韋忠海

摘 要：對于高階系統(tǒng)，若直接對其分析和控制比較困難，要對其進行降階處理，就要考慮系統(tǒng)的零點、極點對系統(tǒng)的影響。一般的系統(tǒng)，可以分為最小系統(tǒng)和非最小系統(tǒng)，首先要判斷出系統(tǒng)的最小相位或非最小相位，在使用根軌跡或Bode圖分析系統(tǒng)的特性，從而，分析零點、極點不同分布對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

關鍵詞：零點；極點；最小相位；非最小相位；Bode圖；穩(wěn)定性

1 實驗原理

1.1 最小相位與非最小相位

最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在S域右半平面沒有極點和零點。有以下特點：①在幅頻特性相同的情況下，對于任何大于零的頻率，最小相位系統(tǒng)的相角總小于非最小相位系統(tǒng)。②最小相位系統(tǒng)的幅頻特性與相頻特性一一對應，即由對數(shù)幅頻特性曲線就可得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)。

非最小相位系統(tǒng)：傳遞函數(shù)至少有一個極點或零點在S域右半平面的系統(tǒng)。

1.2 系統(tǒng)響應的求取

根據(jù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以求出系統(tǒng)輸出的復頻域表示，再進行反拉式變換即可得到系統(tǒng)的響應，從系統(tǒng)響應曲線可以看出系統(tǒng)的穩(wěn)定性、準確性和快速性等各項指標。

1.3 幅頻、相頻特性

幅頻、相頻特性分別表現(xiàn)的是系統(tǒng)對不同頻率的輸入信號給出的輸出信號與其輸入信號之間的幅值增益和相位超前/落后情況，其表現(xiàn)形式是Bode圖。

2 Matlab中仿真及分析

2.1 已知二階系統(tǒng)，分析c的取值對系統(tǒng)階躍響應的影響。

理論分析：當輸入單位階躍信號時，其響應表達式為y（t）=1-2（1+）e-t+（1+）e-2t。初值為0，而中間過渡過程隨c選取不同而不同，終值為1。當c離各極點越近，其響應表達式中模態(tài)所占權值越小。

當c<0時，系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)。這里取c=-0.3、-1、-10。特別的，當c=-1出現(xiàn)零極點抵消，系統(tǒng)變?yōu)橐浑A慣性系統(tǒng)。

當c>0時，系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)。分別c=1、2、10。

在Matlab中對二階系統(tǒng)進行仿真，仿真程序如下：

clear all

% c= 1 3 10 -0.3 -1 -10 時各個系統(tǒng)單位階躍響應

a1=[-1 1]； b1=[0.5 1.5 1]； ss1=tf（a1，b1）；

a2=[-1 2]； b2=[1 3 2]； ss2=tf（a2，b2）；

a3=[-1 10]； b3=[5 15 10]； ss3=tf（a3，b3）；

a4=[1 0.3]； b4=[0.15 0.75 0.3]； ss4=tf（a4，b4）；

a5=[1 1]； b5=[0.5 1.5 1]； ss5=tf（a5，b5）；

a6=[1 10]； b6=[5 15 10]； ss6=tf（a6，b6）；

step（ss1，k-，ss2，k--，ss3，k：，ss4，k--，ss5，k：，ss6，k-）

運行即可得出二階系統(tǒng)單位階躍響應曲線如圖1所示。

圖1 二階系統(tǒng)階躍響應曲線

分析：由圖1可知

①在最小相位系統(tǒng)的情況下，隨著c值的增大，零點離虛軸越近，系統(tǒng)的阻尼減小，出現(xiàn)超調。其中，c=-1時系統(tǒng)變?yōu)橐浑A慣性系統(tǒng)，由圖可以看出當時間常數(shù)為慣性指數(shù)（即t=0.5）時，系統(tǒng)輸出響應為0.632。

②對于非最小相位系統(tǒng)，系統(tǒng)的響應會出現(xiàn)欠調，減小c的值，零點離虛軸越近，系統(tǒng)的阻尼減小，欠調量增大。

③可以看出不管最小相位系統(tǒng)，還是非最小相位系統(tǒng)，當零點越近接近虛軸時，系統(tǒng)的阻尼越小，響應曲線振蕩越厲害。

2.2 二階系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，分析c的取值對系統(tǒng)階躍響應的影響。（用Bode圖分析）

