胡少青，鞠玉濤，韋 震，周長省

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094)

0 引言

HTPB彈性體是端羥基聚丁二烯與環(huán)氧類、有機(jī)二元酸或二異氰酸酯等固化劑反應(yīng)生成的一種聚氨酯，以其良好的力學(xué)及工藝性能，廣泛用于復(fù)合推進(jìn)劑的粘合劑，固體推進(jìn)劑耐燒蝕包覆材料[1]等。此外，還用于隔振材料、密封材料等方面。掌握其力學(xué)性能及本構(gòu)模型是深入研究和應(yīng)用這類復(fù)合材料的基礎(chǔ)。

近年來，一些學(xué)者對聚氨酯材料的本構(gòu)模型有了一定的研究。Shu L H[2]及劉柏峰等[3]在研究聚氨酯隔振器的靜態(tài)力學(xué)響應(yīng)時，忽略了聚氨酯材料的粘性特征，將其假設(shè)為超彈性材料，用含應(yīng)變能的超彈性模型來表示材料的力學(xué)特性，但該模型不能適應(yīng)動態(tài)狀況下聚氨酯材料的力學(xué)性能的描述。Yang L M[4-7]等相繼提出的適應(yīng)于橡膠材料的粘-超彈本構(gòu)模型，這類本構(gòu)模型多用于描述材料在高應(yīng)變率下的動態(tài)力學(xué)性能；Pawlikowski M[8]成功地將粘-超彈本構(gòu)模型成功的應(yīng)用于聚氨酯納米復(fù)合的研究中。HTPB彈性體是較為常用的聚氨酯材料，在低應(yīng)變率下不僅具有超彈性，而且其粘彈性特征也較顯著。目前，關(guān)于HTPB彈性體靜態(tài)及準(zhǔn)靜態(tài)下的粘-超彈本構(gòu)模型研究較少。因此，本文開展了HTPB彈性體在靜態(tài)及準(zhǔn)靜態(tài)下的粘-超彈性本構(gòu)模型的研究，以期為這類材料設(shè)計及研究提供依據(jù)。

1 HTPB彈性體粘-超彈性本構(gòu)模型建立

HTPB彈性體屬于橡膠類材料，在建立這類材料粘-超彈本構(gòu)模型時常用超彈性模型與粘彈性模型組合的方法。因此，合理選擇粘彈性和超彈性模型及建立準(zhǔn)確的模型參數(shù)求解方法，是保證模型準(zhǔn)確性的關(guān)鍵。

1.1 超彈性本構(gòu)模型

聚氨酯彈性體同其他橡膠類材料一樣可認(rèn)為不可壓材料。常用的超彈模型有Neo-Hookean模型、Mooney-Rivlin模型、Yeoh模型、Ogden模型等。Yeoh模型的剪切模量是隨應(yīng)變的變化而變化，簡單變形可用于預(yù)測其他變形形式的力學(xué)性能，模型適應(yīng)較寬泛的變形范圍，同時模型只考慮不變量I1對應(yīng)變能函數(shù)的影響[9]，形式簡單，有利于有限元的應(yīng)用。因此，本文的超彈性本構(gòu)模型選用Yeoh模型。

在單軸加載下，設(shè)加載方向上的伸長比為λ，由于材料不可壓，故三向主伸長比為λ1=λ，λ2=λ3=λ-1/2。則變形梯度張量F及左Cauchy應(yīng)變張量為

(1)

B的第一不變量：

I1=tr(B)=λ2+2λ-1

(2)

因此，在單軸加載條件下，HTPB彈性體超彈性特征本文采用式(3)，基于Yeoh應(yīng)變能函數(shù)的不可壓各向同性彈性固體的超彈性本構(gòu)模型表達(dá)[9]:

(3)

1.2 粘彈性本構(gòu)模型

粘彈性材料的顯著特點(diǎn)是應(yīng)力應(yīng)變的率相關(guān)性與加載歷史相關(guān)性，對于各向同性不可壓材料的粘彈性本構(gòu)可表示為[3-4]

(4)

