丁寅

我們?cè)谘芯亢徒鉀Q有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)常常采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，一般總是將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題，將難解的問題轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題，這就是化歸思想的應(yīng)用.

1. 非特殊角的問題轉(zhuǎn)化成特殊角問題

30°、45°、60°的角稱為特殊角，特殊角的三角函數(shù)值容易計(jì)算，用在解決問題中就很方便. 除此以外的某些非特殊角可以通過構(gòu)造的方法，將它們轉(zhuǎn)化成特殊角的和、差、倍、分，從而借助特殊角的三角函數(shù)值解決問題.

例1 求15°角的正切、正弦和余弦.

【解析】如圖1，△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，在AC上取一點(diǎn)D，使得AD=BD，則∠BDC=30°. 設(shè)BC=1，則CD=，AD=BD=2，由勾股定理可得AB=+.

所以可得tan15°===2-；sin15°===；

cos15°===.

2. 斜三角形轉(zhuǎn)化成直角三角形

直角三角形中除直角外的5個(gè)元素（2個(gè)銳角、3條邊），已知其中的兩個(gè)元素（至少有一邊），就可以求出其余3個(gè)元素. 若三角形為斜三角形，可以通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，將斜三角形轉(zhuǎn)化成直角三角形，從而運(yùn)用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決斜三角形的問題.

例2 （2013·十堰）如圖2，在小山的東側(cè)A點(diǎn)有一個(gè)熱氣球，由于受西風(fēng)的影響，以30米/分的速度沿與地面成75°角的方向飛行，25分鐘后到達(dá)C處，此時(shí)熱氣球上的人測(cè)得小山西側(cè)B點(diǎn)的俯角為30°，則小山東西兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間的距離為______米（保留根號(hào)）.

【解析】本題中的△ABC為鈍角三角形，但易得∠B=30°，∠C=45°，均為特殊角，容易想到過點(diǎn)A向BC作垂線段AD，構(gòu)造Rt△ABD、Rt△ACD. 因?yàn)樵赗t△ACD中， AC=30×25=750，∠C=45°，所以AD==375. 又因?yàn)樵赗t△ABD中，AD=375，∠B=30°，所以AB=2AD=750. 即A，B兩點(diǎn)間的距離為750米.

銳角三角函數(shù)中的各種數(shù)學(xué)思想需要同學(xué)們?cè)诓煌慕虒W(xué)內(nèi)容中提煉、總結(jié)與應(yīng)用，只有經(jīng)歷這樣的過程，才能“悟”出數(shù)學(xué)知識(shí)、技能中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.

（作者單位：蘇州市草橋中學(xué)校）

我們?cè)谘芯亢徒鉀Q有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)常常采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，一般總是將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題，將難解的問題轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題，這就是化歸思想的應(yīng)用.

1. 非特殊角的問題轉(zhuǎn)化成特殊角問題

30°、45°、60°的角稱為特殊角，特殊角的三角函數(shù)值容易計(jì)算，用在解決問題中就很方便. 除此以外的某些非特殊角可以通過構(gòu)造的方法，將它們轉(zhuǎn)化成特殊角的和、差、倍、分，從而借助特殊角的三角函數(shù)值解決問題.

例1 求15°角的正切、正弦和余弦.

【解析】如圖1，△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，在AC上取一點(diǎn)D，使得AD=BD，則∠BDC=30°. 設(shè)BC=1，則CD=，AD=BD=2，由勾股定理可得AB=+.

所以可得tan15°===2-；sin15°===；

cos15°===.

2. 斜三角形轉(zhuǎn)化成直角三角形

直角三角形中除直角外的5個(gè)元素（2個(gè)銳角、3條邊），已知其中的兩個(gè)元素（至少有一邊），就可以求出其余3個(gè)元素. 若三角形為斜三角形，可以通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，將斜三角形轉(zhuǎn)化成直角三角形，從而運(yùn)用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決斜三角形的問題.

