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(四川大學(xué)電氣信息學(xué)院，四川 成都 610065)

0 引 言

隨著大型機組快速勵磁系統(tǒng)的采用以及電力系統(tǒng)規(guī)模的不斷擴大、互聯(lián)，低頻振蕩問題日益突出，嚴(yán)重威脅著電力系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運行。按照振蕩的頻率和涉及的范圍，低頻振蕩通常劃分為兩種形式：局部模式和廣域模式[1-2]。 其中，廣域模式為區(qū)域間振蕩，即系統(tǒng)中某區(qū)域機群與另一區(qū)域機群的相對振蕩。相對于局部模式，該模式的成因、影響因素和控制都更為復(fù)雜，且對系統(tǒng)穩(wěn)定的破壞程度大，因而更值得運行人員關(guān)注。近年來，隨著相量測量裝置(phasor measurement unit，PMU)的徹底實用化以及基于PMU的廣域相量測量系統(tǒng)(WAMS)的逐步建成并在電力系統(tǒng)中應(yīng)用，使得利用在線的廣域向量測量數(shù)據(jù)進(jìn)行廣域低頻振蕩分析成為可能[3]。目前通過分析實測數(shù)據(jù)識別和分析低頻振蕩模式的方法有Prony 算法[4]、自回歸滑動平均(auto-regressive and moving average，ARMA)算 法[5]和希爾伯特-黃變換 (Hilbert-Huang transform，HHT)[6]等先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法，通過對某一局部動態(tài)觀測信息的信號處理，分析系統(tǒng)的低頻振蕩現(xiàn)象。但上述方法存在受噪聲信號影響較大，系統(tǒng)階數(shù)確定困難，容易出現(xiàn)偽模態(tài)和計算過程復(fù)雜、耗時長等缺點。

隨機子空間辨識(stochastic subspace identification，SSI)算法能夠從實測振蕩信號中提取振蕩頻率及阻尼比的同時還能夠獲得相應(yīng)的振型信息，文獻(xiàn)[7-8]對隨機子空間辨識方法在電力系統(tǒng)低頻振蕩分析中的應(yīng)用做了初步的探索。但建立在線性系統(tǒng)理論以及所受擾動為平穩(wěn)信號假設(shè)的基礎(chǔ)上的隨機子空間辨識方法在處理非線性、非平穩(wěn)的電力系統(tǒng)實測振蕩信號方面的有效性和準(zhǔn)確性有待研究和驗證。鑒于小波分析[9]能以不同的小波變換尺度,將信號分解成不同的頻段分量,具有良好的時、頻局域性,在處理非平穩(wěn)信號時具有良好的效果，因此，結(jié)合小波去噪和隨機子空間辨識算法，開展電力系統(tǒng)低頻振蕩在線分析的研究。

1 小波去噪

在小波變換應(yīng)用中,目前主要有硬閾值和軟閾值去噪方法[10]。由于噪聲信號強度的隨機性,以及小波分解過程中信號與噪聲的傳播特性不同,每一層小波分解系數(shù)所采用的閾值應(yīng)該是隨小波系數(shù)的變化而變化的，能實現(xiàn)這種變動閾值的方法就是軟閾值去噪方法，而硬閾值算法[11]由于其自身缺陷而不適用于實際場合。軟閾值去噪方法近年來得到很大發(fā)展,其去噪效果被證明是很有效的。

1.1 小波軟閾值消噪原理

含有噪聲的一維信號可以表示成如下形式。

s(i)=f(i)+u(i)

(1)

其中,f(i)為真實信號;u(i)為高斯白噪聲;s(i)為含噪聲的信號。對信號s(i)進(jìn)行消噪的目的就是要抑制信號中的噪聲部分,從而在s(i)中恢復(fù)出真實信號f(i)。在實際工程中,有用信號通常表現(xiàn)為低頻信號或是一些比較平穩(wěn)的信號,而噪聲信號則通常表現(xiàn)為高頻信號。一般來說,一維信號的消噪算法可以分為3個步驟進(jìn)行：①對信號進(jìn)行小波分解;②小波分解高頻系數(shù)的閾值量化;③對信號進(jìn)行重構(gòu)。

在這3個步驟中,最關(guān)鍵的一步就是如何選取閾值方式和如何進(jìn)行閾值的量化,從某種程度上來說,它直接關(guān)系到信號消噪的質(zhì)量。

1.2 軟閾值的選取

軟閾值的選取方法很多[12]。經(jīng)比較,下面采用啟發(fā)式閾值(heursure)方法,它是在通用閾值和無偏風(fēng)險閾值的基礎(chǔ)上進(jìn)行計算的，這種方法閾值風(fēng)險較小，有用信號不易丟失。具體計算原理和計算步驟如下[13]。

