素人

解直角三角形是近年來各地中考命題的熱點(diǎn)之一，其內(nèi)容包括銳角三角函數(shù)和解直角三角形的應(yīng)用兩大塊，題目的類型大多涉及距離、高度、角度等的計(jì)算. 對于一些實(shí)際問題，還要求大家能根據(jù)題目信息，畫出圖形，建立模型，并用解直角三角形的知識加以解決.

例1 （2013·湖北鄂州）如圖1，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，若BD∶CD=3∶2，則tanB=（ ）.

A. B.

C. D.

【解答】由題意，BD∶CD=3∶2，可設(shè)BD=3k，CD=2k（設(shè)k法）.

在Rt△ABC中，∠A=90°，

∵AD⊥BC于點(diǎn)D，∴AD2=BD·CD=6k2，

即AD=k.

在Rt△ABD中，tanB===. 故選D.

【評析】在本題中，要求tanB的值，可將∠B放在Rt△ABC中，求；也可將∠B放在Rt△ABD中，求. 甚至可利用∠B=∠CAD，轉(zhuǎn)化成求tan∠CAD. 最終的選擇，可由計(jì)算量的大小決定.

例2 （2013·山東萊蕪）如圖2，有一艘漁船在捕魚作業(yè)時(shí)出現(xiàn)故障，急需搶修，調(diào)度中心通知附近兩個(gè)小島A、B上的觀測點(diǎn)進(jìn)行觀測，從A島測得漁船在南偏東37°方向的C處，B島在南偏東66°方向，從B島測得漁船在正西方向，已知兩個(gè)小島間的距離是72海里，A島上維修船的速度為每小時(shí)20海里，B島上維修船的速度為每小時(shí)28.8海里，為及時(shí)趕到維修，問調(diào)度中心應(yīng)該派遣哪個(gè)島上的維修船？（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin66°≈0.9，cos66°≈0.4）

【解答】過A作AD⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)D，如圖3.

在Rt△ADB中，cos∠BAD=，即cos66°=，∴AD=72·cos66°≈72×0.4=28.8（海里）.

sin∠BAD=，即sin66°=，∴BD=72·sin66°≈72×0.9=64.8（海里）.

在Rt△ADC中，cos∠CAD=，即cos37°=，∴AC=≈=36（海里）.

sin∠CAD=，即sin37°=，∴CD=36·sin37°≈36×0.6=21.6（海里）.

∴BC=BD-CD=64.8-21.6=43.2（海里）.

A島上維修船需要時(shí)間tA===1.8（小時(shí)）.

B島上維修船需要時(shí)間tB===1.5（小時(shí)）.

∵tA>tB，

∴調(diào)度中心應(yīng)該派遣B島上的維修船.

【評析】利用解直角三角形的知識解決實(shí)際問題，首先要弄清楚仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有關(guān)概念的含義，然后將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，并根據(jù)題意畫出幾何圖形，將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系在圖形中反映出來. 然后通過分析幾何圖形得到邊與角之間的關(guān)系，通過數(shù)與形的結(jié)合經(jīng)歷計(jì)算、推理等方式解直角三角形，使實(shí)際問題得到解決.

例5 （2013·江蘇泰州）如圖4，為了測量山頂鐵塔AE的高，小明在27 m高的樓CD底部D測得塔頂A的仰角為45°，在樓頂C測得塔頂A的仰角36°52′. 已知山高BE為56 m，樓的底部D與山腳在同一水平線上，求該鐵塔的高AE.（參考數(shù)據(jù)：sin36°52′≈0.6，tan36°52′≈0.75）

【解答】如圖4，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F， 設(shè)塔高AE=x.

由題意得，EF=BE-CD=56-27=29（m），AF=AE+EF=（x+29） m，AB=（x+56） m.

在Rt△AFC中，tan∠ACF=，即tan36°52′=≈0.75，∴CF=（x+29）.

在Rt△ABD中，tan∠ADB=，即tan45°==1，∴DB=x+56.

∵CF=DB，∴（x+29）=x+56. 解得x=52.

答：該鐵塔的高AE為52 m.

【評析】在一些復(fù)雜的問題中，不能直接通過解直角三角形得出結(jié)論時(shí)，可考慮引入未知數(shù)，借助方程加以解決. 同時(shí)需了解幾何圖形中，常見的建立方程的方法有：①勾股定理；②相似中的比例等式；③同角（或等角）的同種三角函數(shù)值相等；④圖形中提供的（或隱含的）線段相等.

