王衛(wèi)剛 （陜西延長石油 （集團(tuán)）有限責(zé)任公司研究院，陜西 西安 710075）

潘祥 （延長油田股份有限公司西區(qū)采油廠，陜西 延安 717500）

趙亞杰，姚軍，劉通，高慶華 （陜西延長石油 （集團(tuán)）有限責(zé)任公司研究院，陜西 西安 710075）

延長油田區(qū)域構(gòu)造位置屬鄂爾多斯盆地陜北斜坡中部，屬陜北黃土塬區(qū)，地面海拔900～1660m，由西向東地面高程逐漸降低。其主力油層為延長組長2、長4＋5、長6油層組。長2油層組的特點(diǎn)是油層物性相對較好，油層含水分帶性和規(guī)律性較強(qiáng)。構(gòu)造低部位底水活躍，油層壓裂改造時容易造成水竄。水平井在底水油藏的開發(fā)過程中具有生產(chǎn)壓差小、泄油面積大的特點(diǎn)，能夠減緩底水脊進(jìn)，控制含水上升速度，增加產(chǎn)液量，改善開發(fā)效果［1］。預(yù)測水平井產(chǎn)能及變化規(guī)律的方法較多，其中比較典型的有：Joshi［2］、Giger［3］等提出的產(chǎn)能公式；國內(nèi)李璗［4］、竇宏恩［5］、劉想平［6］等也提出了各自的穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能公式。這些公式在推導(dǎo)過程中都有一個共同的假設(shè)，即都是將水平井的三維流動簡化為2個二維流動，所以得出的產(chǎn)能公式都是擬三維的。筆者在研究前人文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，綜合采用滲流力學(xué)、油藏工程、現(xiàn)代數(shù)學(xué)等多學(xué)科交叉的方法進(jìn)行研究，推導(dǎo)了底水油藏水平井的三維產(chǎn)能公式。在此基礎(chǔ)上以已投產(chǎn)底水油藏水平井的數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，驗(yàn)證了所推導(dǎo)的產(chǎn)能公式；并且與不完善直井對比進(jìn)行了對比分析，結(jié)果表明水平井開采底水油藏是是可行的。

1 底水油藏水平井三維產(chǎn)能研究

水平井周圍流體的流動是呈三維流動的，二維產(chǎn)能公式主要是將三維流動簡化為2個二維流動的形式來推導(dǎo)的［4～6］，不能真實(shí)反映地下流體的流動規(guī)律，所以有必要進(jìn)行流體三維流動規(guī)律的研究［7，8］。利用傅里葉變換及拉普拉斯變換求解水平井三維滲流控制方程組，再根據(jù)貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)對壓力分布公式進(jìn)行漸進(jìn)分析，得到水平井的三維產(chǎn)能公式。

物理模型為圓柱形油藏 （如圖1），徑向邊界圓形定壓，垂向上邊界封閉，下邊界定壓 （底水油藏），水平井位于油藏的中心，水平井距底水界面的距離為zw，水平井的長度為2L，油層厚度為h［9］。

下面求解上邊界為定壓邊界、下邊界為封閉邊界油藏 （氣頂油藏）的產(chǎn)能公式，底水油藏情形可以通過坐標(biāo)變換得到。

圖1 圓柱型油藏中一口水平井

1.1 假設(shè)條件

1）水平方向圓形封閉，上下界面為2個封閉的界面。

2）油藏為非均質(zhì)油藏，流體單向流動，設(shè)X、Y方向的滲透率等于水平方向滲透率，Z方向滲透率等于垂直方向滲透率，即Kx＝Ky＝Kh，Kz＝Kv，…

3）水平井為均勻流線匯。4）流體微可壓縮。

5）忽略重力的影響。

6）水平井產(chǎn)量恒定為Qh。

1.2 數(shù)學(xué)模型

根據(jù)該問題的特點(diǎn)，利用柱坐標(biāo)系描述該類滲流問題求解比較方便。因此，給出如下不穩(wěn)定滲流偏微分控制方程：

式中：Kv、Kh分別為垂直方向和水平方向的滲透率，D；p為壓力，MPa；t為時間，h；φ為地層孔隙度，%；μ為黏度，mPa·s；ct為系統(tǒng)壓縮系數(shù)，MPa－1。

