衡美芹，孫建華

（1．宿遷學(xué)院教師教育系，江蘇 宿遷223800；2．揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州225002）

近年來，Hopf代數(shù)一直是人們感興趣的課題，隨著研究的不斷深入，弱化意義下的Hopf代數(shù)越來越受到重視，出現(xiàn)了如弱Hopf代數(shù)［1］、扭Hopf代數(shù)［2］、分次Hopf代數(shù)［3］和Hopf群（余）代數(shù)［4］（即Hopfπ－余代數(shù)，這里π是一個(gè)群）等推廣形式．Hopfπ－余代數(shù)是Turaev于2000年引進(jìn)的一類代數(shù)結(jié)構(gòu)，用來構(gòu)造π－范疇并證明這樣的范疇可以產(chǎn)生3維同倫量子場理論．后來Virelizier［1］利用Hopfπ－余代數(shù)構(gòu)造了3維流形上主π－叢的Hennings－like與Kuperberg－like不變量．在文獻(xiàn)［1－3］中，作者曾討論了Hopfπ－（余）代數(shù)的一些性質(zhì)，如Morita contexts和π－Galois擴(kuò)張等．筆者［4］也研究過Hopfπ－余代數(shù)的π－子余代數(shù)，給出了π－子余代數(shù)的等價(jià)條件．在本文中，筆者將探討Hopfπ－余代數(shù)H 上的π－余模代數(shù)的π－余模（右）理想的性質(zhì)．

1 預(yù)備知識

設(shè)k為域，文中的向量空間、余代數(shù)和代數(shù)均指域k上的向量空間、余代數(shù)和代數(shù)．π是任意一個(gè)乘法群，其單位元記為1．域k上向量空間上的張量積A?kB 簡寫成A?B．Hopfπ－（余）代數(shù)的有關(guān)概念和記號參見文獻(xiàn)［1，5－7］．

若｛Hα｝α∈π是 一 簇 向 量 空 間，且 賦 予 一 簇k－線 性 映 射｛Δα，β：Hαβ→Hα?Hβ｝α，β∈π及k－線 性 映 射ε：H1→k，使得對于任意的α，β，γ∈π，滿足等式（Δα，β?idHγ）Δαβ，γ＝（idHα?Δβ，γ）Δα，βγ，（idHα?ε）Δα，1＝idHα＝（ε?idHα）Δ1，α，則稱H＝（｛Hα｝α∈π，｛Δα，β｝α，β∈π，ε）為π－余代數(shù)．

注1）記Δα，β（h）＝∑h（1，α）?h（2，β）∈Hα?Hβ，對于任意的h∈Hαβ，α，β∈π．

2）對于任意的α，β，γ ∈π，h ∈Hαβγ，則定義1．1中第1個(gè)條件等式可表示為

定義1．1設(shè)H ＝（｛Hα｝α∈π，｛Δα，β｝α，β∈π，ε）為π－余代數(shù)，給定一簇k－線性映射S ＝｛Sα｜Hα→Hα－1｝α∈π，若H 滿足以下條件：①?α∈π，（Hα，mα，uα）是k－代數(shù)；②?α，β∈π，k－線性映射Δα，β：Hαβ→Hα?Hβ和ε：H1→k都是代數(shù)同態(tài)；③?α∈π，mα（Sα－1 ?idHα）Δα－1，α＝uαε＝mα（idHα?Sα－1）Δα，α－1，則稱H ＝（｛Hα，mα，uα｝α∈π，｛Δα，β｝α，β∈π，ε，｛Sα｝α∈π）為Hopfπ－余代數(shù)．

注Hopfπ－余代數(shù)不是一般的Hopf代數(shù)，也不是分次Hopf代數(shù)或扭Hopf代數(shù)［8－9］．由定義容易看出（H1，Δ1，1，ε，m1，u1，S1）是一個(gè)一般的Hopf代數(shù)，因此Hopfπ－余代數(shù)是Hopf代數(shù)的一種推廣形式．

