陳穎

數(shù)學概念是反映現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系的本質屬性的思維形式，是對一類數(shù)學對象的本質屬性的反映。數(shù)學概念是數(shù)學知識中最基本的內容，是數(shù)學認知結構的重要組成部分，它還是建構數(shù)學理論大廈的基石，是導出數(shù)學定理和數(shù)學法則的邏輯基礎，是數(shù)學學科系統(tǒng)的精髓和靈魂。在高中數(shù)學教學中具有舉足輕重的地位。APOS理論作為一種建構主義的學習理論，是依據(jù)數(shù)學學科特點而建立起來的數(shù)學理論.強調在學習數(shù)學概念中首先處理的數(shù)學問題要具有社會現(xiàn)實背景，并要求學生開展各種各樣的數(shù)學活動，活動中學生在已有的知識和經驗基礎上通過思維運算和反省抽象，對概念所具有的直觀背景和形式定義進行必要的綜合，從而達到建構數(shù)學概念的目的。因此，APOS理論應用于數(shù)學概念教學具有重要的意義。

一、APOS理論指導下的教學策略

“操作”階段是學生通過操作來感知事物，感受所學的數(shù)學概念的知識的發(fā)生、發(fā)展過程和背景，加深學生對知識的理解，培養(yǎng)學生的數(shù)學探究能力和抽象概括能力，操作階段只是感性認識階段。

在“操作”階段，教師應該提供典型的、適度的感性素材，設計合理的數(shù)學活動，為觀察、聯(lián)想、歸納、概括等活動提供固著點。指導學生親自參與到活動中去，體驗感受知識產生的過程，同時還要考慮學生的“最近發(fā)展區(qū)”，找準知識的“生長點”提高學生學習的主動性。

“過程”階段是學生對操作活動進行思考，經歷思維的內化壓縮過程。學生能夠在頭腦中對數(shù)學活動進行描述和反思，抽象出概念的特有性質?！斑^程”階段是學生對感性認識的處理、組織、頓悟，是思維飛躍的關鍵，通常也是概念學習的難點與關鍵。

在“過程”階段，教師的引導很關鍵，需要啟發(fā)學生對“操作”階段進行反思。需要教師提出有針對性的，符合學生思維特點的問題驅使學生思考，設計遞進性的問題，使學生的思考不斷深入，并對素材進行歸納和概括。同時，教師要給學生反思“操作”的時間，保證真正意義上的參與，因為“過程”的感悟更為重要，是對素材的升華。

“對象”階段是對“過程”階段的提升，歸納抽象得到了事物的本質屬性，并用恰當嚴謹?shù)恼Z言表述出定義及符號，使其達到精致化，成為一個具體的對象。是概括的結束，也是新的概括的開始。

在“對象”階段，要教師及時總結、提煉、歸納出屬性。學生對概念的掌握只是初步的階段，或許某些特征還不清晰，教學中需要用對“操作”階段和“過程”階段進行反復的實施，達到有意義教學，促使學生的認識從“對象”上升到“概型”階段。

“概型”階段是對概念有關的所有操作、過程和對象以及與這個概念有關的所有知識形成的認知結構或認知框架，其作用和特點就是決定某些刺激是否屬于這個圖式。

在“概型”階段，教師可以利用變式教學把概念的本質屬性和非本質屬性分離。并且用例題的教學、學生自我總結等多種方式豐富學生對“對象”的理解，幫助學生的認識上升到“概型”的層次。同時，不僅要形成本概念的圖式，還要前后知識的連貫，注重概念在整個體系中的位置和重要性，促使學生形成完整的認知結構。

二、基于APOS理論的指數(shù)函數(shù)的教學設計

指數(shù)函數(shù)是超越函數(shù)，學生第一次遇到，學習面臨著挑戰(zhàn)。其學習過程充滿著觀察、分析、抽象、概括等方法，蘊含著從特殊到一般、數(shù)形結合、函數(shù)的思想。因此，學習指數(shù)函數(shù)是學生認識函數(shù)的又一次飛躍?！镀胀ǜ咧袛?shù)學課標》指出“通過具體實例，了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景”。下面是基于APOS理論指數(shù)函數(shù)教學過程的設計。

1.“操作”階段——創(chuàng)設問題情境 感知指數(shù)函數(shù)