將滲流方程用柱坐標(biāo)形式表示［10］，式（1）變?yōu)椋?/p>

將式（2）無量綱化，則變?yōu)椋?/p>

式中：D為下標(biāo)，無量綱。

內(nèi)邊界條件［10］：

式中：εD為無量綱垂向高度；zwD為水平井無量綱垂向高度。

垂向邊界條件：

徑向外邊界條件（定壓）：

采用SI單位制，定義如下無量綱量群：

無量綱壓力：

無量綱坐標(biāo)：

無量綱井筒半長：

式（1）～（6）構(gòu)成了水平井在上邊界為定壓、下邊界為封閉邊界的圓柱體地層中的不穩(wěn)定滲流控制方程組。采用積分變換進(jìn)行求解，并將水平井抽象為線匯，根據(jù)疊加原理點(diǎn)匯積分將能夠得到線匯的結(jié)果。

1.3 模型求解

采用傅里葉有限余弦變換［11］解得方程（3）的解為：

式中：I0（x）為0階第一類修正Bessel函數(shù)；K0（x）為0階第二類修正Bessel函數(shù)。βm為特征值，它所滿足的方程為sinβm＝0，解得βm＝mπ，m＝0，1，2，…。

對式（7）進(jìn)行傅里葉逆變換可得點(diǎn)匯解：

根據(jù)疊加原理［11］可得到無量綱線匯井壁壓力分布公式：

若在［－1，1］上對式（10）進(jìn)行算術(shù)平均，可得到均勻流量線匯井壁壓力分布公式如下：

式中：pwD為無量綱井壁壓力。

計(jì)算式（11）中的二重積分可得：

式中：Ii1（x）為關(guān)于Bessel函數(shù)I0（x）的一次重復(fù)積分；Ki2（x）為關(guān)于Bessel函數(shù)K2（x）的一次重復(fù)積分。

當(dāng)水平井的長度大于一定值時（一般的水平井長度都滿足），為了得到更加實(shí)用的公式，式（14）中的無窮級數(shù)的和可以忽略，則式（14）變?yōu)椋?/p>

水平井的井筒半徑rwD相對于水平井的長度很小，所以式（15）可近似為：

將無量綱量代入式（16）有：

式（17）即為上邊界為氣頂、下邊界為封閉油藏水平井的壓力分布公式。

如果油藏的縱向邊界上邊界為封閉、下邊界為恒壓，即底水油藏，則可通過坐標(biāo)變換（z′w＝h－zw），將式（17）變換為底水油藏水平井的壓力分布，即

將無量綱井壁壓力pwD量綱化，又因?yàn)樗骄L度L＝2a，代入式（18）可得底水油藏水平井的產(chǎn)量公式：

式中：Qh為水平井產(chǎn)量，m3/d；L為水平井長度，m；rw為水平井井筒半徑，m；h為地層厚度，m；pwf為井底流壓，MPa；pi為地層壓力，MPa；Bo為體積因數(shù)，1；μo為油的黏度，mPa·s。

2 三維產(chǎn)能公式的驗(yàn)證

驗(yàn)證底水油藏三維公式，所需的油藏及水平井的參數(shù)如表1所示。

表1 油藏及油井參數(shù)

運(yùn)用式 （19）進(jìn)行計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果與Joshi公式及劉想平三維產(chǎn)能公式的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，列于表2中。

表2 不同產(chǎn)量公式的計(jì)算結(jié)果

由表2可以看出：當(dāng)生產(chǎn)壓差為4.57MPa和5.90MPa時，公式 （19）計(jì)算結(jié)果的相對誤差分別為－3%和3%，誤差合理，精度較高，因此可以用公式 （19）來預(yù)測水平井的產(chǎn)能。