(1)噪聲強度的計算

噪聲強度的計算可采用以下公式。

(2)

(2)通用閾值的計算

通用閾值計算的理論依據(jù)是:N個具有獨立同分布的標(biāo)準(zhǔn)高斯變量中的最大值小于T1的概率隨著N的增大而趨于1。其中,T1由式(3)來計算。

(3)

式中，σ為噪聲強度;N為所處理的變量的個數(shù)。

(3) Stein無偏風(fēng)險閾值的計算

將某一層小波系數(shù)的平方按由小到大排列,得到一個向量:W=[w1,w2,…,wN],其中,w1≤w2≤…≤wN，N為小波系數(shù)的個數(shù)。由此計算風(fēng)險向量R=[r1,r2,…,rN],其中

(4)

以R元素中的最小值rb作為風(fēng)險值,由rb的下標(biāo)變量b求出對應(yīng)的wb,則閾值T2為

(5)

(4)啟發(fā)式閾值的計算

(6)

最終的軟閾值就是T3。

1.3 非平穩(wěn)信號的小波軟閾值去噪

在實際的工程應(yīng)用中，大多數(shù)信號可能包含著許多尖峰或突變，而且噪聲信號也并不是平穩(wěn)的白噪聲。對這種信號進(jìn)行去噪處理時，傳統(tǒng)的傅里葉變換完全是在頻域中對信號進(jìn)行分析，它不能給出信號在某個時間點上的變化情況，因此分辨不出信號在時間軸上的一個突變。但是小波分析能同時在時頻域內(nèi)對信號進(jìn)行分析，所以它能有效地區(qū)分信號中的突變部分和噪聲，從而實現(xiàn)對非平穩(wěn)信號的去噪。如圖1所示，使用小波軟閾值去噪方法對一個含噪的矩形波信號進(jìn)行去噪處理，說明此方法對非平穩(wěn)信號具有良好的去噪效果。

2 隨機子空間理論

2.1 隨機子空間思想

隨機子空間辨識[14]方法是近年來發(fā)展的一種線性系統(tǒng)辨識方法，可以有效地從環(huán)境激勵的系統(tǒng)響應(yīng)中獲取模態(tài)參數(shù)。它采用簡單可靠的數(shù)學(xué)工具如矩陣的正交三角分解QR(QR factorization)和奇異值分解SVD(singular value decomposition)獲取狀態(tài)矩陣及其特征值，結(jié)合最小二乘法，得到信號的振蕩參數(shù)。

圖1 含噪矩形波的去噪結(jié)果

在實際應(yīng)用中，量測數(shù)據(jù)在時間上都是離散的，所以經(jīng)離散采樣后，可得如下隨機狀態(tài)空間系統(tǒng)。

(7)

式中，A為系統(tǒng)矩陣；C為輸出矩陣；wk、vk分別為零均值過程噪聲和測量噪聲，且互不相關(guān)。根據(jù)輸出數(shù)據(jù)yk可構(gòu)造 Hankel矩陣Y0/2i-1，如式(8)。

(8)

其中，下標(biāo)0/2i-1表示 Hankel 矩陣第一列的第一塊行和最后一塊行的下標(biāo)，下標(biāo)p和f分別表示“過去”和“將來”。

定義輸出yk自協(xié)方差矩陣Ri為

(9)

由協(xié)方差序列組成的Toeplize矩陣T1/i為

(10)

對Toeplize矩陣進(jìn)行奇異值分解，秩為非零的奇異值個數(shù)，亦為系統(tǒng)的階數(shù)。

(11)

Tl/i可分解為Tl/i=ОiГi，其中，Оi為可觀矩陣；Гi為反轉(zhuǎn)隨機可控矩陣。根據(jù)上式可得如下系統(tǒng)矩陣A和C。

(12)

C=Oi(1∶l)

(13)

2.2 模態(tài)識別

得到系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A后，對其進(jìn)行特征值分解：Ψ-1ΛΨ=A,獲得系統(tǒng)的特征值λi(i=1,2,…,n)，設(shè)采樣時間間隔Δt，則信號的頻率fi和阻尼比ξi以及振型Ф為

fi=argλi/(2πΔt)

(14)

αi=1n|λi|/Δt

(15)

(16)

Φ=Cψ

(17)

