；延安大學(xué)自然科學(xué)專項(xiàng)科研基金項(xiàng)目（YDZ2013－04）；延安大學(xué)碩士研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目

高 麗（1966—），女，陜西綏德人，延安大學(xué)教授。