定義1．2設(shè)H ＝（｛Hα｝α∈π，｛Δα，β｝α，β∈π，ε）是一個(gè)π－余代數(shù)．若存在一簇k－ 向量空間U ＝｛Uα｝α∈π以及一簇k－ 線性映射ρ ＝｛ρα，β：Uαβ→Uα?Hβ｝α，β∈π，使得等式（ρα，β?idHγ）ραβ，γ＝（idUα?Δβ，γ）ρα，βγ，（idUα?ε）ρα，1 ＝idUα，?α，β，γ∈π成立，則稱（U，ρ）為π－H－ 余模．

注記則定義1．2中第1個(gè)條件等式可表示為∑x（0，αβ）（0，α）?x（0，αβ）（1，β）?x（1，γ）＝∑x（0，α）?x（1，βγ）（1，β）?x（1，βγ）（2，γ），對于任意的α，β，γ∈π，x ∈Uαβγ．

定義1．3設(shè)H ＝（｛Hα，mα，uα｝α∈π，｛Δα，β｝α，β∈π，ε，｛Sα｝α∈π）為Hopfπ－余代數(shù)，A ＝（Aα，mα′，uα′）α∈π為一簇k－代數(shù)．若對于任意的α，β∈π，x，y∈Aαβ，滿足3個(gè)條件：①（A，ρ）是π－H－余模；②則稱（A，ρ）為H 上的一個(gè)π－余模代數(shù)或π－H－ 余模代數(shù)．

設(shè)｛＾Hα｝α∈π為一簇k－向量空間，若存在一簇k－線性映射｛mα，β：＾Hα?＾Hβ→＾Hαβ｝α，β∈π及k－線性映射u：k→＾H1，使得對于任意的α，β，γ∈π，h∈＾Hα，滿足mαβ，γ（mα，β?id＾Hγ）＝mα，βγ（id＾Hα?mβ，γ），mα，1則稱為π－代數(shù)．

定義1．4設(shè)＾H＝（｛＾Hα｝α∈π，｛mα，β｝α，β∈π，u）為π－代數(shù)．給定一簇k－線性映射若還滿足以下條件：①?α∈π，｛＾Hα，Δα，εα｝是k－余代數(shù)；②?α，β∈π，線性映射u：k→＾H1和mα，β：＾Hα?＾Hβ→＾Hαβ均為余代數(shù)同態(tài)；③?α∈π，mα－1，α（＾Sα?id＾Hα）Δα＝uεα＝mα，α－1（id＾Hα?＾Sα）Δα，則稱＾H為Hopfπ－代數(shù)．

注Hopfπ－代數(shù)可以視為通常意義下的Hopf代數(shù)［1］76．

定義1．5設(shè)是一個(gè)π－代數(shù)．若存在一簇向量空間V＝｛Vα｝α∈π以及一簇k－線性映射η＝且 使 得 下 式 成 立：對 于 任 意 的則稱（V，η）為模．

定義1．6設(shè)為Hopfπ－代數(shù)，為一 簇k－ 余 代 數(shù)．若?α，β ∈π，x ∈Cα，h ∈＾Hβ，滿 足 以 下 條 件：①（C，η）是π－＾H－ 模；②則稱（C，η）為＾H 上π－模余代數(shù)或π－＾H－ 模余代數(shù)．

如果Hopfπ－余代數(shù)H ＝｛Hα｝α∈π中的每一個(gè)Hα（?α∈π）都是有限維的向量空間，則稱H 為局部有限維的．類似地可定義局部有限維的π－余模代數(shù)A．以下總設(shè)Hopfπ－余代數(shù)H 是局部有限維的，π－H－余模代數(shù)A 是局部有限維的．

引理1．7［4］707Hopfπ－余代數(shù)的對偶空間H＊＝是一個(gè)Hopfπ－代數(shù)．

引理1．8［10］設(shè)H＝（｛Hα，mα，uα｝α∈π，｛Δα，β｝α，β∈π，ε，｛Sα｝α∈π）為Hopfπ－余代數(shù)，（A，ρ）＝（｛Aα，mα′，uα′｝α∈π，｛ρα，β｝α，β∈π）是π－H－余模代數(shù)，則（A＊，ˉη）＝（｛A＊α，ˉΔα′，ˉεα′｝α∈π，｛ˉηα，β｝α，β∈π）是π－H＊－模余代數(shù)．