問題情境1 折紙問題，讓學生動手折紙，觀察：①對折的次數(shù)x與所得的層數(shù)y之間的關系；②對折的次數(shù)x與折后面積y之間的關系（記折前紙張面積為1）。

問題情境2 一種放射性物質不斷衰變?yōu)槠渌镔|，每經過一年剩留的質量約是原來的84%。求出這種物質的剩留量隨時間（單位：年）變化的函數(shù)關系。設最初的質量為1，時間變量用x表示，剩留量用y表示。

結合學生已有的知識結構，選取生活中熟悉的場景讓學生通過動手操作，歸納概括兩個變量之間的關系，感悟到生活中指數(shù)函數(shù)，形成感性認識，認識到指數(shù)函數(shù)的現(xiàn)實意義，同時激發(fā)學習的求知欲。例如通過折紙活動產生2，22，23，…，最后抽象出y=2x，整個過程由學生自主完成。

2.“過程”階段——展示探究過程 內化指數(shù)概念

學生活動 學生自主分析問題情境，探究得到兩個變量之間的函數(shù)關系式是y=2x，y=（）x，y=0.84x。

觀察前面得到的函數(shù)解析式在形式上與函數(shù)y=x2有什么區(qū)別。引導學生從自變量位置的角度考慮。學生觀察可以發(fā)現(xiàn)前面函數(shù)的自變量都在指數(shù)的位置上，而y=x2的自變量在底上。除此之外，這些個函數(shù)還有什么共同特征。發(fā)現(xiàn)底數(shù)都是常數(shù)，自變量都在指數(shù)的位置。

通過反思比較，歸納出對象的共同特征，通過同化和順應納入原有的認知結構中。這個過程需要學生積極主動探究，因此要激發(fā)學生學習的主動性。在學生無從下手的時候可以借助函數(shù)y=x2來提示學生。通過有意義的接受學習和“操作”“過程”反復的實行，形成新的認知結構，這是對象操作內化的過程，也是思維壓縮與提取的過程。

3.“對象”階段——建構對象實體 把握運算性質

若用a來表示常數(shù)，可以抽象出一個數(shù)學模型y=ax。板書指數(shù)函數(shù)的概念，一般地，函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，它的定義域是R。

思考：為什么要限制a>0且a≠1？當時a<0時，不妨取a=-3，這時y=（-3）x，當x=，…時，函數(shù)沒意義；當a=0時，這時y=0x，當x≤0時，函數(shù)沒意義；當a=1時，這時y=1x=1是常量，沒有研究的價值。

指數(shù)函數(shù)是形式定義，指研究滿足這樣形式的定義ax的系數(shù)為1；指數(shù)上只有唯一的自變量x；底是一個常數(shù)且必須滿足a>0且a≠1。

提問：當我們知道對數(shù)函數(shù)的定義之后，緊接著需要探討什么問題？

讓學生選擇討論的內容，提高課堂的參與程度，體現(xiàn)學生是學習的主體。根據(jù)學生的回答，先研究圖像再研究性質。通過描點法展現(xiàn)函數(shù)的圖像，并探討函數(shù)的性質。

探究活動 選取函數(shù)y=2x，首先畫出函數(shù)的圖像，類比第二章函數(shù)，數(shù)形結合研究函數(shù)的定義域，值域，圖像以及性質。借助幾何畫板歸納a>1的函數(shù)特征。這里函數(shù)的嚴格的證明過程不做統(tǒng)一要求。

類比y=2x，選取y=（）x，學生獨立探究0

最終教師和學生共同總結兩種情況。

本階段的設計注重引導學生用從特殊到一般的方法探究指數(shù)函數(shù)圖象及性質，加深學生的理性認識。同時，幫助學生確定探究的問題、步驟，確保探究的有效性。這個環(huán)節(jié)，還要借助計算機輔助教學作用，增強學生的直觀感受。

4.“概型”階段——建立深層圖式 形成概念體系

在形成對象基礎上，我們通過例題，練習達到對知識進一步深化認識，形成指數(shù)函數(shù)的整體認識，構建心理圖式。

例1判斷下列函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)

（1）y=（0.2）x，（2）y=（-2）x，（3）y=1x，（4）y=2.3x，（5）y=2。

例2 比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

（1）1.52.5，1.53.2 （2）0.5-1.2，0.5-1.5 （3）a，a（a>0，且a≠1） （4）1.50.3，0.81.2。

小結指數(shù)函數(shù)，作出總結表格。

一方面鞏固指數(shù)函數(shù)的定義，另一方面再與單調性等知識相結合，通過應用建立聯(lián)系，在反復比較基礎上形成了一個新的認識，建構一個新的圖式。