理論分析：當c取-1和1時繪制系統(tǒng)Bode圖相應響應曲線。c=-1時為最小相位系統(tǒng)，c=1為非最小相位系統(tǒng)。

在Matlab中對二階系統(tǒng)進行仿真，仿真程序如下：

clear all %c= -1 1

a1=[1 1]； b1=[0.5 1.5 1]； ss1=tf（a1，b1）；

a2=[-1 1]； b2=[0.5 1.5 1]； ss2=tf（a2，b2）；

bode（ss1，k-.，ss2，k--） legend（c=-1，c=1）；grid；

運行即可得出各個系統(tǒng)Bode圖如圖2所示：

圖2 二階系統(tǒng)的Bode圖

分析：從上面Bode圖可以看出，它們具有相同幅頻特性，而相頻特性不同，并且決定著穩(wěn)定性：

①對于c=-1時，系統(tǒng)的截止頻率？棕c為0，而對數(shù)相頻特性起始與0°，終止于-90°，在-180°線上沒有穿越。系統(tǒng)相角裕度為180°。該最小相位系統(tǒng)為穩(wěn)定。

②對于c=1時，相頻特性起始與360°，可以等效一下移一個周期（即360°），即起始于0°。系統(tǒng)的截止頻率？棕c和穿越頻率？棕g分別為0和2.23，故得到系統(tǒng)的幅值裕度和相角裕度分別為1.5和180°，該非最小相位系統(tǒng)為穩(wěn)定。

③在具有相同幅頻特性的系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍比非最小相位系統(tǒng)小。對于大于零的任何頻率，最小相位系統(tǒng)的相角總小于非最小相位系統(tǒng)。

2.3 對傳遞函數(shù)分別增加極點-5、-2.5、-0.5后，仿真其階躍響應，并與原系統(tǒng)的階躍響應比較。

在Matlab中對二階系統(tǒng)進行仿真（注意：增加開環(huán)極點后要使響應穩(wěn)態(tài)值不變，需要補償一個極點絕對值倍的增益。），仿真程序如下：

clear all

% 分別增加極點p= -5 -2.5 -0.5 時系統(tǒng)響應

a1=[1]； b1=conv（[1 5]，conv（[1，2+3i]，[1，2-3i]））； a1=5*a1； ss1=tf（a1，b1）；

a2=[1]； b2=conv（[1 2.5]，conv（[1，2+3i]，[1，2-3i]））； a2=2.5*a2； ss2=tf（a2，b2）；

a3=[1]； b3=conv（[1 0.5]，conv（[1，2+3i]，[1，2-3i]））； a3=0.5*a3； ss3=tf（a3，b3）；

a4=[1]； b4=conv（[1，2+3i]，[1，2-3i]）； ss4=tf（a4，b4）；

step（ss1，k--，ss2，k：，ss3，k-.，ss4，k-）

運行即可得出系統(tǒng)增加開環(huán)極點后單位階躍響應曲線如圖3所示。

圖3 增加開環(huán)極點的階躍響應曲線

分析：由圖3可知，增加開環(huán)極點

①閉環(huán)極點的增加使原來的二階系統(tǒng)的系統(tǒng)阻尼增大，使響應速度減慢（峰值時間遲后），超調量減少，調節(jié)時間減小。

②極點離虛軸越近， 阻尼越大，超調量越小。

物理上，將原系統(tǒng)傳遞函數(shù)附加的極點寫成時間常數(shù)形式，將其看成一個慣性環(huán)節(jié)，時間常數(shù)越大，阻礙響應的作用就越大，對應極點離虛軸越近。

2.4 對傳遞函數(shù)分別增加零點-0.4、-2、-5后，仿真其階躍響應，并與原系統(tǒng)的階躍響應比較。

在Matlab中對二階系統(tǒng)進行仿真（注意：增加開環(huán)零點后要使響應穩(wěn)態(tài)值不變，需要補償一個零點絕對值的倒數(shù)倍的增益。），仿真程序如下：

