龔建清，張嬋韜

（湖南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410082）

?；⒅楸厣皾{導熱系數(shù)模型研究＊

龔建清?，張嬋韜

（湖南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410082）

基于最小熱阻力法則和均勻化方法估算了?；⒅楸厣皾{的等效導熱系數(shù).用ANSYS模擬玻化微珠保溫砂漿二維單元胞體的熱傳導，發(fā)現(xiàn)對熱阻網(wǎng)絡的橫向熱阻的極端考慮會給計算結果帶來誤差.用ANSYS計算的三維單元體模型的等效導熱系數(shù)值與3種理論計算值進行比較，發(fā)現(xiàn)用假設橫向熱阻無窮小與假設橫向熱阻無窮大求得的單元體等效熱阻的平均值作為單元體的等效熱阻來求單元體等效導熱系數(shù)更精確，最后實驗也驗證了這一結論.實驗值與本文提出的理論模型計算值偏差僅為0.2%，證明用該方法來估算?；⒅楸厣皾{的導熱系數(shù)是可行的.

最小熱阻力；均勻化方法；等效導熱系數(shù)；玻化微珠保溫砂漿；有限元模擬

?；⒅楸厣皾{作為建筑節(jié)能領域的一種保溫材料，除其物理力學性能應滿足一定要求外，更重要的是其保溫性能應滿足節(jié)能的要求.導熱系數(shù)是衡量?；⒅楸厣皾{保溫性能最主要的技術性能指標，它的大小直接決定著?；⒅楸厣皾{的品質及工程項目的節(jié)能效果.因此，對玻化微珠保溫砂漿的導熱機理進行研究，并建立理論計算模型，對研究其保溫性能至關重要.

目前，國內對?；⒅楸厣皾{的研究主要集中在從其組成材料及施工工藝方面進行創(chuàng)新、改進，提高其各項工作性能這些方面［1－6］，針對?；⒅楸厣皾{導熱機理的研究很少見，導熱系數(shù)理論計算模型也很少.

?；⒅楸厣皾{是一種無機復合材料，國際上常用來計算復合材料等效導熱系數(shù)的方法主要有3種——理論分析法、數(shù)值模擬計算法和實驗研究法.理論分析法應用得最多的是 Maxwell-Eucken方程及其一系列改進方程［7－12］，這類方法簡單，應用范圍廣；數(shù)值計算法用得最多的是有限元法和有限差分法［13－14］.這類方法簡單、直觀，在一定范圍內能夠給出與實驗相符合的結果.但是所得結果只能以曲線或圖表方式給出，或以經(jīng)驗公式的形式給出，一般說來無法將其表達為材料微結構幾何和各組分體積分數(shù)的函數(shù).實驗研究的方法通常是通過對特定材料的導熱系數(shù)進行研究，得到其中的規(guī)律，從而歸納出經(jīng)驗公式.此種方法針對特定材料求導熱系數(shù)是最可靠的，但是卻無法普及到其他材料的應用中去［15］.

本研究選擇了一種理論分析法：運用均勻化方法，建立一個玻化微珠保溫砂漿的單元胞體，基于最小熱阻力法則推導出單元胞體橫向熱阻無窮大和橫向熱阻無窮小2種熱阻網(wǎng)絡等效導熱系數(shù)理論計算公式，2種熱阻網(wǎng)絡計算結果相差較大.用有限元軟件ANSYS，模擬根據(jù)穩(wěn)態(tài)導熱原理建立起來的防護熱板法，研究玻化微珠保溫砂漿二維單元胞體的熱傳導，發(fā)現(xiàn)對橫向熱阻的極端考慮會帶來較大誤差.因此本研究用2種熱阻網(wǎng)絡的平均熱阻作為單元體的等效熱阻來計算單元體等效導熱系數(shù)，得出的結果與ANSYS模擬值及實測值的偏差均比前兩者小.本研究論證了該理論計算模型與?；⒅楸厣皾{的適用性及該模型的可靠性，為玻化微珠保溫砂漿的配比研究提供了一條新途徑.

1 實驗

1.1 實驗原料

湖南韶峰水泥集團有限公司生產(chǎn)的普通硅酸鹽水泥，P.O42.5；信陽市中凱保溫材料有限公司生產(chǎn)的?；⒅椋逊e密度80～100kg／m3，干表觀密度160kg／m3，導熱系數(shù)0.032W／（m·K）；外加劑采用自配復合外加劑：耒陽市洪波灰渣有限公司生產(chǎn)的干排二級粉煤灰，密度2.34g／cm3；石家莊市隆瑞建筑材料有限公司生產(chǎn)的可再分散性乳膠粉LR－80，堆積密度500g／L±50g／L；河北華藝纖維素有限公司生產(chǎn)的羥丙基甲基纖維素；廣州杜科建材有限公司生產(chǎn)的DUK-A2型聚丙烯纖維，長度19 mm.試驗材料的配比見表1.