三、教學反思

本節(jié)課基于APOS理論設計了四個具體的教學流程對指數(shù)函數(shù)作出了分析。APOS理論強調學習是需要學生主動構建的，所以首先考慮學生的“最近發(fā)展區(qū)”設計合理的問題情境，一方面引導學生進入指數(shù)函數(shù)的情景中，感受學習指數(shù)函數(shù)的重要性，另一方面激發(fā)學生的探索欲，調動原有的認知結構。當然，概念學習不能停留在“操作”階段，也要重視“過程”階段，學生得到特殊的指數(shù)函數(shù)，抽象得到一般的指數(shù)函數(shù)，層層遞進，由感性認識上升到理性認識。對象的建立要注意簡練的文字形式和符號表示，使學生在頭腦中建立起數(shù)學知識的直觀結構形象。從“過程”到“對象”是反復，螺旋上升的，階段之間沒有清晰的界限。最后通過辨析，幫助學生理解本質和非本質屬性，并在此基礎上靈活運用概念，優(yōu)化知識結構，形成完整的圖式。

基于APOS理論的教學設計把數(shù)學問題與實際生活緊密聯(lián)系起來，讓學生感受到數(shù)學就在身邊，培養(yǎng)學生在現(xiàn)實中發(fā)現(xiàn)問題的能力。同時調動學生的積極性，讓學生自主探索，增強了課堂開放性，真正成為知識的發(fā)現(xiàn)者、探索者?？梢夾POS理論可以為數(shù)學教學提供一個有效的范式參照。

（作者單位：南京師范大學教師教育學院）

提問：當我們知道對數(shù)函數(shù)的定義之后，緊接著需要探討什么問題？

讓學生選擇討論的內容，提高課堂的參與程度，體現(xiàn)學生是學習的主體。根據(jù)學生的回答，先研究圖像再研究性質。通過描點法展現(xiàn)函數(shù)的圖像，并探討函數(shù)的性質。

探究活動 選取函數(shù)y=2x，首先畫出函數(shù)的圖像，類比第二章函數(shù)，數(shù)形結合研究函數(shù)的定義域，值域，圖像以及性質。借助幾何畫板歸納a>1的函數(shù)特征。這里函數(shù)的嚴格的證明過程不做統(tǒng)一要求。

類比y=2x，選取y=（）x，學生獨立探究0

最終教師和學生共同總結兩種情況。

本階段的設計注重引導學生用從特殊到一般的方法探究指數(shù)函數(shù)圖象及性質，加深學生的理性認識。同時，幫助學生確定探究的問題、步驟，確保探究的有效性。這個環(huán)節(jié)，還要借助計算機輔助教學作用，增強學生的直觀感受。

4.“概型”階段——建立深層圖式 形成概念體系

在形成對象基礎上，我們通過例題，練習達到對知識進一步深化認識，形成指數(shù)函數(shù)的整體認識，構建心理圖式。

例1判斷下列函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)

（1）y=（0.2）x，（2）y=（-2）x，（3）y=1x，（4）y=2.3x，（5）y=2。

例2 比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

（1）1.52.5，1.53.2 （2）0.5-1.2，0.5-1.5 （3）a，a（a>0，且a≠1） （4）1.50.3，0.81.2。

小結指數(shù)函數(shù)，作出總結表格。

一方面鞏固指數(shù)函數(shù)的定義，另一方面再與單調性等知識相結合，通過應用建立聯(lián)系，在反復比較基礎上形成了一個新的認識，建構一個新的圖式。

三、教學反思

本節(jié)課基于APOS理論設計了四個具體的教學流程對指數(shù)函數(shù)作出了分析。APOS理論強調學習是需要學生主動構建的，所以首先考慮學生的“最近發(fā)展區(qū)”設計合理的問題情境，一方面引導學生進入指數(shù)函數(shù)的情景中，感受學習指數(shù)函數(shù)的重要性，另一方面激發(fā)學生的探索欲，調動原有的認知結構。當然，概念學習不能停留在“操作”階段，也要重視“過程”階段，學生得到特殊的指數(shù)函數(shù)，抽象得到一般的指數(shù)函數(shù)，層層遞進，由感性認識上升到理性認識。對象的建立要注意簡練的文字形式和符號表示，使學生在頭腦中建立起數(shù)學知識的直觀結構形象。從“過程”到“對象”是反復，螺旋上升的，階段之間沒有清晰的界限。最后通過辨析，幫助學生理解本質和非本質屬性，并在此基礎上靈活運用概念，優(yōu)化知識結構，形成完整的圖式。