（作者單位：蘇州市立達(dá)中學(xué)校）

解直角三角形是近年來各地中考命題的熱點(diǎn)之一，其內(nèi)容包括銳角三角函數(shù)和解直角三角形的應(yīng)用兩大塊，題目的類型大多涉及距離、高度、角度等的計(jì)算. 對于一些實(shí)際問題，還要求大家能根據(jù)題目信息，畫出圖形，建立模型，并用解直角三角形的知識加以解決.

例1 （2013·湖北鄂州）如圖1，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，若BD∶CD=3∶2，則tanB=（ ）.

A. B.

C. D.

【解答】由題意，BD∶CD=3∶2，可設(shè)BD=3k，CD=2k（設(shè)k法）.

在Rt△ABC中，∠A=90°，

∵AD⊥BC于點(diǎn)D，∴AD2=BD·CD=6k2，

即AD=k.

在Rt△ABD中，tanB===. 故選D.

【評析】在本題中，要求tanB的值，可將∠B放在Rt△ABC中，求；也可將∠B放在Rt△ABD中，求. 甚至可利用∠B=∠CAD，轉(zhuǎn)化成求tan∠CAD. 最終的選擇，可由計(jì)算量的大小決定.

例2 （2013·山東萊蕪）如圖2，有一艘漁船在捕魚作業(yè)時(shí)出現(xiàn)故障，急需搶修，調(diào)度中心通知附近兩個(gè)小島A、B上的觀測點(diǎn)進(jìn)行觀測，從A島測得漁船在南偏東37°方向的C處，B島在南偏東66°方向，從B島測得漁船在正西方向，已知兩個(gè)小島間的距離是72海里，A島上維修船的速度為每小時(shí)20海里，B島上維修船的速度為每小時(shí)28.8海里，為及時(shí)趕到維修，問調(diào)度中心應(yīng)該派遣哪個(gè)島上的維修船？（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin66°≈0.9，cos66°≈0.4）

【解答】過A作AD⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)D，如圖3.

在Rt△ADB中，cos∠BAD=，即cos66°=，∴AD=72·cos66°≈72×0.4=28.8（海里）.

sin∠BAD=，即sin66°=，∴BD=72·sin66°≈72×0.9=64.8（海里）.

在Rt△ADC中，cos∠CAD=，即cos37°=，∴AC=≈=36（海里）.

sin∠CAD=，即sin37°=，∴CD=36·sin37°≈36×0.6=21.6（海里）.

∴BC=BD-CD=64.8-21.6=43.2（海里）.

A島上維修船需要時(shí)間tA===1.8（小時(shí)）.

B島上維修船需要時(shí)間tB===1.5（小時(shí)）.

∵tA>tB，

∴調(diào)度中心應(yīng)該派遣B島上的維修船.

【評析】利用解直角三角形的知識解決實(shí)際問題，首先要弄清楚仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有關(guān)概念的含義，然后將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，并根據(jù)題意畫出幾何圖形，將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系在圖形中反映出來. 然后通過分析幾何圖形得到邊與角之間的關(guān)系，通過數(shù)與形的結(jié)合經(jīng)歷計(jì)算、推理等方式解直角三角形，使實(shí)際問題得到解決.

例5 （2013·江蘇泰州）如圖4，為了測量山頂鐵塔AE的高，小明在27 m高的樓CD底部D測得塔頂A的仰角為45°，在樓頂C測得塔頂A的仰角36°52′. 已知山高BE為56 m，樓的底部D與山腳在同一水平線上，求該鐵塔的高AE.（參考數(shù)據(jù)：sin36°52′≈0.6，tan36°52′≈0.75）

【解答】如圖4，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F， 設(shè)塔高AE=x.

由題意得，EF=BE-CD=56-27=29（m），AF=AE+EF=（x+29） m，AB=（x+56） m.

在Rt△AFC中，tan∠ACF=，即tan36°52′=≈0.75，∴CF=（x+29）.

在Rt△ABD中，tan∠ADB=，即tan45°==1，∴DB=x+56.

∵CF=DB，∴（x+29）=x+56. 解得x=52.

答：該鐵塔的高AE為52 m.

【評析】在一些復(fù)雜的問題中，不能直接通過解直角三角形得出結(jié)論時(shí)，可考慮引入未知數(shù)，借助方程加以解決. 同時(shí)需了解幾何圖形中，常見的建立方程的方法有：①勾股定理；②相似中的比例等式；③同角（或等角）的同種三角函數(shù)值相等；④圖形中提供的（或隱含的）線段相等.