2 π－余模右理想

定義2．1設(shè)H＝（｛Hα，mα，uα｝α∈π，｛Δα，β｝α，β∈π，ε，｛Sα｝α∈π）為Hopfπ－余代數(shù)，（A，ρ）為π－H－余模代數(shù)．若I＝｛Iα：Iα?Aα｝α∈π為A 的一簇右理想，且I是A的一個(gè)π－H－子余模（即滿足ρα，β（Iαβ）?Iα?Hβ，?α，β∈π），則稱I是A 的一個(gè)π－H－余模右理想．

定義2．2設(shè)＾H＝（｛＾Hα，Δα，εα｝α∈π，｛mα，β｝α，β∈π，u，｛＾Sα｝α∈π）為Hopfπ－代數(shù)，（C，η）為π－＾H－模余代數(shù)．若J＝｛Jα：Jα?Cα｝α∈π為C 的一簇右余理想，且J 是C 的一個(gè)π－＾H－子模，則稱J 是C 的一個(gè)π－＾H－模右余理想．

設(shè)U＝｛Uα｝α∈π為一簇k－向量空間，V＝｛Vα｜Vα?Uα｝α∈π是一簇k－子空間，記V⊥＝｛V⊥α｝α∈π，其中V⊥α＝｛cα∈U＊α｜〈cα，vα〉＝0，?vα∈Vα｝為U＊α的k－子空間．同樣，若L＝｛Lα｜Lα?U＊α｝α∈π是一簇k－子空間，記L⊥＝｛L⊥α｝α∈π，其中L⊥α＝｛vα∈Uα｜〈lα，vα〉＝0，?lα∈L＊α｝為Uα的k－子空間．

引理2．3設(shè)H 為Hopfπ－余代數(shù)，（U，ρ）為π－H－余模，V 是（U，ρ）的π－H－子余模，則V⊥是（U＊，ˉη）的π－H＊－子模．

證明 對于任意的α，β∈π，f∈U＊α，g∈H＊β，a∈Uαβ，由于Vα是Uα的子空間，故可考慮嵌入映射．為此，設(shè)一簇k－線性映射i＝｛iα｝α∈π，其中iα：Vα→Uα為嵌入映射，顯然i＝｛iα｝α∈π為π－H－余模同態(tài)．考慮一簇映射其中為iα的對偶映射，則有即為π－H＊－模同態(tài)．

引理2．4設(shè)A 是一個(gè)有限維的代數(shù)，則

1）P 是A 的右理想充要條件P⊥是A＊的右余理想；

2）P 是A 的理想充要條件P⊥是A＊的子余代數(shù)．

證明 參考文獻(xiàn)［7］53．

定理2．5設(shè)H 為Hopfπ－余代數(shù)，（A，ρ）是π－H－余模代數(shù)．若I＝｛Iα：Iα?Aα｝α∈π是A 的π－H－余模右理想，則I⊥＝｛I⊥α｝α∈π是（A＊，ˉη）的π－H＊－模右余理想．

證明 由引理2．3和引理2．4可得證．

引理2．6設(shè)H 為Hopfπ－余代數(shù)，（U，ρ）是一個(gè)π－H－余模．若L＝｛Lα：Lα?U＊α｝α∈π是（U＊，ˉη）的一個(gè)π－H＊－子模，則L⊥＝｛L⊥α｝α∈π是（U，ρ）的一個(gè)π－H－子余模．