3 水平井開采底水油藏的可行性

在底水油藏水平井產(chǎn)能研究的基礎(chǔ)上，通過對比水平井與直井開采底水油藏的產(chǎn)能、臨界產(chǎn)量、底水突破時間，來說明水平井相比不完善直井在抑制底水錐進(jìn)方面的優(yōu)勢。

3.1 水平井抑制底水脊進(jìn)研究

針對直井開采底水油藏帶來的困難，為了抑制底水錐進(jìn)，改善底水油藏的開發(fā)效果，利用水平井技術(shù)抑制底水錐進(jìn)，開采底水油藏。

3.1.1 水平井的臨界產(chǎn)量

根據(jù)前面所推導(dǎo)的底水油藏水平井產(chǎn)能公式 （19），參考劉良躍等［12］、范子菲等［13］提出的水平井臨界產(chǎn)量計(jì)算方法，可得到底水油藏水平井的臨界產(chǎn)量公式：

式中：Qhoc為水 平 井 臨 界 產(chǎn) 量，m3/d；rw為 水 平 井 井 筒 半 徑，m；ρw為 水 的 密 度，g/cm3；ρo為 油 的 密度，g/cm3。

3.1.2 水平井的底水突破時間

對于底水油藏水平井的突破時間，很多人進(jìn)行了研究。Ozkan等［14］提出了在無限大各向異性底水油藏中水平井的底水突破時間計(jì)算公式：

式中：tBT為水平井底水突破時間，d；tDBT為無量綱水平井底水突破時間。

3.2 水平井與直井產(chǎn)量的比較

用公式計(jì)算了水平井的產(chǎn)能，并與完善直井的產(chǎn)能進(jìn)行了比較，如圖1所示。

表3 油藏及油井參數(shù)

由圖2可見：當(dāng)水平井長度大于50m左右時，水平井的產(chǎn)能都高于完善直井的產(chǎn)能。可見水平井與完善直井相比，滿足一定的條件，其增產(chǎn)效果是無疑的。

圖2 水平井與直井的產(chǎn)能比隨水平井長度的變化

圖3 水平井與直井底水突破時間比較

結(jié)合非完善直井—水平井的產(chǎn)能比較，對于底水油藏，在同樣的壓差下，與非完善直井相比，水平井能獲得更高的產(chǎn)量，也就是說，在相同的產(chǎn)量下，與非完善直井相比，水平井需要的較小的壓差，引起的底水脊進(jìn)較弱。

3.3 水平井與直井底水突破時間的比較

為了說明底水油藏開發(fā)過程中，在抑制底水錐進(jìn)方面，水平井優(yōu)于不完善直井，計(jì)算對比了水平井與直井的底水突破時間，如圖3所示。由圖3可知：不完善直井的底水見水時間，明顯比水平井的見水時間短，這進(jìn)一步說明水平井在抑制底水脊進(jìn)方面優(yōu)于不完善直井。

3.4 可行性分析

綜合產(chǎn)能、臨界產(chǎn)量、底水突破時間三方面的對比研究，結(jié)果顯示水平井在抑制底水錐進(jìn)方面優(yōu)于不完善直井，所以應(yīng)用水平井來開采底水油藏、挖潛底水油藏的剩余油具有不完善直井不可比擬的優(yōu)勢，是完全可行的。

4 結(jié)論與認(rèn)識

1）根據(jù)延長油田長2底水油藏的特點(diǎn)，在分析前人產(chǎn)能公式的基礎(chǔ)上，利用傅里葉變換及拉普拉斯變換求解了水平井三維滲流模型，得到了新的底水油藏水平井三維產(chǎn)能公式。

2）通過實(shí)例驗(yàn)證了新的三維產(chǎn)能公式，結(jié)果表明：三維產(chǎn)能公式有較高的精度，可以應(yīng)用于水平井的產(chǎn)能預(yù)測。

3）通過與不完善直井進(jìn)行對比分析，結(jié)果表明：水平井底水突破時間遠(yuǎn)遠(yuǎn)長于不完善直井的突破時間，應(yīng)用水平井開采底水油藏具有直井不可比擬的優(yōu)勢。

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［編輯］ 黃鸝