clear all

% 分別增加零點z= -0.4 -2 -5 時系統(tǒng)響應

a1=[1 0.4]； b1=[1 4 13]； b1=b1*0.4； ss1=tf（a1，b1）；

a2=[1 2]； b2=[1 4 13]； b2=b2*2； ss2=tf（a2，b2）；

a3=[1 5]； b3=[1 4 13]； b3=b3*5； ss3=tf（a3，b3）；

a4=[1]； b4=[1 4 13]； ss4=tf（a4，b4）；

step（ss1，k--，ss2，k：，ss3，k-.，ss4，k-）

運行即可得出系統(tǒng)增加開環(huán)零點后單位階躍響應曲線如圖4所示。

圖4 增加開環(huán)零點的階躍響應曲線

分析：由圖4可知，增加開環(huán)零點

①閉環(huán)零點的增加將減小系統(tǒng)的阻尼，使響應速度加快（峰值時間提前），超調量增加，調節(jié)時間也會增加。②零點離虛軸越近，阻尼會越小，超調量會越大。

物理上，增加零點實際上加入了一階微分，而微分有超前預測作用，加速系統(tǒng)響應的功能，并且微分時間常數(shù)越大，阻尼越小，響應速度越快，對應零點離虛軸越近。

2.5 對開環(huán)傳遞函數(shù)分別增加其開環(huán)零點-2、-3、2，仿真其根軌跡曲線，觀察根軌跡的變化，探討其中的規(guī)律，并給出合理的解釋。

在Matlab中對系統(tǒng)進行仿真，仿真程序如下：

clear all

% 系統(tǒng)分別增加零點z= -2 -3 2 后根軌跡曲線

a1=[1 2]； b1=[1 2 2 0]； ss1=tf（a1，b1）；

a2=[1 3]； b2=[1 2 2 0]； ss2=tf（a2，b2）；

a3=[1 -2]； b3=[1 2 2 0]； ss3=tf（a3，b3）；

a4=[1]； b4=[1 2 2 0]； ss4=tf（a4，b4）；

rlocus（ss1，k：，ss2，k-.，ss3，k--，ss4，k-）

運行即可得出系統(tǒng)增加開環(huán)零點后根軌跡曲線如圖5所示。

圖5 增加開環(huán)零點的根軌跡曲線

分析：由圖5可知，增加開環(huán)零點

①改變了根軌跡在實軸上的分布。②改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、傾角及截距。若增加的開環(huán)零點和某個極點重合或距離很近，構成開環(huán)偶極子，則兩者相互抵消。因此，可加入一個零點來抵消有損于系統(tǒng)性能的極點。③根軌跡曲線將向左偏移，有利于改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，而且，所加的零點越靠近虛軸，影響越大。

2.6 對于開環(huán)傳遞函數(shù)分別增加其開環(huán)極點-2、0、2，仿真其根軌跡曲線，觀察根軌跡的變化，探討其中的規(guī)律，并給出合理的解釋。

在Matlab中對二階系統(tǒng)進行仿真，仿真程序如下：

clear all

% 系統(tǒng)分別增加極點p= -2 0 2 后根軌跡曲線

a1=[1]； b1=[1 2 3 0]； ss1=tf（a1，b1）；

a2=[1]； b2=[1 1 0 0]； ss2=tf（a2，b2）；

a3=[1]； b3=[1 -1 -2 0]； ss3=tf（a3，b3）；

a4=[1]； b4=[1 1 0]； ss4=tf（a4，b4）；

rlocus（ss1，k-.，ss2，k：，ss3，k--，ss4，k-）

運行即可得出系統(tǒng)增加開環(huán)極點后根軌跡曲線如圖6所示。

圖6 增加開環(huán)極點的根軌跡曲線

分析：由圖6可知：增加開環(huán)極點①改變了根軌跡在實軸上的分布。②改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、傾角和截距。③改變了根軌跡的分支數(shù)。④根軌跡曲線向右偏移，不利于改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。所增加的極點越靠近虛軸，這種影響就越大。

