楊宏印，張海龍，陳志軍，黃 雯

(1.華中科技大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430074；2.中鐵大橋局集團(tuán) 武漢橋梁科學(xué)研究院有限公司，湖北 武漢 430034)

0 引 言

車輛的振動(dòng)會(huì)引起橋梁的振動(dòng)，而橋梁的振動(dòng)亦會(huì)引起車輛的振動(dòng)，近年來，隨著鐵路和公路交通中行車速度的不斷提高及車輛荷載的不斷增大，車-橋耦合相互作用一直是人們普遍關(guān)注的問題。車-橋耦合分析要建立兩組動(dòng)力方程，即車和橋的動(dòng)力方程，通過車輪與橋的相互關(guān)系耦合起來。而車輪和橋的相互作用是一個(gè)高速移動(dòng)接觸-碰撞-滑移非線性過程，通常都被簡化為力和位移的協(xié)調(diào)[1-2]，即基于車輪密貼假設(shè)。分析車-橋耦合動(dòng)力響應(yīng)主要分為兩種方法：解析法和數(shù)值法。前者僅能計(jì)算移動(dòng)力(集中力、連續(xù)力)作用下簡單結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)[3-4]。而對(duì)于后者，有限元是被廣泛采用的方法之一[5-6]。各國學(xué)者提出了各種不同車-橋相互作用單元，但都基于車輪密貼假設(shè)。然而在脈沖型不平順或車輛速度非常高等情況下，存在車輪瞬時(shí)脫離[1]，故車輪密貼假設(shè)存在以下不足[7]：忽略了車輪脫離現(xiàn)象；車輪沒有獨(dú)立豎向自由度；時(shí)變的動(dòng)力方程矩陣使求解計(jì)算量增大；發(fā)生脫離時(shí)很難得到正確的結(jié)果。

筆者先視車輛和橋梁為兩個(gè)獨(dú)立的動(dòng)力系統(tǒng)，研究了移動(dòng)車輛作用下車輪與橋梁的接觸關(guān)系，采用非線性Hertz彈性接觸理論[8]，并從各子系統(tǒng)動(dòng)力方程出發(fā)，推導(dǎo)了考慮車輪瞬時(shí)脫離和不平順的車-橋相互作用單元?jiǎng)恿Ψ匠?。然后視車輛-橋梁為整體系統(tǒng)，將列車編組，應(yīng)用形成矩陣的“對(duì)號(hào)入座”法則建立了系統(tǒng)動(dòng)力微分方程。采用Newmark-β方法逐步積分求解，不需迭代，能同時(shí)準(zhǔn)確獲得車輛和橋梁的動(dòng)力響應(yīng)。最后應(yīng)用所提出的方法對(duì)現(xiàn)有鐵路橋梁進(jìn)行了分析，討論了車-橋共振現(xiàn)象，并研究了脈沖型不平順對(duì)動(dòng)力響應(yīng)的影響，得到了一些有益的結(jié)論。

1 車-橋耦合系統(tǒng)方程的建立及求解

圖1描繪了列車過橋時(shí)耦合系統(tǒng)模型，將列車模擬為一系列作用在車軸處的移動(dòng)質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)以簡化計(jì)算，Mv，Mw分別為車身和車輪質(zhì)量，kv，cv分別為車身和車輪間懸架的剛度和阻尼；橋梁簡化為長度為Lb，單位長度質(zhì)量為mb，抗彎剛度為EbIb的Euler-Bernoulli簡支梁，采用Rayleigh阻尼。

圖1 列車過橋時(shí)耦合系統(tǒng)模型Fig.1 Vehicle-bridge coupling system model

1.1 車輛-橋梁耦合單元?jiǎng)恿Ψ匠掏茖?dǎo)

