王克科，湯菊萍

（揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州225002）

本文涉及的群皆為有限群，所用術(shù)語和符號(hào)都是標(biāo)準(zhǔn)的［1－2］．

子群的局部化性質(zhì)對(duì)有限群構(gòu)造有重要影響，國內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了深入探究．例如，1980年，Srinivasan［3］證明了有限群G 的Sylow 子群的極大子群在G 中正規(guī)，G 為超可解群；2005年，何鳴等［4］利用群G 的Sylowp－子群的極大和極小子群的π－可補(bǔ)性，給出了群G 為p－冪零群的一些條件；2008年，郭文彬［5］提出了F－可補(bǔ)子群的概念，得到有限群結(jié)構(gòu)的新刻畫；2011年，湯菊萍等［6］分析了Sylow 子群P 的極大子群在NG（P）中的p－冪零補(bǔ)性對(duì)有限群構(gòu)造的影響；最近，繆龍等提出了幾乎－可補(bǔ)子群的概念，對(duì)有限群特別是包含超可解群的飽和群系的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究（Guo Jidong，Zhang Jia，Miao Long．On nearly－supplemented subgroups of finite groups．Ukrainian Mathematical Journal待發(fā)表）．在本文中，筆者將繼續(xù)以上工作，利用某些準(zhǔn)素子群在其Sylow 正規(guī)化子中的幾乎－可補(bǔ)性對(duì)有限群的p－冪零性和超可解性作進(jìn)一步考察．

1 預(yù)備知識(shí)

引理1設(shè)G 是有限群，P 是G 的Sylow p－子群，（｜G｜，p－1）＝1．G 是p－冪零的當(dāng)且僅當(dāng)P的任意極大子群在G 中或者有p－冪零補(bǔ)或者有幾乎－補(bǔ)．

引理2設(shè)F是包含所有超可解群的飽和群系，E 是G 的可解正規(guī)子群且使得G／E∈F．如果對(duì)于E 的每一個(gè)非循環(huán)Sylow 子群的任一極大子群在G 中或者有超可解補(bǔ)或者有幾乎－補(bǔ)，那么G∈F．

引理3［7］設(shè)G 是有限群．

3）設(shè)π是一個(gè)素?cái)?shù)集，K 是G 的正規(guī)π′－子群，且H 是G 的π－子群，若H 在G 中幾乎－可補(bǔ)，則HK／K 在G／K 中幾乎－可補(bǔ)；

4）設(shè)R 是G 的可解極小正規(guī)子群，若存在R 的一個(gè)極大子群R1，使得R1在G 中幾乎－可補(bǔ)，則R 是素?cái)?shù)階的．

引理4設(shè)G 是有限群且NG，P 是G 的一個(gè)Sylowp－子群，若P 的任意極大子群在NG（P）中幾乎－可補(bǔ)，且（p，｜N｜）＝1，則PN／N 的每一個(gè)極大子群在NG／N（PN／N）中幾乎－可補(bǔ)；進(jìn)一步地，若N≤P，則P／N 的每一個(gè)極大子群在NG／N（P／N）中幾乎－可補(bǔ)．

證明 易證PN／N 為G／N 的Sylow p－子群．對(duì)于PN／N 的任一極大子群T／N，有｜（PN／N）∶（T／N）｜＝p；由于T＝T∩PN＝N（T∩P）＝NP1，故P1為P 的極大子群；由引理4假設(shè)P1在NG（P）中幾乎－可補(bǔ)，則存在KNG（P）使得P1KNG（P）且SK＜P1K，其中S 為P1的任意極大子群；易 知 存 在 正 規(guī) 子 群KN／NNG（P）N／N ＝NG／N（PN／N），使 得（P1N／N）（KN／N）NG（P）N／N ＝NG／N（PN／N）；又｜（P1KN／N）∶（SKN／N）｜＝｜（P1KN）∶（SKN）｜＝所以SKN／N＜P1KN／N，從而P1N／N 在NG（P）N／N 中幾乎－補(bǔ)．

引理5［8］設(shè)子群H 在G 中s－擬正規(guī)．

1）若K 是G 的一個(gè)子群，且H≤K，則H 在K 中s－擬正規(guī)；

2）若N 是G 的一個(gè)正規(guī)子群，則HN／N 在G／N 中s－擬正規(guī)．

引理6［9］設(shè)P 是群G 的s－擬正規(guī)p－子群，其中p∈π（G），則Op（G）≤NG（P）．

引理7［10］設(shè)G 是可解群且Φ（G）＝1，則F（G）是G 中極小正規(guī)子群的直積．

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)G 是有限群，p 是｜G｜的素因子且（｜G｜，p－1）＝1．如果存在G 的一個(gè)Sylowp－子群P，使得P 的任意極大子群在NG（P）中幾乎－可補(bǔ)，并且P′在G 中s－擬正規(guī)，其中P′是P 的換位子群，那么G 是p－冪零的．