3 實驗總結

通過對系統(tǒng)極點和零點分布不同對系統(tǒng)響應、頻率特性、根軌跡變化影響進行分析可知：①閉環(huán)系統(tǒng)增加零點時，會增加系統(tǒng)響應的超調量，帶寬增大，零點離虛軸越近，對系統(tǒng)影響越大。當零點實部遠大于原二階系統(tǒng)阻尼系數(shù)時，附加零點對系統(tǒng)的影響減小，所以當零點遠離虛軸時，可以忽略零點對系統(tǒng)的影響。②閉環(huán)系統(tǒng)增加極點時，系統(tǒng)超調量減小，調整時間增大，極點離虛軸越近，對系統(tǒng)影響越大。當極點實部遠大于原二階系統(tǒng)阻尼系數(shù)時，附加極點對系統(tǒng)的影響減小，所以當極點遠離虛軸時可以忽略極點對系統(tǒng)的影響。③在具有相同幅頻特性的系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍為最小。如果兩個系統(tǒng)有相同的幅頻特性，那么對于大于零的任何頻率，最小相位系統(tǒng)的相角總小于非最小相位系統(tǒng)。④附加開環(huán)零、極點改變了實軸上根軌跡。開環(huán)極點的引入使根軌跡向右移，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利，系統(tǒng)的快速性變差，加入的極點越靠近原點，這種作用越強；開環(huán)零點的引入使根軌跡向左移動，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性有利，零點越靠近原點，這種作用越強。

參考文獻

[1]夏德鈴.自動控制理論（第3版）[M].北京：機械工業(yè)出版社，2007.

[2]王海英.控制系統(tǒng)的MATLAB仿真與設計[M].北京：高等教育出版社，2009.

[3]胡壽松.自動控制原理基礎教程[M].北京：科學出版社，2013.

[4]張聚.基于MATLAB的控制系統(tǒng)仿真及應用[M].北京：電子工業(yè)出版社，2012.

% 分別增加極點p= -5 -2.5 -0.5 時系統(tǒng)響應

a1=[1]； b1=conv（[1 5]，conv（[1，2+3i]，[1，2-3i]））； a1=5*a1； ss1=tf（a1，b1）；

a2=[1]； b2=conv（[1 2.5]，conv（[1，2+3i]，[1，2-3i]））； a2=2.5*a2； ss2=tf（a2，b2）；

a3=[1]； b3=conv（[1 0.5]，conv（[1，2+3i]，[1，2-3i]））； a3=0.5*a3； ss3=tf（a3，b3）；

a4=[1]； b4=conv（[1，2+3i]，[1，2-3i]）； ss4=tf（a4，b4）；

step（ss1，k--，ss2，k：，ss3，k-.，ss4，k-）

運行即可得出系統(tǒng)增加開環(huán)極點后單位階躍響應曲線如圖3所示。

圖3 增加開環(huán)極點的階躍響應曲線

分析：由圖3可知，增加開環(huán)極點

①閉環(huán)極點的增加使原來的二階系統(tǒng)的系統(tǒng)阻尼增大，使響應速度減慢（峰值時間遲后），超調量減少，調節(jié)時間減小。

②極點離虛軸越近， 阻尼越大，超調量越小。

物理上，將原系統(tǒng)傳遞函數(shù)附加的極點寫成時間常數(shù)形式，將其看成一個慣性環(huán)節(jié)，時間常數(shù)越大，阻礙響應的作用就越大，對應極點離虛軸越近。

2.4 對傳遞函數(shù)分別增加零點-0.4、-2、-5后，仿真其階躍響應，并與原系統(tǒng)的階躍響應比較。

在Matlab中對二階系統(tǒng)進行仿真（注意：增加開環(huán)零點后要使響應穩(wěn)態(tài)值不變，需要補償一個零點絕對值的倒數(shù)倍的增益。），仿真程序如下：

clear all

% 分別增加零點z= -0.4 -2 -5 時系統(tǒng)響應

a1=[1 0.4]； b1=[1 4 13]； b1=b1*0.4； ss1=tf（a1，b1）；

a2=[1 2]； b2=[1 4 13]； b2=b2*2； ss2=tf（a2，b2）；

a3=[1 5]； b3=[1 4 13]； b3=b3*5； ss3=tf（a3，b3）；

a4=[1]； b4=[1 4 13]； ss4=tf（a4，b4）；

step（ss1，k--，ss2，k：，ss3，k-.，ss4，k-）

運行即可得出系統(tǒng)增加開環(huán)零點后單位階躍響應曲線如圖4所示。

圖4 增加開環(huán)零點的階躍響應曲線

分析：由圖4可知，增加開環(huán)零點

①閉環(huán)零點的增加將減小系統(tǒng)的阻尼，使響應速度加快（峰值時間提前），超調量增加，調節(jié)時間也會增加。②零點離虛軸越近，阻尼會越小，超調量會越大。