表1 水泥基體材料配比Tab.1 Mixture proportion of cement matrix

1.2 配方設計及試塊制作

分別按照?；⒅楣橇象w積摻量占硬化后試塊總體積分數(shù)的0%，10%，20%，30%和40%共5個水平制作試塊，每個水平制作試塊2個，尺寸為300mm×300mm×30mm.1個試塊的?；⒅閾搅縨c＝ρkV，式中ρ為?；⒅楦杀碛^密度，k為玻化微珠骨料體積摻量占硬化后試塊的總體積分數(shù)，V為一個試塊的體積.制作好的試塊用聚乙烯薄膜覆蓋成型后放在養(yǎng)護室內2d，脫模后再到標準養(yǎng)護箱（溫度20℃，相對濕度60%）中養(yǎng)護至28d.

1.3 實驗方法

試樣導熱系數(shù)的測試參照GBT 10294—2008（《絕熱材料穩(wěn)態(tài)熱阻及有關特性的測定——防護熱板法》）.導熱系數(shù)測定儀為沈陽紫微機電設備有限公司生產(chǎn)的CD-DR3030型導熱系數(shù)測定儀.

1.4 結果

實驗測得不同骨料摻量?；⒅楸厣皾{導熱系數(shù)實驗值見表2.

表2 不同骨料摻量?；⒅楸厣皾{導熱系數(shù)實驗值Tab.2 Experimental values of thermal conductivity of hollow beads insulating mortar with different aggregate content

從表2中可以看出，隨著?；⒅轶w積摻量的增加，導熱系數(shù)下降.

2 模型的建立

?；⒅楸厣皾{的組成很復雜，包括骨料、膠凝材料、纖維增強劑、外加劑、改性劑等多種組分.大量的研究表明［16－17］，當玻化微珠保溫砂漿組分固定時，影響其導熱系數(shù)的主要因素為玻化微珠骨料的摻量.因此，本研究將由各種膠凝材料及外加劑組成的水泥基體看成一個相，那么就可以把?；⒅楸厣皾{作為一種由水泥基體和?；⒅轭w粒組成的兩相無機復合材料，來研究其導熱性能.

2.1 理論基礎

最小熱阻力法則：熱量在物體內傳遞時，熱流會沿熱阻最小的通道傳遞，相應通道的總熱阻為最小熱阻.熱阻力（ΔT）即為熱流量q流過熱阻為R的通道時所消耗的溫降：

傅立葉定律：對于物性參數(shù)不隨方向變化的各向同性物體，導熱熱流密度矢量與溫度梯度之間的關系為：

式中：q為熱流量，表示單位時間內通過單位面積的熱量；λ為導熱系數(shù)，表示在單位時間內每單位溫度降低時，每單位面積所通過的熱量，是直接表征物質導熱能力的一個重要物理量.

式中：q為單位時間內通過面積A的總熱量；ΔT表示溫度與沿導熱方向L深度處溫度的差值.由式（1）（3）可得均質材料熱阻

式中：L為熱流通道的長度；A為熱流通道的面積；λ為通道材料的導熱系數(shù).對于復合材料，我們要引入2個新概念——等效熱阻（Re）和等效導熱系數(shù)（λe）.等效熱阻為1W熱量通過復合材料時所引起的溫升.等效導熱系數(shù)則是在穩(wěn)定傳熱條件下，1m厚的復合材料，兩側表面的溫差為1℃，在1s內，通過1m2面積傳遞的熱量.按式（4）則有：

因此，復合材料的導熱系數(shù)可通過計算等效熱阻得來.

均勻化方法：利用均勻化方法可以建立起研究單元體與復合材料總體之間的關系.該方法的思路為：從非均質材料中選取一個具有代表性的單胞，單胞的平均性質可以作為材料宏觀性質的表征.