證明 現(xiàn)對(duì)｜G｜作歸納假設(shè)．

首先，如果Op′（G）≠1，考慮商群G／Op′（G）．顯然POp′（G）／Op′（G）是G／Op′（G）的Sylow p－子群，由引理4可知G／Op′（G）的極大子群P1Op′（G）／Op′（G）在NG／Op′（G）（POp′（G）／Op′（G））中幾乎－可補(bǔ)；又由（POp′（G）／Op′（G））′＝P′Op′（G）／Op′（G）及引理5之2）可知（POp′（G）／Op′（G））′在G／Op′（G）中s－擬正規(guī)；由歸納假設(shè)得G／Op′（G）是p－冪零的，進(jìn)而得到G 是p－冪零的．

其次，如果Op′（G）＝1．

情形1：Op（G）＝1．對(duì)任意的Q∈Sylq（NG（P）），其中q≠p，有PQ≤NG（P）．如果PQ＝G，那么NG（P）＝G．由引理1得知G 是p－冪零的；如果PQ≠G，那么NG（P）＜G；又因P≤NG（P）＜G 且NNG（P）（P）＝NG（P）∩NG（P）≤NG（P），故由引理3之1）及引理5之1）可知P 的任意極大子群在NNG（P）（P）中幾乎－可補(bǔ)，并且P′在NG（P）中s－擬正規(guī)，從而由歸納假設(shè)知NG（P）是p－冪零的，進(jìn)而PQ 也是p－冪零的；又由于PNG（P），故PQ＝P×Q，即Q≤CG（P）．此時(shí)，若P′＝1，則可由Burnside定理知G 是p－冪零的；若P′≠1，則由P′在G 中s－擬正規(guī)及引理6知Op（G）≤NG（P′），再由P≤NG（P′）可知G＝POp（G）≤NG（P′），進(jìn)而得到P′G 且P′≤Op（G），即Op（G）≠1，矛盾．

情形2：Op（G）≠1．設(shè)N 是G 的任一極小正規(guī)子群，由上述可知N≤Op（G），根據(jù)引理4，P／N的極大子群P1／N 在NG／N（P／N）中幾乎－可補(bǔ)，又由引理5之2）知（P／N）′＝P′N／N 在G／N 中s－擬正規(guī)，從而G／N 滿足定理假設(shè)，進(jìn)而由歸納假設(shè)可知G／N 是p－冪零的．此時(shí)，若N 不唯一，則由p－冪零群類的飽和性得G 是p－冪零的；若N 唯一，即N 是G 的唯一極小正規(guī)子群，且Φ（G）≠1，那么G 是p－冪零的；如果Φ（G）＝1，則由上述及引理7知Op（G）＝F（G）＝N；因?yàn)?≠P′≤Op（G），故由Op（G）的極小正規(guī)性可得P′＝Op（G），進(jìn)而由上述及Op（G）G 知Op（G）＝P′≤Φ（P），最后根據(jù)引理2可知Op（G）≤Φ（G）＝1，矛盾．

定理2設(shè)G 是有限群，p 是｜G｜的素因子且（｜G｜，p－1）＝1，HG 且G／H 是p－冪零的．如果存在H 的一個(gè)Sylowp－子群P，使得P 的每個(gè)極大子群在NG（P）中幾乎－可補(bǔ)，并且P′在G 中s－擬正規(guī)，其中P′是P 的換位子群，那么G 是p－冪零的．

證明 現(xiàn)對(duì)｜G｜作歸納假設(shè)．根據(jù)引理3之1）以及假設(shè)可知P 的每一個(gè)極大子群在NH（P）中幾乎－可補(bǔ)，并且由引理5知P′在H 中s－擬正規(guī)，進(jìn)而由定理1知H 是p－冪零的．設(shè)T 為H 的正規(guī)p－補(bǔ)，即H＝Hp［T］，由Tchar HG 知TG．

如果T≠1，考慮商群H／T．易證G／T 的正規(guī)子群H／T 滿足定理假設(shè)，又因?yàn)椋℅／T）／（H／T）?G／H，所以由歸納假設(shè)得知G／T 是p－冪零的，從而G 是p－冪零的．

