陳吉江，毛洪翔，李鵬程，夏國(guó)團(tuán)，章衛(wèi)軍

(1. 余姚市水利局，浙江余姚 315400； 2. 宜水環(huán)境科技(上海)有限公司，上海 200125)

目前，水質(zhì)預(yù)測(cè)主要利用監(jiān)測(cè)的歷史數(shù)據(jù)作為初始序列或訓(xùn)練數(shù)據(jù)，運(yùn)用不同數(shù)學(xué)邏輯方法推算在各類(lèi)影響因素作用下未來(lái)水質(zhì)數(shù)據(jù)的發(fā)展趨勢(shì)[1]。方法有時(shí)間序列模型[2]、灰色理論模型[3]、模糊理論模型[4]、回歸模型和動(dòng)態(tài)系統(tǒng)物元模型[5]，以及近年來(lái)得到應(yīng)用的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[6]等。其中，基于自回歸的時(shí)間序列模型，理論基礎(chǔ)堅(jiān)實(shí)，計(jì)算方法簡(jiǎn)便，在水質(zhì)預(yù)測(cè)中受到普遍歡迎，得到廣泛應(yīng)用。基于自回歸的水質(zhì)預(yù)測(cè)方法可以有多種型式，如①單一自回歸模型， 即對(duì)時(shí)間序列建立單一自回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)；②小波分解+雙自回歸，即預(yù)先對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行小波分解，然后對(duì)分解所得的高、低頻序列分別建立各自的自回歸方程，最后以高、低頻自回歸方程計(jì)算值的疊加值作為預(yù)測(cè)值；③自回歸+卡爾曼濾波，即對(duì)單一自回歸模型求得的預(yù)測(cè)值，采用卡爾曼濾波進(jìn)行校正，作為最終預(yù)測(cè)值；④小波分解+雙自回歸+卡爾曼濾波，即對(duì)小波分解+雙自回歸模型求得的預(yù)測(cè)值，采用卡爾曼濾波進(jìn)行校正，作為最終預(yù)測(cè)值。進(jìn)行水質(zhì)預(yù)測(cè)時(shí)，為了盡量提高預(yù)測(cè)的精度，要根據(jù)水庫(kù)水質(zhì)監(jiān)測(cè)資料的實(shí)際情況，合理選擇模型，這點(diǎn)至關(guān)重要。

一些水庫(kù)的水質(zhì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列在頻域上存在著明顯的高頻部分和低頻部分。自回歸預(yù)測(cè)模型的方法基于時(shí)間序列的平穩(wěn)假設(shè)，對(duì)數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性要求較高。如果把時(shí)間序列看做一種信號(hào)，通過(guò)將原始信號(hào)分離成低頻信號(hào)和高頻信號(hào)，必然可以提高時(shí)間序列的平穩(wěn)性，從而提高自回歸預(yù)測(cè)模型的精度。因此，本文選擇上述第2種模型，對(duì)其原理、步驟及預(yù)測(cè)成果(以梁輝水庫(kù)為例)進(jìn)行介紹，并與單一自回歸模型預(yù)測(cè)成果進(jìn)行比較。

1 小波分解高、低頻雙自回歸模型原理

1.1 小波分解原理

水質(zhì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列的預(yù)處理采用離散小波變換，多尺度離散小波變換能將原始信號(hào)(也就是原始水質(zhì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列)進(jìn)行不同時(shí)間分辨率上的分解。以分解層數(shù)n為例，其一般步驟為先將原始信號(hào)S分解為低頻部分c1和高頻部分d1，然后對(duì)低頻部分c1進(jìn)一步分解為c2和d2，以此類(lèi)推，逐層分解[7]。

多尺度小波分解與重構(gòu)一般通過(guò)Mallat算法實(shí)現(xiàn)[8]。Mallat算法理論如下：設(shè)Vj是L2(R)中的一個(gè)多分辨率的分析，φ為尺度函數(shù)，ψj,n為小波函數(shù)，Mallat算法的分解式如下：

(1)

式中：H為低通濾波器；G為高通濾波器。通過(guò)式(1)可以將原始信號(hào)分解為d1，d2，…，dj和cj(j為最大分解層數(shù))，cj和dj分別稱(chēng)為原始信號(hào)在分辨率為2-j的低頻信號(hào)和高頻信號(hào)。

為保證水質(zhì)預(yù)測(cè)結(jié)果更加可靠，分解后還必須利用Mallat算法分別重構(gòu)分解后的高頻和低頻信號(hào)[9]，使它們的樣本數(shù)與原信號(hào)S的樣本數(shù)一致，重構(gòu)描述公式如下：

(2)