2.2 單元體的建立

根據(jù)?；⒅楸厣皾{的特點，作以下假設：

1）?；⒅轭w粒以相同大小的球體均勻分布于水泥基體中；

2）由于?；⒅閮瓤涨坏闹睆竭h小于4mm，故在空腔內的熱對流是可以忽略的［18］；

3）由于使用溫度不高，輻射相對于總傳熱來說很小，故輻射傳熱忽略不計［19］；

4）雖然?；⒅榈膯伟Ｗ釉谖⒂^上呈現(xiàn)不均勻性，但其尺寸遠小于復合材料的宏觀尺寸，為此在宏觀上可認為具有各向同性.

由于假定玻化微珠粒子在水泥基體中均勻分布，整個復合材料可以考慮為一系列單元連接而成，而每個單元是由水泥基體包含著一個玻化微珠粒子的立方體，如圖1所示.

圖1 玻化微珠保溫砂漿導熱物理模型的建立過程Fig.1 The process of modeling heat conduction of hollow beads insulating mortar

根據(jù)均勻化方法，復合材料的等效導熱系數(shù)可以考慮為在相應溫度下一個單元的等效導熱系數(shù).

2.3 理論公式的推導

為了求得單元體等效熱阻，可以把復合物單元體分割成數(shù)量足夠多的等尺度微元塊，根據(jù)式（4）算出微元塊的平均熱阻.微元塊間的連接抽象為微元塊熱阻之間的連接，單元體的等效熱阻就等于熱阻網(wǎng)絡的總熱阻.

根據(jù)橫向（垂直于熱流的方向）熱阻的不同，熱阻網(wǎng)絡可以分成兩種極端的形式，如圖2所示.

圖2 兩種熱阻網(wǎng)絡圖Fig.2 Two kind of resistance network

圖2（a）是假設橫向熱阻為無窮大，各熱阻橫向間不會有熱傳遞，在平行于熱流方向進行微層處理，則單元體熱流通道被分成兩大部分：第一部分是在熱流主向上只有連續(xù)相的通道；第二部分是在熱流主向上會遇到球形分散相的通道，在該通道內，根據(jù)熱阻率相等的原則，以過球心的熱流線為軸，取微元環(huán)形通道，各通道熱阻并聯(lián)，遇到球形分散相的通道熱阻由分散相和連續(xù)相串聯(lián)組成.

先分別求得各部分等效熱阻.

式中：λ1，λ2分別為分散相球體和連續(xù)相的導熱系數(shù)；θ為球半徑與軸線的夾角；r為分散相球體的半徑；rcosθdθ為半徑r與軸線夾角θ處圓筒環(huán)的筒壁厚.

第二部分由許多微環(huán)通道的熱阻并聯(lián)構成，可以用并聯(lián)熱阻倒數(shù)求和得到總熱阻.第一部分和第二部分同樣是并聯(lián)關系，所以單元體總熱阻由各熱流通道熱阻并聯(lián)得到：

圖2（b）是假設橫向熱阻為無窮小，溫度沿熱流的方向呈線性分布.在垂直于熱流方向進行微層處理，則單元體可以分為2大部分：第一部分只含連續(xù)相；第二部分含有分散相和連續(xù)相，第一部分和第二部分各層串聯(lián)組成，第二部分各層由分散相和連續(xù)相并聯(lián)組成.

各部分熱阻由傅立葉定律求得.

式中：λ1和λ2分別為分散相球體和連續(xù)相的導熱系數(shù)；r為分散相球體的半徑；dx為x處薄層的厚度.

2.4 基于最小熱阻力法則模型的計算結果與分析

按照以上2種模型的計算公式，分別求分散相體積分數(shù)為10%，20%，30%，40%的計算值.

?；⒅槭潜砻娌；忾]的球狀體顆粒，內部為多孔空腔結構，空腔直徑約50～100μm.真正起隔熱作用的正是這些微小的空腔，即使?；⒅轭w粒粒徑不同，內部空腔的大小變化也十分微小，只要分散相摻量不變，則空腔總量變化也非常小，因此本文忽略顆粒大小對導熱系數(shù)的影響，根據(jù)分散相的體積分數(shù)來求分散相的等效半徑：設單元體是邊長為l的正方體，分散相等效半徑為r，分散相的體積分數(shù)為v，則

λ1和λ2分別取0.032W／（m·K）和0.93W／（m·K）.將式（16）及λ1和λ2分別代入式（11）和式（15），得到的結果如圖3所示.

從圖3中可以看出，基于最小熱阻力法則建立的2種模型，隨著?；⒅榱Ｗ訐搅康脑黾?，2種計算模型的計算值都逐漸降低，這和已有研究結果一致［3，7］.橫向熱阻無窮小模型的計算值均高于橫向熱阻無窮大模型，且隨著?；⒅閾搅康脑黾?，這種趨勢越來越明顯.可見單元體熱阻網(wǎng)絡的劃分方式對等效導熱系數(shù)的計算值有很大的影響.