物理上，增加零點實際上加入了一階微分，而微分有超前預測作用，加速系統(tǒng)響應的功能，并且微分時間常數(shù)越大，阻尼越小，響應速度越快，對應零點離虛軸越近。

2.5 對開環(huán)傳遞函數(shù)分別增加其開環(huán)零點-2、-3、2，仿真其根軌跡曲線，觀察根軌跡的變化，探討其中的規(guī)律，并給出合理的解釋。

在Matlab中對系統(tǒng)進行仿真，仿真程序如下：

clear all

% 系統(tǒng)分別增加零點z= -2 -3 2 后根軌跡曲線

a1=[1 2]； b1=[1 2 2 0]； ss1=tf（a1，b1）；

a2=[1 3]； b2=[1 2 2 0]； ss2=tf（a2，b2）；

a3=[1 -2]； b3=[1 2 2 0]； ss3=tf（a3，b3）；

a4=[1]； b4=[1 2 2 0]； ss4=tf（a4，b4）；

rlocus（ss1，k：，ss2，k-.，ss3，k--，ss4，k-）

運行即可得出系統(tǒng)增加開環(huán)零點后根軌跡曲線如圖5所示。

圖5 增加開環(huán)零點的根軌跡曲線

分析：由圖5可知，增加開環(huán)零點

①改變了根軌跡在實軸上的分布。②改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、傾角及截距。若增加的開環(huán)零點和某個極點重合或距離很近，構成開環(huán)偶極子，則兩者相互抵消。因此，可加入一個零點來抵消有損于系統(tǒng)性能的極點。③根軌跡曲線將向左偏移，有利于改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，而且，所加的零點越靠近虛軸，影響越大。

2.6 對于開環(huán)傳遞函數(shù)分別增加其開環(huán)極點-2、0、2，仿真其根軌跡曲線，觀察根軌跡的變化，探討其中的規(guī)律，并給出合理的解釋。

在Matlab中對二階系統(tǒng)進行仿真，仿真程序如下：

clear all

% 系統(tǒng)分別增加極點p= -2 0 2 后根軌跡曲線

a1=[1]； b1=[1 2 3 0]； ss1=tf（a1，b1）；

a2=[1]； b2=[1 1 0 0]； ss2=tf（a2，b2）；

a3=[1]； b3=[1 -1 -2 0]； ss3=tf（a3，b3）；

a4=[1]； b4=[1 1 0]； ss4=tf（a4，b4）；

rlocus（ss1，k-.，ss2，k：，ss3，k--，ss4，k-）

運行即可得出系統(tǒng)增加開環(huán)極點后根軌跡曲線如圖6所示。

圖6 增加開環(huán)極點的根軌跡曲線

分析：由圖6可知：增加開環(huán)極點①改變了根軌跡在實軸上的分布。②改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、傾角和截距。③改變了根軌跡的分支數(shù)。④根軌跡曲線向右偏移，不利于改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。所增加的極點越靠近虛軸，這種影響就越大。

3 實驗總結

通過對系統(tǒng)極點和零點分布不同對系統(tǒng)響應、頻率特性、根軌跡變化影響進行分析可知：①閉環(huán)系統(tǒng)增加零點時，會增加系統(tǒng)響應的超調量，帶寬增大，零點離虛軸越近，對系統(tǒng)影響越大。當零點實部遠大于原二階系統(tǒng)阻尼系數(shù)時，附加零點對系統(tǒng)的影響減小，所以當零點遠離虛軸時，可以忽略零點對系統(tǒng)的影響。②閉環(huán)系統(tǒng)增加極點時，系統(tǒng)超調量減小，調整時間增大，極點離虛軸越近，對系統(tǒng)影響越大。當極點實部遠大于原二階系統(tǒng)阻尼系數(shù)時，附加極點對系統(tǒng)的影響減小，所以當極點遠離虛軸時可以忽略極點對系統(tǒng)的影響。③在具有相同幅頻特性的系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍為最小。如果兩個系統(tǒng)有相同的幅頻特性，那么對于大于零的任何頻率，最小相位系統(tǒng)的相角總小于非最小相位系統(tǒng)。④附加開環(huán)零、極點改變了實軸上根軌跡。開環(huán)極點的引入使根軌跡向右移，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利，系統(tǒng)的快速性變差，加入的極點越靠近原點，這種作用越強；開環(huán)零點的引入使根軌跡向左移動，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性有利，零點越靠近原點，這種作用越強。

參考文獻

[1]夏德鈴.自動控制理論（第3版）[M].北京：機械工業(yè)出版社，2007.