式中：H*和G*分別是H和G的對(duì)偶算子。

采用上式對(duì)小波分解后的信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，且有：T=D1+D2+…+Dj+Cj

(3)

式中：D1，D2，…，Dj分別為第1層、第2層、…、第j層高頻信號(hào)重構(gòu)結(jié)果；Cj為第j層低頻信號(hào)重構(gòu)結(jié)果。

1.2 自回歸模型的參數(shù)估計(jì)與檢驗(yàn)準(zhǔn)則原理

(4)

(5)

上述方法中，用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)非常簡(jiǎn)單，參數(shù)估計(jì)無(wú)偏，精度高，可表示為以下方程組：

(6)

則Φ的最小二乘估計(jì)為：φ=(xTx)-1xTY

(7)

本文則以直接最小二乘估計(jì)和Akaike信息檢驗(yàn)準(zhǔn)則的FPE(Final Prediction Error)，AIC(Akaike Information Criterion) ，BIC 準(zhǔn)則結(jié)合具體計(jì)算成果進(jìn)行討論。準(zhǔn)則的具體計(jì)算公式如下：

(8)

(9)

(10)

在各自的準(zhǔn)則函數(shù)取得最小值時(shí)的模型為適用模型。

2 小波分解高、低頻自回歸模型

該模型建模共分以下5個(gè)步驟： ①利用多尺度小波分析理論對(duì)水質(zhì)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行多尺度分解，得到數(shù)據(jù)序列的低頻信號(hào)和高頻信號(hào)；②通過(guò)低通濾波器和高通濾波器的對(duì)偶算子分別重構(gòu)水質(zhì)信號(hào)的低頻部分和高頻部分；③對(duì)重構(gòu)后的高頻信號(hào)(D1，D2，…)和低頻信號(hào)(Cj)自回歸模型進(jìn)行定階和參數(shù)估計(jì)，并對(duì)模型的適用性進(jìn)行檢驗(yàn)，最后分別建立J+1個(gè)自回歸模型；④建立的自回歸模型分別預(yù)測(cè)各層重構(gòu)后的高頻信號(hào)和低頻信號(hào)；⑤疊加各層預(yù)測(cè)值得出下一個(gè)時(shí)刻的預(yù)測(cè)結(jié)果。

3 水庫(kù)水質(zhì)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

以梁輝水庫(kù)為例，詳細(xì)說(shuō)明小波分解高、低頻雙自回歸模型進(jìn)行水庫(kù)水質(zhì)預(yù)測(cè)的具體過(guò)程。梁輝水庫(kù)位于余姚市梨洲街道南廟村，流域面積35.06 km2，是一座以防洪、供水為主，結(jié)合發(fā)電、水產(chǎn)等綜合利用功能的中型水庫(kù)，總庫(kù)容3 152.3萬(wàn)m3。根據(jù)浙江省水資源監(jiān)測(cè)中心余姚監(jiān)測(cè)站多年的人工水質(zhì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，影響其水質(zhì)的主要因素為pH(酸堿度)、DO(dissolved oxygen-溶解氧)、TN(total nitrogen-總氮)、TP(total phosphorus-總磷) 。

3.1 數(shù)據(jù)與方法

選取2005年1月至2011年12月的水質(zhì)指標(biāo)(PH，DO，TN，TP)數(shù)據(jù)用于預(yù)測(cè)模型的建立，2012年1月至2012年12月的數(shù)據(jù)用于預(yù)測(cè)結(jié)果的對(duì)比驗(yàn)證。由于篇幅的限制，只以DO水質(zhì)指標(biāo)為例。

3.2 模型的建立與分析

(a) 低 頻 (b) 高 頻圖1 DO 小波分解Fig.1 DO wavelet low frequency and high frequency diagram

為避免分層過(guò)多造成各層預(yù)測(cè)誤差的疊加現(xiàn)象，故對(duì)水質(zhì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行一層分解。將DO序列分解，所得到的高頻與低頻序列如圖1。

(a) 方差和FPC曲線(xiàn) (b) AIC和BIC曲線(xiàn) 圖2 由DO高頻數(shù)據(jù)所得的方差和各準(zhǔn)則函數(shù)曲線(xiàn)Fig.2 Variance and standard curves given by DO high frequency data

同理可以得到低頻系列的AR模型參數(shù)。

最后將高頻低頻的系列值疊加，得到小波分解高、低頻雙自回歸模型的率定期和預(yù)測(cè)期的DO過(guò)程(圖3)。

(a) 率定期模擬 (b) 預(yù)測(cè)期模擬圖3 小波分解高、低頻雙自回歸模型模擬DO的率定期和預(yù)測(cè)期Fig.3 Simulation results of wavelet decomposition high and low frequency double autoregressive model for DO in the period of calibration and predication