證明 對于任意的α，β∈π，x∈Uαβ，z∈Lα，g∈H＊β，設(shè)一簇線性映射j＝｛jα｝α∈π，其中jα：Lα→U＊α為嵌入映射．注意到Uα是有限維的，所以U＊α與Uα同構(gòu)．又因?yàn)長 為U＊的π－H＊－子模，故可知｛jα：Lα→U＊α｝α∈π為π－H＊－模同態(tài)．考慮一簇線性映射j＊＝｛j＊α：Uα→L＊α｝α∈π，則有〈z?g，（j＊α?idHβ），即j＊＝｛j＊α｝α∈π為π－H－余模同態(tài)．

又由于L⊥α＝｛x∈Uα｜〈lα，x〉＝0，?lα∈Lα｝，且ker j＊α＝｛x?Uα｜〈lα，x〉＝0，?lα∈Lα｝，即L⊥α＝ker j＊α；再因?yàn)椋╦＊α?idHβ）ρα，β（L⊥αβ）＝ˉρα，βj＊αβ（L⊥αβ）＝0，所以ρα，β（L⊥αβ）?ker（j＊α?idHβ）．而ker（j＊α?idHβ）＝ker j＊α?Hβ＋Uα?ker idHβ＝ker j＊α?Hβ＝L⊥α?Hβ，即因此L⊥是U 的一個(gè)π－H－子余模．

定理2．7設(shè)H 為Hopfπ－余代數(shù)，（A，ρ）是一個(gè)π－H－余模代數(shù)．若J＝｛Jα：Jα?A＊α｝α∈π是（A＊，ˉη）的一個(gè)π－H＊－模右余理想，則J⊥＝｛J⊥α｝α∈π是（A，ρ）的一個(gè)π－H－余模右理想．

證明 由引理2．3和引理2．6可得證．

定理2．8設(shè)H 為Hopfπ－余代數(shù)，（A，ρ）是一個(gè)π－H－余模代數(shù)，則I＝｛Iα：Iα?Aα｝α∈π是（A，ρ）的π－H－余模右理想當(dāng)且僅當(dāng)I⊥＝｛I⊥α｝α∈π是（A＊，ˉη）的π－H＊－模右余理想．

證明 由定理2．5和定理2．7可得證．

3 π－余模理想

定義3．1設(shè)H 為Hopfπ－余代數(shù)，（A，ρ）為π－H－余模代數(shù)．若I＝｛Iα：Iα?Aα｝α∈π是A 的一簇理想，且I是（A，ρ）的一個(gè)π－H－子余模，則稱I是（A，ρ）的一個(gè)π－H－余模理想．

定義3．2設(shè)＾H 為Hopfπ－代數(shù)，（C，η）為π－＾H－模余代數(shù)．若J＝｛Jα：Jα?Cα｝α∈π是C 的一簇子余代數(shù)，并且J 是（C，η）的一個(gè)π－＾H－子模，則稱J 是（C，η）的一個(gè)π－＾H－模子余代數(shù)．

定理3．3設(shè)H 為Hopfπ－余代數(shù)，（A，ρ）是π－H－余模代數(shù)．若I＝｛Iα：Iα?Aα｝α∈π是A 的π－H－余模理想，則I⊥＝｛I⊥α｝α∈π是A＊的π－H＊－模子余代數(shù)．

證明 由引理2．3和引理2．4之2）可得證．

定理3．4設(shè)H 為Hopfπ－余代數(shù)，（A，ρ）是一個(gè)π－H－余模代數(shù)．若J＝｛Jα：Jα?A＊α｝α∈π是（A＊，ˉη）的一個(gè)π－H＊－模子余代數(shù)，則J⊥＝｛J⊥α｝α∈π是（A，ρ）的一個(gè)π－H－余模理想．

證明 注意到J⊥⊥α＝J⊥α，?α∈π，再由引理2．4和引理2．6可得證．

定理3．5設(shè)H 為Hopfπ－余代數(shù)，（A，ρ）是一個(gè)π－H－余模代數(shù)，則I＝｛Iα：Iα?Aα｝α∈π是（A，ρ）的π－H－余模理想當(dāng)且僅當(dāng)I⊥＝｛I⊥α｝α∈π是（A＊，ˉη）的π－H＊－模子余代數(shù)．

證明 由定理3．3和定理3．4可得證．

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