甘志國(guó)

(北京市豐臺(tái)二中 100071)

(1)若a=3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)．

因而g(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，即f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)．

解法2 可得f′(x)=x2-2ax-a，其判別式Δ=4a(a+1).

可得3f(x)=x2(x-3a)-3ax-3a.

當(dāng)x-3a≥1即x≥3a+1時(shí)，由x2≥0，可得

3f(x)≥x2-3ax-3a=x(x-3a)-3a.

又當(dāng)x≥0,即x≥max{0,3a+1}時(shí)，可得

3f(x)≥x-3a≥1,

f(x)>0.

設(shè)x=-t，可得-3f(x)=t2(t+3a)-3at+3a.

當(dāng)t+3a≥1即t≥1-3a也即x≤3a-1時(shí)，由t2≥0，可得

-3f(x)≥t2-3at+3a=t(t-3a)+3a.

又當(dāng)t≥max{0,3a+1}即x≤min{0,-3|a|-1}時(shí)，可得-3f(x)≥t+3a≥1,

f(x)<0.

因而f(x)存在零點(diǎn).

①當(dāng)Δ≤0即-1≤a≤0時(shí)，f(x)是增函數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．

得三次函數(shù)f(x)的極大值與極小值同號(hào)，因而f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).得欲證結(jié)論成立.

解法3 可得f′(x)=x2-2ax-a，其判別式Δ=4a(a+1).

當(dāng)x>max{1,9|a|}時(shí)，可得

0

a(x2+x+1)≤|a|(x2+x+1)≤3|a|x2,

-a(x2+x+1)≥-3|a|x2.

當(dāng)xmax{1,3|a|}，且

所以0

a[t2+(1-t)]≥-|a|[t2+(1-t)]≥-|a|t2.

-a[t2+(1-t)]≤|a|t2.

因而f(x)存在零點(diǎn).

又因?yàn)椤邦}(2)的解法2”中已證得三次函數(shù)f(x)的極大值與極小值同號(hào)，所以f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).得欲證結(jié)論成立.

所以g(3a-1)<0

解法5 可得

3(x-1)f(x)=x3(x-3a-1)+3a①.

在①中設(shè)x=-t，可得-3(t+1)f(-t)=t3(t+3a+1)+3a

-3(t+1)f(-t)=t3(t+3a+1)+3a>t3+3a>0,f(-t)<0,所以f(x)有零點(diǎn).

由“題(2)的解法1”中證得的g(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增，可知f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，可得f(x)有唯一零點(diǎn).