將車輛和橋梁視為兩個(gè)獨(dú)立的子系統(tǒng)，通過其間接觸力耦合。由于車輪與梁間只能承受壓應(yīng)力，而不能承受拉應(yīng)力，是一個(gè)典型的單面約束接觸問題[9]。采用非線性Hertz彈簧來模擬這種接觸關(guān)系，設(shè)其切線壓縮剛度為kH，拉伸剛度為0，車輪與橋梁間距離為yin，且為方便計(jì)算和推導(dǎo)，引入?yún)?shù)a，使接觸剛度可統(tǒng)一表示為akH，則接觸力fin為：

fin=-akHyin

(1)

式中：yin≥0時(shí)，a=0，表示車輪發(fā)生脫離；yin<0時(shí)，a=1，表示車輪未脫離。

而由非線性Hertz彈性理論可知接觸力為：

(2)

式中：CH為Hertz接觸彈簧常數(shù)，與材料及車輪半徑有關(guān)。

將式(2)求導(dǎo)得Hertz接觸彈簧切線剛度：

將車輛作用看為一系列的外部激勵(lì)荷載，則橋梁振動(dòng)的偏微分方程可表示為：

(3)

采用有限元方法將整個(gè)橋梁離散，考慮不平順r(x)的影響，并沿梁長每個(gè)單元對(duì)式(3)進(jìn)行加權(quán)積分，則共有兩種橋梁單元：無車輛作用的普通梁單元，其振動(dòng)方程可由結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)直接寫得[10]；有車輛作用的耦合單元，如圖2，其動(dòng)力方程為：

(4)

Hermite3次插值形函數(shù)為：

圖2 車-橋耦合單元模型Fig.2 Vehicle-bridge coupling element model

車輪和橋梁間距離為：

yin=[y1-yb-r(x)]x=xi

(5)

而梁單元位移可表示為：

(6)

車輛動(dòng)力方程為：

(7)

聯(lián)立式(1)和式(4)～式(7)可得圖2所示的考慮車輪瞬時(shí)脫離和不平順的耦合單元?jiǎng)恿Ψ匠蹋?/p>

(8)

1.2 車-橋耦合系統(tǒng)方程組裝及求解

將所要計(jì)算車輛編組，運(yùn)用形成矩陣的“對(duì)號(hào)入座”法則[11]組裝所有普通梁單元和耦合梁單元方程，得到整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)力方程，其分塊表達(dá)式為：

(9)

式中：下標(biāo)b和v分別代表與橋梁和列車相關(guān)的項(xiàng)；下標(biāo)c表示由接觸而產(chǎn)生的項(xiàng)。

式(9)為2階時(shí)變微分方程，而由前面推導(dǎo)可知，只有矩陣[Kbv]，[Kcb]和[Kcv]及向量[Fcb]和[Fcv]是時(shí)變的，而其他項(xiàng)均是時(shí)不變的。故在求解時(shí)可先由式(8)組裝時(shí)不變部分，作為初始方程，然后在每個(gè)積分步根據(jù)時(shí)間疊加時(shí)變部分便可得到系統(tǒng)動(dòng)力方程，采用Newmark-β方法直接積分求解，不需迭代。而非線性Hertz彈簧剛度可根據(jù)前一積分步的相對(duì)壓縮距離求得其切線剛度而作為下一積分步的線性剛度。由于文中考慮了車輪瞬時(shí)脫離，即a=0，脫離后，整個(gè)系統(tǒng)解耦為兩個(gè)獨(dú)立的動(dòng)力系統(tǒng)，使得整個(gè)系統(tǒng)呈現(xiàn)很強(qiáng)的非線性，脫離發(fā)生臨界時(shí)刻的準(zhǔn)確性對(duì)整個(gè)系統(tǒng)求解的精度有很大的影響，筆者采用自動(dòng)半步長方法來準(zhǔn)確尋找脫離發(fā)生臨界時(shí)刻，設(shè)精度為ε，具體求解步驟如下：

