郭大立，郭玉龍 （西南石油大學(xué)理學(xué)院，四川 成都 610500）

陳祥 （中石油新疆油田分公司采油二廠，新疆 克拉瑪依 834008）

柯西軍，陶礡 （西南石油大學(xué)理學(xué)院，四川 成都 610500）

水平井具有泄油面積大、單井產(chǎn)量高、穿透度大、儲(chǔ)量動(dòng)用程度高等優(yōu)點(diǎn)，因此，水平井開(kāi)發(fā)方式在國(guó)內(nèi)眾多油田推廣使用。水平井技術(shù)和水力壓裂技術(shù)均是開(kāi)發(fā)低滲透油氣田的有效手段，它們結(jié)合的壓裂水平井技術(shù)能更有效地開(kāi)發(fā)低滲透油藏。水平井壓裂后形成多條在長(zhǎng)度、寬度、導(dǎo)流能力等方面各不相同的裂縫，而在生產(chǎn)過(guò)程中，裂縫彼此之間的互相干擾，又進(jìn)一步增加了壓裂后水平井產(chǎn)量計(jì)算的復(fù)雜性。而水平井壓后產(chǎn)量計(jì)算的精確程度不僅影響水平井水力壓裂優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果，而且影響壓裂經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)結(jié)果。因此，對(duì)水平井壓后產(chǎn)量進(jìn)行預(yù)測(cè)具有重要意義。國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了不同方面的研究［1～10］。筆者在過(guò)去研究認(rèn)識(shí)成果的基礎(chǔ)上，考慮全封閉有界地層的實(shí)際情況，并鑒于地應(yīng)力在水平井井筒方向上的差異以及壓裂工藝的限制，考慮裂縫長(zhǎng)度不同，與井筒夾角不同等，建立了多條裂縫相互干擾的水平井產(chǎn)量預(yù)測(cè)模型。

1 水平井壓后產(chǎn)量預(yù)測(cè)模型

1.1 基本假設(shè)

1）儲(chǔ)層封閉且均質(zhì)，矩形邊界，等溫不穩(wěn)定滲流，無(wú)能量補(bǔ)充且不考慮重力影響。

2）油藏和裂縫內(nèi)流體為單相流，多孔介質(zhì)和液體均可壓縮。

3）裂縫完全穿透儲(chǔ)層，彼此間距離不等，尖端不重合，并且與井筒可成任意角度。

4）流體先沿裂縫壁面均勻流入，再由裂縫流入井筒，不考慮基質(zhì)直接流入井筒的滲流過(guò)程［11］。

1.2 數(shù)學(xué)模型

根據(jù)以上假設(shè)，建立如下滲流數(shù)學(xué)模型：

對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行無(wú)量綱化處理，具體形式如下：

式中：φ0為某一壓力下的孔隙度，%；ct為綜合壓縮系數(shù)，Pa－1；p為壓力，MPa；t為滲流時(shí)間，s；K為地層的滲透率，m2；μ為地下原油黏度，mPa·s；Q（t，x0，y0）為在直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)匯 （x0，y0）處的流量，m3/s；δ（x－x0，y－y0）為δ函數(shù)，（x，y） 是直角坐標(biāo)系平面上的任意一點(diǎn)；pi為原始地層壓力，MPa；h為儲(chǔ)層厚度，m；（xD，yD）為無(wú)量綱坐標(biāo)，（1，1）；tD為無(wú)量綱時(shí)間，1；pD為無(wú)量綱壓力，1；Q0為參考流量，m3/s；ND（tD）為無(wú)量綱時(shí)間tD時(shí)的無(wú)量綱產(chǎn)量，1。

無(wú)量綱化后數(shù)學(xué)模型實(shí)際上是一個(gè)區(qū)域內(nèi)的格林函數(shù)，因此求解化簡(jiǎn)為二維特征值問(wèn)題，分離變量后得到2個(gè)一維特征值問(wèn)題，再利用特征函數(shù)性質(zhì)，最后求解得：

1.3 模型分析

水平井井筒方向不一定平行于邊界的某一面，而且與最小主應(yīng)力的方向也不一定相同。因此，井筒和X軸成一定角度ω，裂縫與井筒也存在角度α，如圖1。將裂縫左右兩翼 （井筒以下裂縫為左翼，以上為右翼，可以不對(duì)稱）分別分成M等份，每一份都作為一個(gè)點(diǎn)匯來(lái)研究。設(shè)第i條裂縫的起裂點(diǎn)坐標(biāo)為（xfi，yfi），裂縫的左翼長(zhǎng)度為L(zhǎng)fli，右翼長(zhǎng)度為L(zhǎng)fri，該裂縫左翼和右翼上第j個(gè)點(diǎn)匯的坐標(biāo) （等份中點(diǎn)的坐標(biāo)）分別為 （xlij，ylij）和 （xrij，yrij）。第i條裂縫產(chǎn)量為qfi，左翼和右翼上第j個(gè)點(diǎn)匯的產(chǎn)量分別為qflij和qfrij。其中：