[2]王海英.控制系統(tǒng)的MATLAB仿真與設計[M].北京：高等教育出版社，2009.

[3]胡壽松.自動控制原理基礎教程[M].北京：科學出版社，2013.

[4]張聚.基于MATLAB的控制系統(tǒng)仿真及應用[M].北京：電子工業(yè)出版社，2012.

% 分別增加極點p= -5 -2.5 -0.5 時系統(tǒng)響應

a1=[1]； b1=conv（[1 5]，conv（[1，2+3i]，[1，2-3i]））； a1=5*a1； ss1=tf（a1，b1）；

a2=[1]； b2=conv（[1 2.5]，conv（[1，2+3i]，[1，2-3i]））； a2=2.5*a2； ss2=tf（a2，b2）；

a3=[1]； b3=conv（[1 0.5]，conv（[1，2+3i]，[1，2-3i]））； a3=0.5*a3； ss3=tf（a3，b3）；

a4=[1]； b4=conv（[1，2+3i]，[1，2-3i]）； ss4=tf（a4，b4）；

step（ss1，k--，ss2，k：，ss3，k-.，ss4，k-）

運行即可得出系統(tǒng)增加開環(huán)極點后單位階躍響應曲線如圖3所示。

圖3 增加開環(huán)極點的階躍響應曲線

分析：由圖3可知，增加開環(huán)極點

①閉環(huán)極點的增加使原來的二階系統(tǒng)的系統(tǒng)阻尼增大，使響應速度減慢（峰值時間遲后），超調量減少，調節(jié)時間減小。

②極點離虛軸越近， 阻尼越大，超調量越小。

物理上，將原系統(tǒng)傳遞函數(shù)附加的極點寫成時間常數(shù)形式，將其看成一個慣性環(huán)節(jié)，時間常數(shù)越大，阻礙響應的作用就越大，對應極點離虛軸越近。

2.4 對傳遞函數(shù)分別增加零點-0.4、-2、-5后，仿真其階躍響應，并與原系統(tǒng)的階躍響應比較。

在Matlab中對二階系統(tǒng)進行仿真（注意：增加開環(huán)零點后要使響應穩(wěn)態(tài)值不變，需要補償一個零點絕對值的倒數(shù)倍的增益。），仿真程序如下：

clear all

% 分別增加零點z= -0.4 -2 -5 時系統(tǒng)響應

a1=[1 0.4]； b1=[1 4 13]； b1=b1*0.4； ss1=tf（a1，b1）；

a2=[1 2]； b2=[1 4 13]； b2=b2*2； ss2=tf（a2，b2）；

a3=[1 5]； b3=[1 4 13]； b3=b3*5； ss3=tf（a3，b3）；

a4=[1]； b4=[1 4 13]； ss4=tf（a4，b4）；

step（ss1，k--，ss2，k：，ss3，k-.，ss4，k-）

運行即可得出系統(tǒng)增加開環(huán)零點后單位階躍響應曲線如圖4所示。

圖4 增加開環(huán)零點的階躍響應曲線

分析：由圖4可知，增加開環(huán)零點

①閉環(huán)零點的增加將減小系統(tǒng)的阻尼，使響應速度加快（峰值時間提前），超調量增加，調節(jié)時間也會增加。②零點離虛軸越近，阻尼會越小，超調量會越大。

物理上，增加零點實際上加入了一階微分，而微分有超前預測作用，加速系統(tǒng)響應的功能，并且微分時間常數(shù)越大，阻尼越小，響應速度越快，對應零點離虛軸越近。

2.5 對開環(huán)傳遞函數(shù)分別增加其開環(huán)零點-2、-3、2，仿真其根軌跡曲線，觀察根軌跡的變化，探討其中的規(guī)律，并給出合理的解釋。