1)按a=1逐步算得下一時(shí)刻系統(tǒng)的反應(yīng)及yin，直至ti時(shí)刻yin>ε；

2)回到ti-1時(shí)刻，且取上一時(shí)間步長的一半重新計(jì)算ti時(shí)刻系統(tǒng)的反應(yīng)及yin，直至yin≤ε；

3)按a=0逐步算得下一時(shí)刻系統(tǒng)的反應(yīng)及yin，直至ti+k時(shí)刻-yin>ε；

4)回到ti+k-1時(shí)刻，且取上一時(shí)間步長的一半重新計(jì)算ti+k時(shí)刻系統(tǒng)的反應(yīng)及yin，直至yin≤ε，回到步驟1)，再向后進(jìn)行。

2 列車作用下橋梁動(dòng)力響應(yīng)分析

以現(xiàn)有鐵路線上大量使用的32 m標(biāo)準(zhǔn)跨簡支箱梁橋?yàn)榉治鰧?duì)象，考慮車輪瞬時(shí)脫離和不平順，編制了相應(yīng)MATLAB計(jì)算程序，研究圖1所示列車過橋時(shí)耦合系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)。橋梁參數(shù)如下：Eb= 34.5×109Pa，Ib=11.1 m4，mb=43 628 kg/m，Lb=32 m，阻尼比ξ=0.025。車輛模型參數(shù)如下[12]：Mw=5 000 kg，Mv=24 000 kg，軸距Lc=18 m，kv=1.5×106N/m，cv=8 500 Ns/m，車輛間距Lv=24 m。

2.1 不同車輛模型對(duì)橋梁動(dòng)力響應(yīng)的影響

忽略不平順的影響，分別用圖1所示列車模型和將列車重量轉(zhuǎn)化為軸重的移動(dòng)力模型對(duì)列車過橋進(jìn)行對(duì)比分析，以研究兩種模型所產(chǎn)生的影響。

橋梁跨中最大位移響應(yīng)對(duì)比見圖3(a)，由圖可見所得結(jié)果和速度并沒有很好的相關(guān)性；兩種模型所得結(jié)果基本一致，但400 km/h時(shí)(接近共振速度)，移動(dòng)力模型響應(yīng)大于列車模型，與文獻(xiàn)[13]結(jié)果一致，即共振速度下移動(dòng)力模型所得結(jié)果偏于安全。橋梁跨中最大加速度響應(yīng)對(duì)比見圖3(b)，同位移響應(yīng)類似，在200～400 km/h間，響應(yīng)隨速度增加而增大；兩種模型所得結(jié)果基本一致，說明由于橋梁的剛度很大，列車振動(dòng)產(chǎn)生的影響很小，同時(shí)也反映了前面推導(dǎo)的耦合單元的準(zhǔn)確性。

圖3 橋梁跨中最大位移和最大加速度對(duì)比Fig.3 Comparison of maximum deflection and acceleration at the mid-span of bridge

橋梁的1階頻率為4.54 Hz，理論共振車速為392 km/h，圖4分別為跨中位移和加速度響應(yīng)時(shí)程對(duì)比?？梢姽舱褴囁傧?，兩種模型所得結(jié)果基本一致，且隨著通過車輛數(shù)目的增加而急劇增大，形成了明顯的“拍”，出現(xiàn)了共振現(xiàn)象；而列車下橋后在結(jié)構(gòu)阻尼影響下，響應(yīng)逐漸衰減。共振車速下響應(yīng)峰值滯后于350 km/h情況，且前者最大位移響應(yīng)為后者的1.4倍，最大加速度響應(yīng)為后者的2.5倍，在設(shè)計(jì)中應(yīng)盡量避免出現(xiàn)共振。

圖4 橋梁跨中位移和加速度時(shí)程對(duì)比Fig.4 Comparison of the time history of bridge mid-span deflection and acceleration