式中σv為Cauchy應(yīng)力張量；pv為不可壓作為一種約束產(chǎn)生的靜水壓力；C為右Cauchy變形張量C=FT·F；Ω為描述應(yīng)變歷史對應(yīng)力影響的張量泛函，是坐標(biāo)系無關(guān)量，可寫為

(5)

(6)

式中θi為松弛時間；N為Prony級數(shù)的階數(shù)，N越大，模型就越逼近真實(shí)的材料特性。

松弛時間與微觀結(jié)構(gòu)相關(guān)，一個試驗中的材料松弛時間取決于加載時間與加載速率。Yang L M認(rèn)為，上述粘彈性模型中的一個松弛時間可準(zhǔn)確描述2個數(shù)量級的應(yīng)變率[4]。對于HTPB彈性體，在靜態(tài)及準(zhǔn)靜態(tài)下主要表現(xiàn)為超彈性，粘彈性對其力學(xué)性能影響較一般粘彈性材料小。若直接像一般粘彈性本構(gòu)中取N=6～10，則會造成模型的復(fù)雜程度增加，不利于模型的擬合，也不利于工程數(shù)值仿真的應(yīng)用，且對于模型精度的提高并不顯著。為了簡化模型，本文在構(gòu)建HTPB彈性體粘彈性本構(gòu)模型時，取N=1。

(7)

由式(5)～(7)，不考慮加載前的效應(yīng)，可得

(8)

則HTPB彈性體粘彈性特征可用式(9)表達(dá)：

(9)

1.3 粘-超彈性本構(gòu)模型的建立

在建立HTPB彈性體粘-超彈性本構(gòu)模型時，同樣認(rèn)為材料由超彈性單元和粘彈性單元并聯(lián)組合而成，故其總的應(yīng)力：

σ=σh+σv

(10)

軸向應(yīng)力：

(11)

將式(3)、式(9)代入式(11)，得一維狀況下的HTPB粘-超彈本構(gòu)模型：

σ11=2(λ2-λ-1)[C10+2C20(I1-3)+3C30(I1-3)2]-

(12)

(13)

代入式(12)，可得

σ11= 2(λ2-λ-1)[C10+2C20(I1-3)+3C30(I1-3)2]+

(14)

σ11為Cauchy(真實(shí))應(yīng)力，單軸加載情況下：

σ11=λP11

(15)

式中P11為工程應(yīng)力；λ=1+ε11，ε11為加載方向上工程應(yīng)變。

在單軸拉伸時，本構(gòu)的兩部分均有響應(yīng)，理論上可用拉伸曲線擬合全部參數(shù)。但本構(gòu)中參數(shù)較多，數(shù)學(xué)方程復(fù)雜，可能會出現(xiàn)多解狀況，而造成參數(shù)或模型失去物理意義。由于這一本構(gòu)模型在松弛試驗應(yīng)變保持階段，模型中的超彈部分應(yīng)力不變，松弛特性只與粘彈部分有關(guān)。所以，可用松弛實(shí)驗結(jié)果擬合模型中的與粘彈特性相關(guān)的參數(shù)A1、A2、θ，再利用單軸等速拉伸實(shí)驗結(jié)果擬合模型中與超彈特性相關(guān)的參數(shù)C10、C20、C30。這樣，可保證模型參數(shù)獲取的精度及物理意義。

2 材料制備及實(shí)驗方法

HTPB的彈性體的配方及工藝過程對材料的力學(xué)性能影響較大。本文采用的配方為：工業(yè)級HTPB、分析純異弗爾酮二異氰酸酯(IPDI)；固化參數(shù)R(—OCH/—OH)=1.05。固化工藝為：準(zhǔn)確稱量后，先將IPDI和HTPB加入燒瓶中預(yù)混，再放入(40±1)℃的恒溫水浴中真空狀況下攪拌30 min，然后澆注到預(yù)先涂硅橡膠及二甲基硅油為脫模劑的模具中，模具尺寸為100 mm×20 mm×8 mm，放入70 ℃干燥保溫箱中，保持真空度0.1 MPa，固化168 h。