如果T＝1，那么H＝Hp＝P 是G 的p－子群．若（G／P）p＝1，則PG，從而NG（P）＝G．由引理1可知G 是p－冪零的．若（G／P）p≠1，因?yàn)镚／P 是p－冪零的，所以G／P 有正規(guī)p－補(bǔ)，不妨設(shè)為R／P，即G／P＝（G／P）p［R／P］．由NR（P）＝NG（P）∩R≤NG（P）及引理3之1）知，P 的每一個(gè)極大子群在NR（P）中幾乎－可補(bǔ)，又由引理5之1）知P′在R 中s－擬正規(guī)，因此由定理1知R 是p－冪零的．設(shè)S 為R 的一個(gè)正規(guī)p－補(bǔ)，顯然S 也為G 的正規(guī)p－補(bǔ)，從而G 是p－冪零的．

定理3設(shè)G 是有限群，對(duì)于｜G｜的任意素因子p，如果存在G 的一個(gè)Sylow p－子群P，使得P的每個(gè)極大子群在NG（P）中幾乎－可補(bǔ)，并且P′在G 中s－擬正規(guī)，其中P′是P 的換位子群，那么G是超可解的．

證明 假設(shè)G 是極小階反例．由定理1可知G 具有超可解型的Sylow 塔，從而G 是可解的．假設(shè)N 是G 的極小正規(guī)子群，則由引理3之2）和引理5之2）知G／N 滿足定理假設(shè)．又因（PN／N）′＝P′N／N 在G／N 中s－擬正規(guī)，故由G 的極小性知G／N 是超可解的．由于超可解群類是飽和群系，故N 是G 的唯一極小正規(guī)子群且Φ（G）＝1．設(shè)q 為｜G｜的最大素因子且Q 為G 的Sylowq－子群，即QG，易知N≤Q．因?yàn)棣担℅）＝1，所以Q 是G 的包含于Q 的極小正規(guī)子群的直積，即N＝Q．由引理3之4）知｜N｜＝q，從而G 是超可解的，矛盾．綜上可得G 是超可解的．

定理4設(shè)G 是有限群，F(xiàn)是包含所有超可解群的飽和群系，EG 且G／E∈F．如果對(duì)｜G｜的任意素因子p 都有E 的每一個(gè)Sylowp－子群P，使得P 的每一個(gè)極大子群在NG（P）中幾乎－可補(bǔ)，并且P′在G 中s－擬正規(guī)，其中P′是P 的換位子群，那么G∈F．

證明 現(xiàn)對(duì)｜G｜作歸納假設(shè)．顯然E 滿足定理3的假設(shè)，所以E 是超可解的．設(shè)p 是｜E｜的最大素因子，P 是E 的Sylow p－子群，那么PE，從而PG．此時(shí)考慮商群G／P，因?yàn)椋℅／P）／（E／P）?G／E，所以（G／P）／（E／P）∈F，從而G／P 滿足定理的假設(shè)，故由歸納假設(shè)知G／P∈F．由于P 的每個(gè)極大子群在NG（P）＝G 中幾乎－可補(bǔ)，因此由引理2可知G∈F．

［1］ DOERK K，HAWKES T．Finite soluble groups［M］．Berlin：Walter de Gruyter，1992：871－872．

［2］ 徐明曜．有限群導(dǎo)引［M］．北京：科學(xué)出版社，2007：1－42．

［3］ SRINIVASAN S．Two sufficient conditions for supersolvablility of finite groups［J］．Israel J Math，1980，35（3）：210－214．

［4］ 何鳴，張雪梅，繆龍．子群的π－可補(bǔ)性對(duì)群結(jié)構(gòu)的影響［J］．揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005，8（1）：1－3．

［5］ GUO Wenbin．On F－supplemented subgroups of finite groups［J］．Manuscripta Math，2008，127（2）：139－150．

［6］ 湯菊萍，鮑宏偉．局部化的子群性質(zhì)對(duì)群構(gòu)造的影響［J］．揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，14（2）：1－3，18．

［7］ 邱婷婷，王強(qiáng)，鮑宏偉．幾乎－可補(bǔ)子群對(duì)群構(gòu)造的影響［J］．江蘇師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，30（3）：1－3．

［8］ KEGEL O H．Sylow－gruppen und subnormalteiler endlicher gruppen［J］．Math Z，1962，78（1）：205－221．

［9］ LI Yangming，WANG Yanming，WEI Huaquan．On p－nilpotency of finite groups with someπ－quasinormally embedded［J］．Acta Math Hungar，2005，108（4）：283－298．

［10］ GUO Wenbin．The theory of classes of groups［M］．London：Science Press－Kluwer Academic Publishers，2000：42．