2.2 脈沖型不平順對(duì)耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的影響

鐵路有縫線路的軌道接頭，及由溫度力或制動(dòng)力等作用造成的斷軌，均會(huì)形成脈沖型不平順，同時(shí)橋梁結(jié)構(gòu)變形也會(huì)引起不平順。根據(jù)文獻(xiàn)[14]，考慮如下脈沖型不平順：

r(x)=Ae-k|x|

(10)

式中：A和k分別取3.6 mm和0.66，考慮5級(jí)線路。

將式(10)不平順置于橋梁跨中，分別采用考慮和不考慮車輪瞬時(shí)脫離的模型分析其不利影響。同時(shí)對(duì)橋面光滑的情況也進(jìn)行了分析。分析發(fā)現(xiàn)175 km/h時(shí)車輪開始出現(xiàn)瞬時(shí)脫離，且速度越大，脫離越顯著。橋梁跨中最大位移響應(yīng)見圖5(a)，可見共振車速附近響應(yīng)最大，在200～300 km/h間，不平順使響應(yīng)增大；但在350 km/h時(shí)結(jié)果卻減小，說明此時(shí)不平順激起了強(qiáng)烈的高頻振動(dòng)?？缰屑铀俣软憫?yīng)見圖5(b)，可見同光滑情況相比，不平順使響應(yīng)顯著增大，說明激起了很強(qiáng)的沖擊作用，未發(fā)生脫離時(shí),考慮和不考慮脫離所得結(jié)果一樣；發(fā)生脫離時(shí)，后者響應(yīng)偏大，且高速下相差很顯著，說明后者結(jié)果不準(zhǔn)確。

圖5 橋梁跨中最大位移和最大加速度Fig.5 Maximum mid-span deflection and acceleration of the bridge

速度為350 km/h時(shí)橋梁跨中加速度響應(yīng)時(shí)程見圖6，可見不考慮脫離時(shí)，振動(dòng)更劇烈，幅值明顯大于考慮的情況。

圖6 橋梁跨中加速度時(shí)程Fig.6 Time history of mid-span acceleration of the bridge

圖7為300 km/h時(shí)中間車輛前輪接觸力時(shí)程對(duì)比，可見跨中不平順尖點(diǎn)處激起了強(qiáng)烈的振動(dòng)，考慮車輪脫離情況最小接觸力為0，準(zhǔn)確模擬出瞬時(shí)脫離現(xiàn)象；而未考慮情況出現(xiàn)了負(fù)的接觸力，與實(shí)際情況不符。同時(shí)可見出現(xiàn)車輪脫離前，兩者的振動(dòng)幾乎一致；而出現(xiàn)脫離后，振動(dòng)的幅值和頻率特性均出現(xiàn)了差別。

圖7 車輪接觸力時(shí)程對(duì)比Fig.7 Time history of contact force of the wheel

綜上，即使幅值較小的脈沖不平順也能激起強(qiáng)烈的橋梁振動(dòng)，甚至出現(xiàn)了危及安全的車輪脫離現(xiàn)象，說明了線路養(yǎng)護(hù)維修和橋梁變形控制的重要性。而分析中應(yīng)采用考慮車輪瞬時(shí)脫離的模型，以準(zhǔn)確高效計(jì)算耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)。

3 結(jié) 論

基于車-橋耦合分析中“車輪密貼”假設(shè)的不足，采用非線性Hertz接觸理論，并將其線性化，推導(dǎo)了考慮不平順和車輪瞬時(shí)脫離的車-橋耦合單元方程，并建立了系統(tǒng)分析動(dòng)力方程。結(jié)合現(xiàn)有鐵路橋梁進(jìn)行了分析，討論了車-橋共振現(xiàn)象，并研究了脈沖型不平順對(duì)動(dòng)力響應(yīng)的影響，得到了如下結(jié)論：

1)光滑時(shí)，移動(dòng)力模型結(jié)果和列車模型基本一致；共振速度時(shí)，前者結(jié)果更偏于安全。共振時(shí)，橋梁動(dòng)力響應(yīng)會(huì)顯著增大，在設(shè)計(jì)中應(yīng)盡量避免。