圖1 井筒－裂縫模型示意圖

圖2 微型油藏模型示意圖

1.4 微型油藏

人工裂縫可能關(guān)于井筒不對(duì)稱，若第i條人工裂縫左翼尖端處的壓力為pfli，右翼尖端處的壓力為pfri，所以取兩翼裂縫尖端處壓力的平均值作為裂縫尖端壓力。雖然裂縫與井筒成一定角度，但根據(jù)面積相等原則，第i條裂縫可看作是一個(gè)微型油藏，如圖2。其具體參數(shù)為：流動(dòng)半徑Ri為［（Lfli＋Lfri）h/π］1/2，裂縫寬度為wi，邊界壓力為裂縫尖端壓力pi（）t，井底流壓為井筒內(nèi)壓力pwfi。微型油藏內(nèi)部流動(dòng)方式可處理為平面徑向流。則裂縫向井筒的滲流過(guò)程可寫(xiě)為：

式中：μ為地下原油黏度，Pa·s；B為地下原油體積因數(shù)，1；Kfi為第i條人工裂縫的滲透率，m2；rw為井筒半徑，m；S為表皮因數(shù)，1。

流體在水平井段中流動(dòng)所產(chǎn)生的流動(dòng)阻力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于流體在儲(chǔ)層中流動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的阻力，可忽略水平井段流體流動(dòng)的壓力降落損失，則裂縫底部的壓力可近似為井底流壓。將模型分析所得各參數(shù)無(wú)量綱化后代入式 （1），并應(yīng)用復(fù)位勢(shì)理論和勢(shì)能疊加原理，同時(shí)考慮裂縫流動(dòng)，最終求得無(wú)量綱化井底流壓計(jì)算公式：

式中：下標(biāo)f為裂縫；i，k為裂縫編號(hào)；j為點(diǎn)匯編號(hào)；l為裂縫左翼；r為裂縫右翼；D為無(wú)量綱化后；（xfilD，yfilD）為第i條裂縫左翼尖端無(wú)量綱坐標(biāo)；（xfirD，yfirD）為第i條裂縫右翼尖端無(wú)量綱坐標(biāo)。

1.5 產(chǎn)量預(yù)測(cè)

假設(shè)井筒可近似封閉，則水平井總產(chǎn)量：

儲(chǔ)層的累計(jì)產(chǎn)量Qc為：

式中：F為水平井裂縫條數(shù)；ti＋1－ti為時(shí)間間隔，即后一時(shí)間減前一時(shí)間之差。

2 模型求解

上述水平井壓后產(chǎn)量預(yù)測(cè)模型主要包含流體在油藏中的流動(dòng)和在人工裂縫中的流動(dòng)兩方面內(nèi)容，因此求解時(shí)需要運(yùn)用解析法和網(wǎng)格劃分法。根據(jù)式（3），可得系數(shù)矩陣，再利用高斯全選主消去法求解方程組，得到每條裂縫產(chǎn)量，加和即可得到總產(chǎn)量。計(jì)算卷積時(shí)化為積分形式，應(yīng)用復(fù)化辛普森公式求取。運(yùn)用編程工具，通過(guò)控制步長(zhǎng)還可得到任一時(shí)間內(nèi)每條裂縫和水平井的平均產(chǎn)量以及累計(jì)產(chǎn)量。

3 實(shí)例運(yùn)用

基于上述模型和方法，研制了相應(yīng)軟件，并應(yīng)用于多口壓裂水平井。經(jīng)多次實(shí)例預(yù)測(cè)分析，預(yù)測(cè)產(chǎn)量與實(shí)際產(chǎn)量誤差均在20%以下。以某一口壓裂水平井為例，具體分析如下。該井主要地層參數(shù)：儲(chǔ)層厚度15m，儲(chǔ)層滲透率0.13mD，儲(chǔ)層孔隙度9.03%，表皮因數(shù)4，水平井井筒半徑0.12m，原始地層壓力27MPa，井底流壓22MPa。8條垂直裂縫參數(shù)見(jiàn)表1。8條裂縫之間的間距：第1條和第2條為91m，第2條和第3條為98m，第3條和第4條為97m，第4條和第5條為94m，第5條和第6條為60m，第6條和第7條為89m，第7條和第8條為90m。

生產(chǎn)時(shí)間為720d，該水平井壓后日產(chǎn)量如圖3所示。根據(jù)所給出的該井的基本參數(shù)，運(yùn)用水平井壓后產(chǎn)量預(yù)測(cè)軟件進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)平均 產(chǎn) 量 結(jié) 果 為 18.07m3/d，實(shí) 際 結(jié) 果 為16.87m3/d。計(jì)算所得產(chǎn)量比實(shí)際產(chǎn)量只高了7.11%?？梢?jiàn)，模擬計(jì)算的產(chǎn)量與實(shí)際產(chǎn)量較為接近，該水平井壓后產(chǎn)量預(yù)測(cè)模型所求結(jié)果準(zhǔn)確性高且比較穩(wěn)定。

表1 裂縫參數(shù)統(tǒng)計(jì)表

圖3 水平井壓后產(chǎn)量曲線圖

4 結(jié)論

1）封閉邊界水平井壓后產(chǎn)量預(yù)測(cè)模型考慮了各條裂縫導(dǎo)流能力、幾何尺寸及其與水平井筒夾角等，能夠較真實(shí)地模擬封閉邊界多條裂縫相互干擾的復(fù)雜地下儲(chǔ)層情況。

2）實(shí)例運(yùn)用表明，該模型能夠快速、準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)水平井壓裂后的產(chǎn)量。

3）模型預(yù)測(cè)精度較高，穩(wěn)定可靠，能夠滿足現(xiàn)場(chǎng)需要，具有很好的推廣應(yīng)用價(jià)值。

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［編輯］ 黃鸝