例2 （2013·十堰）如圖2，在小山的東側(cè)A點(diǎn)有一個(gè)熱氣球，由于受西風(fēng)的影響，以30米/分的速度沿與地面成75°角的方向飛行，25分鐘后到達(dá)C處，此時(shí)熱氣球上的人測(cè)得小山西側(cè)B點(diǎn)的俯角為30°，則小山東西兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間的距離為______米（保留根號(hào)）.

【解析】本題中的△ABC為鈍角三角形，但易得∠B=30°，∠C=45°，均為特殊角，容易想到過點(diǎn)A向BC作垂線段AD，構(gòu)造Rt△ABD、Rt△ACD. 因?yàn)樵赗t△ACD中， AC=30×25=750，∠C=45°，所以AD==375. 又因?yàn)樵赗t△ABD中，AD=375，∠B=30°，所以AB=2AD=750. 即A，B兩點(diǎn)間的距離為750米.

銳角三角函數(shù)中的各種數(shù)學(xué)思想需要同學(xué)們?cè)诓煌慕虒W(xué)內(nèi)容中提煉、總結(jié)與應(yīng)用，只有經(jīng)歷這樣的過程，才能“悟”出數(shù)學(xué)知識(shí)、技能中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.

（作者單位：蘇州市草橋中學(xué)校）

我們?cè)谘芯亢徒鉀Q有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)常常采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，一般總是將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題，將難解的問題轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題，這就是化歸思想的應(yīng)用.

1. 非特殊角的問題轉(zhuǎn)化成特殊角問題

30°、45°、60°的角稱為特殊角，特殊角的三角函數(shù)值容易計(jì)算，用在解決問題中就很方便. 除此以外的某些非特殊角可以通過構(gòu)造的方法，將它們轉(zhuǎn)化成特殊角的和、差、倍、分，從而借助特殊角的三角函數(shù)值解決問題.

例1 求15°角的正切、正弦和余弦.

【解析】如圖1，△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，在AC上取一點(diǎn)D，使得AD=BD，則∠BDC=30°. 設(shè)BC=1，則CD=，AD=BD=2，由勾股定理可得AB=+.

所以可得tan15°===2-；sin15°===；

cos15°===.

2. 斜三角形轉(zhuǎn)化成直角三角形

直角三角形中除直角外的5個(gè)元素（2個(gè)銳角、3條邊），已知其中的兩個(gè)元素（至少有一邊），就可以求出其余3個(gè)元素. 若三角形為斜三角形，可以通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，將斜三角形轉(zhuǎn)化成直角三角形，從而運(yùn)用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決斜三角形的問題.

例2 （2013·十堰）如圖2，在小山的東側(cè)A點(diǎn)有一個(gè)熱氣球，由于受西風(fēng)的影響，以30米/分的速度沿與地面成75°角的方向飛行，25分鐘后到達(dá)C處，此時(shí)熱氣球上的人測(cè)得小山西側(cè)B點(diǎn)的俯角為30°，則小山東西兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間的距離為______米（保留根號(hào)）.

【解析】本題中的△ABC為鈍角三角形，但易得∠B=30°，∠C=45°，均為特殊角，容易想到過點(diǎn)A向BC作垂線段AD，構(gòu)造Rt△ABD、Rt△ACD. 因?yàn)樵赗t△ACD中， AC=30×25=750，∠C=45°，所以AD==375. 又因?yàn)樵赗t△ABD中，AD=375，∠B=30°，所以AB=2AD=750. 即A，B兩點(diǎn)間的距離為750米.

銳角三角函數(shù)中的各種數(shù)學(xué)思想需要同學(xué)們?cè)诓煌慕虒W(xué)內(nèi)容中提煉、總結(jié)與應(yīng)用，只有經(jīng)歷這樣的過程，才能“悟”出數(shù)學(xué)知識(shí)、技能中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.

（作者單位：蘇州市草橋中學(xué)校）