HTPB/IPDI彈性體較軟，直接進(jìn)行夾持實(shí)驗，會造成試件兩端產(chǎn)生較大的擠壓變形，影響實(shí)驗結(jié)果。松弛實(shí)驗中，在應(yīng)變保持階段，試件兩端會發(fā)生一定的流動，導(dǎo)致“偽松弛現(xiàn)象”，即實(shí)驗測得應(yīng)力松弛有一部分是由于流動引起的應(yīng)變減小導(dǎo)致的，同時使松弛時間增大。這種流動在試驗中很難避免，只能改善實(shí)驗方法減小流動。增加試件的長度可以有效減小流動的影響。改善夾持方法也可提高實(shí)驗的準(zhǔn)確性，本文采用木板框架的粘接夾持方法，如圖1所示。

圖1 試件示意圖及膠片實(shí)物圖

HTPB彈性體由A、B兩種板材組合粘接夾持，試驗機(jī)夾具夾持A面及相對面，B板可起到支撐作用，防止試件在加持力的作用下，產(chǎn)生較大變形。

采用微機(jī)控制電子萬能材料試驗機(jī)在室溫30 ℃、濕度34%的環(huán)境下，以12.5、25、100 mm/min的拉伸速率，分別對試件進(jìn)行單軸等速拉伸實(shí)驗；在拉伸速率為100 mm/min的速率下，拉伸到應(yīng)變?yōu)?時，應(yīng)變保持600 s，得到材料的松弛特性。實(shí)驗結(jié)果為5個試件的平均值。

3 試驗結(jié)果及分析

3.1 松弛實(shí)驗結(jié)果分析

理想的松弛實(shí)驗要求在t=0時給試件加載階躍應(yīng)變，但實(shí)際試驗中，瞬間達(dá)到ε0是不可能的，如圖2所示。

圖2 松弛試驗應(yīng)變實(shí)際加載過程

實(shí)際加載過程數(shù)學(xué)模型：

(16)

對于模量較大粘彈性材料，在松弛試驗中，由于實(shí)驗加載上升段的時間t0很小，因而可忽略加載段對松弛試驗結(jié)果的影響，而假設(shè)t0=0，對于HTPB材料而言，其模量較低，粘彈性特征在低應(yīng)變率下沒有典型粘彈性材料顯著，減小松弛試驗的ε0，可減小t0的影響，但會使試驗中松弛響應(yīng)測量結(jié)果誤差較大。增大ε0，勢必造成t0的增大，使加載段影響松弛結(jié)果，而不能用松弛函數(shù)直接擬合。為了解決實(shí)際加載過程中加載段對松弛模量引起的誤差。本文利用所提出的本構(gòu)方程，可求得材料在上述加載條件下的應(yīng)力響應(yīng)，進(jìn)而將這一影響消除。

在加載段，t

σ11= 2(λ2-λ-1)[C10I1+2C20(I1-3)+3C30(I1-3)2]+

(17)

當(dāng)t≥t0時，可得松弛階段應(yīng)力響應(yīng)函數(shù)為

(18)

式中σ∞為材料在單軸等速拉伸到ε0的超彈響應(yīng)，λ0=1+ε0。

利用式(18)可對松弛試驗結(jié)果進(jìn)行擬合，進(jìn)而獲取本構(gòu)模型參數(shù)A1、A2、θ及σ∞，參數(shù)擬合結(jié)果見表1，擬合結(jié)果與實(shí)驗結(jié)果如圖3所示。

圖3 松弛曲線試驗及理論結(jié)果

由圖3可看出，HTPB/IPDI彈性體在應(yīng)變保持階段初期松弛較快，但隨著時間的增加，松弛速度逐漸降低，到600 s時應(yīng)力已趨于平穩(wěn)。本構(gòu)模型擬合結(jié)果基本反映了材料的松弛特性，實(shí)驗曲線的偏差主要表現(xiàn)在松弛曲線由快速松弛向趨于穩(wěn)定的過渡階段。這是由于松弛函數(shù)階數(shù)較少導(dǎo)致的，但其擬合精度較文獻(xiàn)[4]所用本構(gòu)模型擬合精度有了大幅提高，同時并未增加模型的復(fù)雜程度?？傊ㄟ^對上述松弛模型和擬合方法的改進(jìn)，保證了在靜態(tài)和準(zhǔn)靜態(tài)條件下材料粘彈性特征的描述精度，確保了本構(gòu)模型中參數(shù)的物理意義。