在Matlab中對系統(tǒng)進行仿真，仿真程序如下：

clear all

% 系統(tǒng)分別增加零點z= -2 -3 2 后根軌跡曲線

a1=[1 2]； b1=[1 2 2 0]； ss1=tf（a1，b1）；

a2=[1 3]； b2=[1 2 2 0]； ss2=tf（a2，b2）；

a3=[1 -2]； b3=[1 2 2 0]； ss3=tf（a3，b3）；

a4=[1]； b4=[1 2 2 0]； ss4=tf（a4，b4）；

rlocus（ss1，k：，ss2，k-.，ss3，k--，ss4，k-）

運行即可得出系統(tǒng)增加開環(huán)零點后根軌跡曲線如圖5所示。

圖5 增加開環(huán)零點的根軌跡曲線

分析：由圖5可知，增加開環(huán)零點

①改變了根軌跡在實軸上的分布。②改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、傾角及截距。若增加的開環(huán)零點和某個極點重合或距離很近，構成開環(huán)偶極子，則兩者相互抵消。因此，可加入一個零點來抵消有損于系統(tǒng)性能的極點。③根軌跡曲線將向左偏移，有利于改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，而且，所加的零點越靠近虛軸，影響越大。

2.6 對于開環(huán)傳遞函數(shù)分別增加其開環(huán)極點-2、0、2，仿真其根軌跡曲線，觀察根軌跡的變化，探討其中的規(guī)律，并給出合理的解釋。

在Matlab中對二階系統(tǒng)進行仿真，仿真程序如下：

clear all

% 系統(tǒng)分別增加極點p= -2 0 2 后根軌跡曲線

a1=[1]； b1=[1 2 3 0]； ss1=tf（a1，b1）；

a2=[1]； b2=[1 1 0 0]； ss2=tf（a2，b2）；

a3=[1]； b3=[1 -1 -2 0]； ss3=tf（a3，b3）；

a4=[1]； b4=[1 1 0]； ss4=tf（a4，b4）；

rlocus（ss1，k-.，ss2，k：，ss3，k--，ss4，k-）

運行即可得出系統(tǒng)增加開環(huán)極點后根軌跡曲線如圖6所示。

圖6 增加開環(huán)極點的根軌跡曲線

分析：由圖6可知：增加開環(huán)極點①改變了根軌跡在實軸上的分布。②改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、傾角和截距。③改變了根軌跡的分支數(shù)。④根軌跡曲線向右偏移，不利于改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。所增加的極點越靠近虛軸，這種影響就越大。

3 實驗總結

通過對系統(tǒng)極點和零點分布不同對系統(tǒng)響應、頻率特性、根軌跡變化影響進行分析可知：①閉環(huán)系統(tǒng)增加零點時，會增加系統(tǒng)響應的超調量，帶寬增大，零點離虛軸越近，對系統(tǒng)影響越大。當零點實部遠大于原二階系統(tǒng)阻尼系數(shù)時，附加零點對系統(tǒng)的影響減小，所以當零點遠離虛軸時，可以忽略零點對系統(tǒng)的影響。②閉環(huán)系統(tǒng)增加極點時，系統(tǒng)超調量減小，調整時間增大，極點離虛軸越近，對系統(tǒng)影響越大。當極點實部遠大于原二階系統(tǒng)阻尼系數(shù)時，附加極點對系統(tǒng)的影響減小，所以當極點遠離虛軸時可以忽略極點對系統(tǒng)的影響。③在具有相同幅頻特性的系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍為最小。如果兩個系統(tǒng)有相同的幅頻特性，那么對于大于零的任何頻率，最小相位系統(tǒng)的相角總小于非最小相位系統(tǒng)。④附加開環(huán)零、極點改變了實軸上根軌跡。開環(huán)極點的引入使根軌跡向右移，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利，系統(tǒng)的快速性變差，加入的極點越靠近原點，這種作用越強；開環(huán)零點的引入使根軌跡向左移動，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性有利，零點越靠近原點，這種作用越強。

參考文獻

[1]夏德鈴.自動控制理論（第3版）[M].北京：機械工業(yè)出版社，2007.

[2]王海英.控制系統(tǒng)的MATLAB仿真與設計[M].北京：高等教育出版社，2009.

[3]胡壽松.自動控制原理基礎教程[M].北京：科學出版社，2013.

[4]張聚.基于MATLAB的控制系統(tǒng)仿真及應用[M].北京：電子工業(yè)出版社，2012.