（作者單位：蘇州市立達(dá)中學(xué)校）

解直角三角形是近年來各地中考命題的熱點(diǎn)之一，其內(nèi)容包括銳角三角函數(shù)和解直角三角形的應(yīng)用兩大塊，題目的類型大多涉及距離、高度、角度等的計(jì)算. 對于一些實(shí)際問題，還要求大家能根據(jù)題目信息，畫出圖形，建立模型，并用解直角三角形的知識加以解決.

例1 （2013·湖北鄂州）如圖1，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，若BD∶CD=3∶2，則tanB=（ ）.

A. B.

C. D.

【解答】由題意，BD∶CD=3∶2，可設(shè)BD=3k，CD=2k（設(shè)k法）.

在Rt△ABC中，∠A=90°，

∵AD⊥BC于點(diǎn)D，∴AD2=BD·CD=6k2，

即AD=k.

在Rt△ABD中，tanB===. 故選D.

【評析】在本題中，要求tanB的值，可將∠B放在Rt△ABC中，求；也可將∠B放在Rt△ABD中，求. 甚至可利用∠B=∠CAD，轉(zhuǎn)化成求tan∠CAD. 最終的選擇，可由計(jì)算量的大小決定.

例2 （2013·山東萊蕪）如圖2，有一艘漁船在捕魚作業(yè)時(shí)出現(xiàn)故障，急需搶修，調(diào)度中心通知附近兩個(gè)小島A、B上的觀測點(diǎn)進(jìn)行觀測，從A島測得漁船在南偏東37°方向的C處，B島在南偏東66°方向，從B島測得漁船在正西方向，已知兩個(gè)小島間的距離是72海里，A島上維修船的速度為每小時(shí)20海里，B島上維修船的速度為每小時(shí)28.8海里，為及時(shí)趕到維修，問調(diào)度中心應(yīng)該派遣哪個(gè)島上的維修船？（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin66°≈0.9，cos66°≈0.4）

【解答】過A作AD⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)D，如圖3.

在Rt△ADB中，cos∠BAD=，即cos66°=，∴AD=72·cos66°≈72×0.4=28.8（海里）.

sin∠BAD=，即sin66°=，∴BD=72·sin66°≈72×0.9=64.8（海里）.

在Rt△ADC中，cos∠CAD=，即cos37°=，∴AC=≈=36（海里）.

sin∠CAD=，即sin37°=，∴CD=36·sin37°≈36×0.6=21.6（海里）.

∴BC=BD-CD=64.8-21.6=43.2（海里）.

A島上維修船需要時(shí)間tA===1.8（小時(shí)）.

B島上維修船需要時(shí)間tB===1.5（小時(shí)）.

∵tA>tB，

∴調(diào)度中心應(yīng)該派遣B島上的維修船.

【評析】利用解直角三角形的知識解決實(shí)際問題，首先要弄清楚仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有關(guān)概念的含義，然后將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，并根據(jù)題意畫出幾何圖形，將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系在圖形中反映出來. 然后通過分析幾何圖形得到邊與角之間的關(guān)系，通過數(shù)與形的結(jié)合經(jīng)歷計(jì)算、推理等方式解直角三角形，使實(shí)際問題得到解決.

例5 （2013·江蘇泰州）如圖4，為了測量山頂鐵塔AE的高，小明在27 m高的樓CD底部D測得塔頂A的仰角為45°，在樓頂C測得塔頂A的仰角36°52′. 已知山高BE為56 m，樓的底部D與山腳在同一水平線上，求該鐵塔的高AE.（參考數(shù)據(jù)：sin36°52′≈0.6，tan36°52′≈0.75）

【解答】如圖4，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F， 設(shè)塔高AE=x.

由題意得，EF=BE-CD=56-27=29（m），AF=AE+EF=（x+29） m，AB=（x+56） m.

在Rt△AFC中，tan∠ACF=，即tan36°52′=≈0.75，∴CF=（x+29）.

在Rt△ABD中，tan∠ADB=，即tan45°==1，∴DB=x+56.

∵CF=DB，∴（x+29）=x+56. 解得x=52.

答：該鐵塔的高AE為52 m.

【評析】在一些復(fù)雜的問題中，不能直接通過解直角三角形得出結(jié)論時(shí)，可考慮引入未知數(shù)，借助方程加以解決. 同時(shí)需了解幾何圖形中，常見的建立方程的方法有：①勾股定理；②相似中的比例等式；③同角（或等角）的同種三角函數(shù)值相等；④圖形中提供的（或隱含的）線段相等.

（作者單位：蘇州市立達(dá)中學(xué)校）