圖3 2種熱阻網(wǎng)絡模型計算結果對比Fig.3 The comparison of calculation result of two kind of resistance network model

3 有限元模擬

本文用有限元軟件模擬了根據(jù)穩(wěn)態(tài)導熱原理傳熱建立起來的防護熱板法，建立了一個三維的單元體熱傳導模型，如圖4所示.四邊絕熱，熱流從頂面輸入.

3.1 二維單元傳熱模擬

考慮到?；⒅轭w粒在水泥基體中均勻分布，且三維模型是完全對稱的，所以將三維溫度場簡化

近年來，用數(shù)值法來解傳熱問題越來越普遍，常用的主要有有限元法、有限差分法及邊界元法.本研究采用的是有限元法，應用ANSYS軟件進行單元體的傳熱數(shù)值模擬.

國際上用來測量導熱系數(shù)的方法有2兩種：穩(wěn)態(tài)法和非穩(wěn)態(tài)法.2種方法的各種形式都各有特點和適用條件.根據(jù)穩(wěn)態(tài)導熱原理建立起來的方法在國內外已很成熟.20世紀80年代末，我國已參照國際標準制定了一系列國家標準.根據(jù)該原理制作的測試裝備主要有防護熱板法和圓球法導熱系數(shù)測定儀.防護熱板法的試樣最容易制作，而且平行的等溫面比較容易實現(xiàn)、操作也方便，因此被廣泛采用.防護熱板裝置的原理如下：在具有平行表面的均勻板狀試件內，建立類似于以2個平行的溫度均勻的平面為界的無限大平板中存在的一維均勻熱流密度.平板導熱儀由熱板、冷板和護板3部分組成.熱的流動方向從熱板流向冷板，當溫度達到恒定后，測量冷熱板的溫差（ΔT）、兩板之間的距離L及從熱板傳輸?shù)臒崃髁縬，根據(jù)傅立葉穩(wěn)態(tài)熱傳導規(guī)律，即可求出單元體等效導熱系數(shù)：為二維.二維模型更易看清楚單元體溫度梯度的變化，以及熱流的方向.

圖4 單元體示意圖Fig.4 Sketch of unit

單元各邊設定的邊界條件如下：

左右兩邊為絕熱邊，頂邊施加第一類邊界條件：恒溫載荷30℃；底邊施加第二類邊界條件：對流載荷，環(huán)境溫度取25℃，對流傳熱系數(shù)取25W／（m2·°C）.使用求解器進行求解，然后進入后處理，得到單元的溫度云圖（圖5）和熱流矢量圖（圖6）.

圖5 單元溫度云圖Fig.5 Temperature nephogram of unit

圖6 單元熱流矢量圖Fig.6 Heat flux vector diagram of unit

熱流矢量圖反映了單元內熱流的方向及大小，箭頭的方向代表熱流的方向，箭頭的長短代表熱流的強弱.很明顯，熱流的方向并不是都沿著單元體的軸線方向.大部分遇到分散相的熱流，方向不再是沿著軸線方向，而是發(fā)生了偏轉.因此假設橫向熱阻無窮大，或者假設橫向熱阻無窮小都與實際不符，從而使理論計算值產(chǎn)生一定偏差.

如果要得到更高精度的單元體等效導熱系數(shù)值，必須考慮橫向熱阻.橫向熱阻的大小為單元體等效導熱系數(shù)值.文獻［20］對簡單的熱阻網(wǎng)絡進行過計算，發(fā)現(xiàn)用橫向熱阻無窮大模型的等效熱阻和橫向熱阻無窮小模型的等效熱阻的算術平均值來作為單元體的等效熱阻的近似值僅比用實際的單元體等效熱阻作為橫向熱阻進行迭代得到的單元體等效熱阻精確值小0.2%.因此，本文用橫向熱阻無窮大模型的等效熱阻和橫向熱阻無窮小模型的等效熱阻的算術平均值作為單元體的等效熱阻，求得單元體的等效導熱系數(shù)為：

3.2 等效導熱系數(shù)數(shù)值計算

為了得到較精確的計算機模擬值，本研究采用與理論計算模型一致的三維單元體模型.用與二維模型熱傳導模擬類似的步驟進行求解.得到上下邊的溫差ΔT及熱流量q.利用式（17），分別計算出了?；⒅楸厣皾{復合體系，?；⒅樘畛潴w積分數(shù)為10%，20%，30%和40%時相應的單元體的等效導熱系數(shù).并將橫向熱阻無窮小模型的等效導熱系數(shù)理論公式計算值（λe－bc）、橫向熱阻無窮大模型的等效導熱系數(shù)理論公式計算值（λe－cb）以及本文提出的用2種模型等效熱阻的算術平均值作為單元體等效熱阻求得的單元體等效導熱系數(shù)（λe）與計算機模擬值進行對比，結果見表3.