綜上所述，隨機子空間算法根據(jù)系統(tǒng)的輸出數(shù)據(jù)，可以識別出電力系統(tǒng)線性化模型{A，C}，進(jìn)一步即可識別全部振蕩參數(shù)。

2.3 隨機子空間算法的有效性分析

按下式產(chǎn)生一理想信號。

x=160.74e-0.15tcos(2π×0.46t+1.32)

+173.38e-0.452tcos(2π×1.53t+0.86)

(18)

此信號包含兩個振蕩模式。在此信號上疊加一個噪聲強度為2 dBM的高斯白噪聲作為測試信號來驗證算法的有效性。信號的時間長度為(0～10)s,采樣頻率為20 Hz(采樣間隔0.05 s)。經(jīng)奇異值分解計算可知隨機子空間辨識過程的階數(shù)應(yīng)定為4階，然后得到系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A。

(19)

最終辨識結(jié)果與理論值的比較見表1。

通過比較發(fā)現(xiàn)，此方法能較準(zhǔn)確地辨識出信號各模式的頻率、阻尼比，具有很高的頻率分辨率。

表1 隨機子空間法辨識結(jié)果與理論值比較

3 仿真實例

算例采用IEEE 16機68 節(jié)點系統(tǒng)[14]如圖2所示。系統(tǒng)可劃分為5個區(qū)域：Group 1，新英格蘭(G1～G9)；Group 2，紐約(G10～G13)；Group 3， 等效機組G14；Group 4，等效電機 G15；Group 5，等效電機 G16。系統(tǒng)中存在著 3 個弱阻尼的互聯(lián)振蕩模式，分別為 0.37、0.5、0.61 Hz。表2給出了傳統(tǒng)小干擾特征根的分析結(jié)果。

圖2 16機68節(jié)點系統(tǒng)圖

圖3 聯(lián)絡(luò)線上有功波動

在系統(tǒng)正常運行方式下，模擬在母線9 上增加隨機負(fù)荷，t=30 s時增加一個0.1 p.u.的階躍負(fù)荷，t=40 s時去除階躍負(fù)荷，以形成非平穩(wěn)信號。記錄聯(lián)絡(luò)線8～9上傳送的有功功率，采樣間隔為 0.1 s，分析0～100 s間數(shù)據(jù)，其波形見圖3。

圖4 去噪后有功波動

應(yīng)用小波啟發(fā)式軟閾值方法對采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪處理(見圖4)，然后用隨機子空間法辨識振蕩的主導(dǎo)模式，并與未采用小波去噪的分析結(jié)果對比，結(jié)果見表3。圖5給出了辨識得到的3 個模式的模態(tài)圖(橫坐標(biāo)為發(fā)電機號，縱坐標(biāo)為幅值)，從圖中可以看出頻率為0.384 6的互聯(lián)振蕩模式的參與機組有Group 1～Group 5,頻率為0.511 2的互聯(lián)振蕩模式的主要參與機組有Group 3、Group 5，頻率為0.648 5的互聯(lián)振蕩模式的主要參與機組有Group 1、Group 2。

圖5 模態(tài)圖

模式特征值頻率/Hz阻尼比/%主要參與區(qū)域1-0.038 1±2.385 3i0.379 71.60Group 1～Group 52-0.079 8±3.274 3i0.521 32.44Group 3、Group 53-0.167 9±4.127 9i0.657 54.06Group 1、Group 2、Group 4

由表3可以看出，聯(lián)絡(luò)線上的有功發(fā)生了頻率分別為 0.384 6 Hz、0.511 2 Hz、0.648 5 Hz的低頻振蕩，為區(qū)間振蕩模式，印證了隨機子空間法的正確性，而且小波去噪的去噪處理起到了較好的效果，此方法在處理非平穩(wěn)信號時具有很大優(yōu)勢，較適合對實際大電網(wǎng)的實測信號的分析。

表3 去噪后分析結(jié)果與未去噪分析結(jié)果及理論值比較

4 結(jié) 論

提出了一種利用小波去噪技術(shù)對振蕩數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理, 然后運用隨機子空間方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的新方法, 用于電力系統(tǒng)低頻振蕩信號特征的提取，特別是對非平穩(wěn)信號的處理具有有效性和準(zhǔn)確性。而且隨機子空間方法具有參數(shù)少、抗噪能力較強、分辨率較高、擬合效果較好等優(yōu)點, 滿足低頻振蕩辨識和系統(tǒng)振蕩分析的需要。小波預(yù)處理技術(shù)在提高精確度的同時, 也降低了分析速度。

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