基于APOS理論的教學設計把數(shù)學問題與實際生活緊密聯(lián)系起來，讓學生感受到數(shù)學就在身邊，培養(yǎng)學生在現(xiàn)實中發(fā)現(xiàn)問題的能力。同時調動學生的積極性，讓學生自主探索，增強了課堂開放性，真正成為知識的發(fā)現(xiàn)者、探索者。可見APOS理論可以為數(shù)學教學提供一個有效的范式參照。

（作者單位：南京師范大學教師教育學院）

提問：當我們知道對數(shù)函數(shù)的定義之后，緊接著需要探討什么問題？

讓學生選擇討論的內容，提高課堂的參與程度，體現(xiàn)學生是學習的主體。根據(jù)學生的回答，先研究圖像再研究性質。通過描點法展現(xiàn)函數(shù)的圖像，并探討函數(shù)的性質。

探究活動 選取函數(shù)y=2x，首先畫出函數(shù)的圖像，類比第二章函數(shù)，數(shù)形結合研究函數(shù)的定義域，值域，圖像以及性質。借助幾何畫板歸納a>1的函數(shù)特征。這里函數(shù)的嚴格的證明過程不做統(tǒng)一要求。

類比y=2x，選取y=（）x，學生獨立探究0

最終教師和學生共同總結兩種情況。

本階段的設計注重引導學生用從特殊到一般的方法探究指數(shù)函數(shù)圖象及性質，加深學生的理性認識。同時，幫助學生確定探究的問題、步驟，確保探究的有效性。這個環(huán)節(jié)，還要借助計算機輔助教學作用，增強學生的直觀感受。

4.“概型”階段——建立深層圖式 形成概念體系

在形成對象基礎上，我們通過例題，練習達到對知識進一步深化認識，形成指數(shù)函數(shù)的整體認識，構建心理圖式。

例1判斷下列函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)

（1）y=（0.2）x，（2）y=（-2）x，（3）y=1x，（4）y=2.3x，（5）y=2。

例2 比較下列各組數(shù)的大小：

（1）1.52.5，1.53.2 （2）0.5-1.2，0.5-1.5 （3）a，a（a>0，且a≠1） （4）1.50.3，0.81.2。

小結指數(shù)函數(shù)，作出總結表格。

一方面鞏固指數(shù)函數(shù)的定義，另一方面再與單調性等知識相結合，通過應用建立聯(lián)系，在反復比較基礎上形成了一個新的認識，建構一個新的圖式。

三、教學反思

本節(jié)課基于APOS理論設計了四個具體的教學流程對指數(shù)函數(shù)作出了分析。APOS理論強調學習是需要學生主動構建的，所以首先考慮學生的“最近發(fā)展區(qū)”設計合理的問題情境，一方面引導學生進入指數(shù)函數(shù)的情景中，感受學習指數(shù)函數(shù)的重要性，另一方面激發(fā)學生的探索欲，調動原有的認知結構。當然，概念學習不能停留在“操作”階段，也要重視“過程”階段，學生得到特殊的指數(shù)函數(shù)，抽象得到一般的指數(shù)函數(shù)，層層遞進，由感性認識上升到理性認識。對象的建立要注意簡練的文字形式和符號表示，使學生在頭腦中建立起數(shù)學知識的直觀結構形象。從“過程”到“對象”是反復，螺旋上升的，階段之間沒有清晰的界限。最后通過辨析，幫助學生理解本質和非本質屬性，并在此基礎上靈活運用概念，優(yōu)化知識結構，形成完整的圖式。

基于APOS理論的教學設計把數(shù)學問題與實際生活緊密聯(lián)系起來，讓學生感受到數(shù)學就在身邊，培養(yǎng)學生在現(xiàn)實中發(fā)現(xiàn)問題的能力。同時調動學生的積極性，讓學生自主探索，增強了課堂開放性，真正成為知識的發(fā)現(xiàn)者、探索者?？梢夾POS理論可以為數(shù)學教學提供一個有效的范式參照。

（作者單位：南京師范大學教師教育學院）