表3 理論公式計算值與計算機模擬值比較Tab.3 Comparison between theoretical formula values and computer simulation values

從表3中可以看出，λe－bc，λe－cb與計算機模擬值的平均偏差均大于λe與計算機模擬值的平均偏差，這初步證明了采用本文提出的用2種模型等效熱阻平均值求單元體等效導熱系數(shù)比僅采用2種模型中的一種求單元體等效導熱系數(shù)更精確.

4 實驗論證

將實驗值與λe－bc，λe－cb，λe進行對比，見表4.

表4 導熱系數(shù)實驗值與理論計算值比較Tab.4 Comparison between experimental values of thermal conductivity of hollow beads insulating mortar and theoretical formula values

橫向熱阻無窮小模型的計算值（λe－bc）比實驗值略高，兩者的平均偏差約為14%，橫向熱阻無窮大模型的計算值（λe－cb）則比實驗值偏小，兩者的平均偏差為11%，但是λe與實驗值的平均偏差比二者的平均偏差均小，僅為0.2%.這也再次說明了本文提出的用2種模型等效熱阻平均值來求單元體等效導熱系數(shù)具有更高的精確度，同時也說明本文提出的基于最小熱阻法則的理論計算方法用來快速估算?；⒅楸厣皾{導熱系數(shù)是可行的.

5 結 論

1）基于最小熱阻力法則和均勻化方法建立的2種模型的?；⒅楸厣皾{復合體系的等效導熱系數(shù)計算值隨?；⒅榱Ｗ訐搅康脑黾佣饾u降低.

2）單元體熱阻網(wǎng)絡的劃分方式對等效導熱系數(shù)的計算值有很大的影響.橫向熱阻無窮小模型的計算值均高于橫向熱阻無窮大模型的計算值，且隨著?；⒅閾搅康脑黾舆@種趨勢越來越明顯.

3）從二維單元的溫度云圖可以看出，溫度的梯度不是呈現(xiàn)完全的線性變化.熱流矢量圖則反映出大部分熱流在遇到分散相時熱流方向不再是沿著軸線方向，而是發(fā)生了偏轉.

4）用橫向熱阻無窮大模型的等效熱阻和橫向熱阻無窮小模型的等效熱阻的算術平均值作為單元體的等效熱阻求單元體等效導熱系數(shù)比選擇兩種模型中的任意一種具有更高的精度.

5）對于?；⒅楸厣皾{，用基于最小熱阻力法則和均勻化方法建立理論公式來估算?；⒅楸厣皾{的導熱系數(shù)是可行的.

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Study on the Thermal Conductivity Model of Hollow Beads Insulating Mortar

GONG Jian-qing?，ZHANG Chan-tao
（College of Civil Engineering，Hunan Univ，Changsha，Hunan 410082，China）

Based on the minimum thermal resistance theory and homogenization method，the effective thermal conductivity of hollow beads insulating mortar was estimated.With ANSYS imitating the heat transmission of the 2Dunit model of hollow beads insulating mortar，we can find it will bring about calculation errors by considering the extreme cases of the transverse thermal resistance of resistance network.Compared with the effective thermal conductivity of 3Dunit cell model calculated by ANSYS with three kinds of theoretical calculating value，it is more accurate than the effective thermal conductivity of unit calculated by the model of effective thermal resistance average.A model was built by assuming transverse thermal resistance infinitesimal and infinite.Final laboratory finding also confirms this conclusion.With only 0.2%deviation between the experiment values and the calculation of theoretical model，it is feasible to estimate the effective thermal conductivity of hollow bead insulating mortar.

minimum thermal resistance；homogenization method；effective thermal conductivity；hollow beads insulating mortar；finite element simulation

TU502

A

1674-2974（2014）06-0099-07

2014-02-12

國家自然科學基金資助項目（51278180）

龔建清（1963－），男，湖南湘鄉(xiāng)人，湖南大學副教授，碩士生導師，博士

?通訊聯(lián)系人，E-mail：gongjianqing123＠yahoo.com.cn