2)不平順會(huì)使橋梁加速度響應(yīng)顯著增加，卻使特定速度下位移響應(yīng)減小，說明其激起了強(qiáng)烈的高頻振動(dòng)。車輪未發(fā)生脫離時(shí)，考慮和不考慮脫離模型所得結(jié)果一樣；而發(fā)生脫離時(shí)，后者加速度響應(yīng)偏大，且高速下相差很顯著。

3)發(fā)生脫離時(shí)，不考慮脫離模型出現(xiàn)了負(fù)的接觸力，說明其結(jié)果是不準(zhǔn)確的；而考慮脫離模型準(zhǔn)確模擬出了脫離現(xiàn)象。同時(shí)兩種模型振動(dòng)的幅值和頻率特性均會(huì)出現(xiàn)差別。

4)應(yīng)重視線路養(yǎng)護(hù)維修和橋梁變形控制以避免出現(xiàn)脈沖型不平順，同時(shí)應(yīng)采用考慮車輪脫離的模型進(jìn)行車-橋耦合振動(dòng)分析。

[1] 夏禾.車輛與結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用[M].北京:科學(xué)出版社,2002:1-11.

Xia He.Dynamic Interaction of vehicles and structures [M].Beijing:Science Press,2002:1-11.

[2] Yang Y B,Wu Y S.A versatile element for analyzing vehicle-bridge interaction response [J].Engineering Structures,2001,23(5):452-469.

[3] Biggs J M.Introduction to Structural Dynamics [M].New York:McGraw-Hill Companies,1964.

[4] Timoshenko S,Young D H,Weaver W J.Vibration Problems in Engineering [M].2nded.New York:Wolfenden Press,2007.

[5] Au F T K,Wang J J,Cheung Y K.Impact study of cable-stayed bridge under railway traffic using various models [J].Journal of Sound and Vibration,2001,240(3): 447-465.

[6] Lei X,Noda N A.Analyses of dynamic response of vehicle and track coupling system with random irregularity of track vertical profile [J].Journal of Sound and Vibration,2002,258(1):147-165.

[7] Liu X W.Semi-analytical solution of vehicle-bridge interaction on transient jump of wheel [J].Engineering Structures,2008,30(9):2401-2412.

[8] 翟婉明,夏禾.列車-軌道-橋梁動(dòng)力相互作用理論與工程應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2011:89-97.

Zhai Wanming,Xia He.Train-Track-Bridge Dynamic Interaction:Theory and Engineering Application [M].Beijing:Science Press,2011:89-97.

[9] 彼得.艾伯哈特,胡斌.現(xiàn)代接觸動(dòng)力學(xué)[M].南京:東南大學(xué)出版社,2003.

Peter Eberhard,Hu Bin.Advanced Contact Dynamics [M].Nanjing:Southeast University Press,2003.

[10] Clough R W,Penzien J.Dynamics of Structures [M].2nded.New York:MC Graw-Hill Companies,1993.

[11] 婁平,曾慶元.車輛-軌道-橋梁系統(tǒng)豎向運(yùn)動(dòng)方程的建立[J].鐵道學(xué)報(bào),2004,26(5):71-80.

Lou Ping,Zeng Qingyuan.Formulation of equations of vertical motion for vehicle-track-bridge system [J].Journal of the China Railway Society,2004,26(5):71-80.

[12] Lou P.A vehicle-track-bridge interaction element considering vehicle’s pitching effect [J].Finite Element in Analysis and Design,2005,41(4):397-427.

[13] Lou P,Yu Z W,Au F T K.Rail-bridge coupling element of unequal lengths for analyzing train-track-bridge interaction systems [J].Applied Mathematical Modelling,2012,36(4):1395-1414.

[14] Fryba L.Dynamics of Railway Bridges [M].London:Thomas Telford House,1996.