3.2 拉伸試驗結(jié)果分析

本構(gòu)中的參數(shù)C10、C20、C30可用單軸拉伸曲線擬合，擬合方程為式(17)，參數(shù)A1、A2、θ用松弛試驗擬合的結(jié)果，對拉伸速率為12.5 mm/min的實(shí)驗結(jié)果進(jìn)行擬合，參數(shù)擬合結(jié)果見表1。

將表1中參數(shù)代入式(17)，可預(yù)測不同拉伸速率下HTPB/IPDI彈性體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。圖4為拉伸速率為12.5、25、100 mm/min時的實(shí)驗結(jié)果與本構(gòu)模型所得結(jié)果的對比。由圖4可看出，HTPB/IPDI彈性體的力學(xué)性能具有一定的率相關(guān)性，這與松弛特性所反應(yīng)的粘彈特性是一致的；在初始階段應(yīng)力上升較快，隨應(yīng)變增加材料開始軟化，模量減低。試驗后發(fā)現(xiàn)，試驗試件可完全恢復(fù)形貌，且完全恢復(fù)后，其幾何尺寸沒有顯著變化，且粘彈性特征在小變形下不及大變形下明顯。這也說明在小變形和短時間加載條件下HTPB/IPDI彈性體可直接用超彈性本構(gòu)模型而忽略其粘彈性特征，但在大變形及長時間加載下其粘彈性特征是不能忽略的。所以，本文對HTPB/IPDI所做的粘-超彈性假設(shè)是合理的，預(yù)測結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)吻合較好,說明所建的本構(gòu)模型能準(zhǔn)確反映HTPB/IPDI彈性體在單軸加載下的粘-超彈性力學(xué)性能。

表1 本構(gòu)中各參數(shù)擬合結(jié)果

圖4 應(yīng)力-工程應(yīng)變曲線實(shí)驗與預(yù)測結(jié)果

盡管如此，模型與實(shí)驗數(shù)據(jù)存在著一定偏差，主要是由于2個原因造成的。一方面，在超彈本構(gòu)模型中，應(yīng)變能函數(shù)選用Yeoh模型，而Yeoh模型忽略了I2對應(yīng)變能的影響，盡管有部分影響折算到I1中，但這種假設(shè)仍會造成模型的誤差[9]。另一方面，如上所述，是松弛函數(shù)導(dǎo)致的。

4 結(jié)論

(1)實(shí)驗結(jié)果顯示，在靜態(tài)及準(zhǔn)靜態(tài)加載下，HTPB/IPDI彈性體材料的率相關(guān)性及松弛特性明顯，材料具有顯著的粘彈性特征，加之材料的變形量較大，說明具有典型的粘-超彈性材料的特征。

(2)所建立的HTPB彈性體粘超彈性本構(gòu)模型，由超彈與粘彈兩部分組成；用松弛試驗對粘彈部分的參數(shù)進(jìn)行擬合，其他參數(shù)用速率為12.5 mm/min的拉伸曲線進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果與實(shí)驗結(jié)果吻合較好。

(3)用擬合所得的參數(shù)，預(yù)測25 mm/min及100 mm/min下的單軸拉伸的實(shí)驗結(jié)果，預(yù)測結(jié)果與實(shí)驗結(jié)果吻合較好，說明本文所建立的模型能夠較好地用于HTPB彈性體在有限變形下的力學(xué)性能描述中。

(4)所建立的本構(gòu)模型較現(xiàn)有文獻(xiàn)中應(yīng)用的模型簡單，用不同的實(shí)驗結(jié)果擬合不同的參數(shù)，求解過程物理意義明確，適用于在該類材料研究及設(shè)計中的工程數(shù)值仿真應(yīng)用。

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