由圖3可見(jiàn)，小波分解高、低頻雙自回歸模型得到的率定期和預(yù)測(cè)期模擬效果較好，通過(guò)計(jì)算其相對(duì)誤差的平均值可知率定期模擬的平均相對(duì)誤差為4.23%，預(yù)測(cè)期的平均相對(duì)誤差為4.34%。因此，對(duì)于DO數(shù)據(jù)系列，小波分解高、低頻雙自回歸模型得到了令人滿(mǎn)意的預(yù)測(cè)效果。這一模型與單一自回歸模型的應(yīng)用效果對(duì)比見(jiàn)表1。

表1 小波分解高、低頻雙自回歸模型與單一自回歸模型的應(yīng)用效果對(duì)比Tab.1 Comparison between application effects of the wavelet decomposition of high and

由表1可見(jiàn)，不管是在率定期還是在檢驗(yàn)期，小波分解高、低頻雙自回歸模型的模擬精度大大優(yōu)于單一自回歸模型。

4 結(jié) 語(yǔ)

從數(shù)據(jù)序列平穩(wěn)性角度出發(fā)，將多尺度小波分析理論方法與自回歸模型相結(jié)合，提出了小波分解高、低頻雙自回歸模型的方法，并將其應(yīng)用于水質(zhì)預(yù)測(cè)中。分析結(jié)果表明：

(1)小波的多層分解可以過(guò)濾出更加精細(xì)的數(shù)據(jù)信號(hào)系列，但在建立自回歸模型時(shí)，各層預(yù)測(cè)誤差會(huì)出現(xiàn)疊加現(xiàn)象，為避免多個(gè)系列誤差的疊加現(xiàn)象，層數(shù)不宜過(guò)多，一般作一層分解。

(2)不管是在率定期還是在檢驗(yàn)期，小波分解高、低頻雙自回歸模型的模擬精度均大大優(yōu)于單一自回歸模型，表明了這一模型的可行性與實(shí)用價(jià)值。

(3)定期復(fù)核，動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型參數(shù)。自回歸模型基于歷史系列進(jìn)行模型參數(shù)的率定，因此，隨著歷史序列數(shù)據(jù)的增加，數(shù)據(jù)樣本容量增加，自回歸模型的參數(shù)宜每隔幾年做必要的復(fù)核，以動(dòng)態(tài)識(shí)別參數(shù)，保證模型的適用性及精度，必要時(shí)可采用卡爾曼濾波實(shí)時(shí)校正。由于自回歸方法本身的局限性(僅僅從歷史數(shù)據(jù)推測(cè)未來(lái)的演變情況)，當(dāng)出現(xiàn)突發(fā)污染事件的情況下，小波分解高、低頻雙自回歸模型的預(yù)測(cè)精度可能達(dá)不到要求，這時(shí)可以結(jié)合水庫(kù)的具體情況，采用卡爾曼濾波進(jìn)行實(shí)時(shí)校正，即上面介紹的第4種模型(小波分解+雙自回歸+卡爾曼濾波)。

參 考 文 獻(xiàn)：

[1]黃國(guó)如， 芮孝芳. 流域降雨徑流時(shí)間序列的混沌識(shí)別及其預(yù)測(cè)研究進(jìn)展[J]. 水科學(xué)進(jìn)展， 2004， 15(2)： 255-260. (HUANG Guo-ru， RUI Xiao-fang. Study advances in diagnosis of chaotic behaviour and its prediction for rainfall and streamflow time series in watershed[J]. Advances in Water Science， 2004， 15(2)： 255-260. (in Chinese))

[2]翟顥瑾， 高晶. 長(zhǎng)江未來(lái)水質(zhì)污染的時(shí)間序列分析[J]. 沈陽(yáng)師范大學(xué)學(xué)報(bào)： 自然科學(xué)版， 2006， 24(1)： 22-24. (ZHAI Hao-jin， GAO Jing. Time series analysis of future water pollution in Yangtze River[J]. Journal of Shenyang Normal University (Natural Science)， 2006， 24(1)： 22-24. (in Chinese))

[3]王開(kāi)章， 劉福勝， 孫鳴. 灰色模型在大武水源地水質(zhì)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J]. 山東農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)： 自然科學(xué)版， 2002， 33(1)： 66-71. (WANG Kai-zhang， LIU Fu-sheng， SUN Ming. The application of greymodel in Dawu water quality predication water resource site[J]. Journal of Shandong Agricultural University (Natural Science)， 2002， 33(1)： 66-71. (in Chinese))

[4]汪萬(wàn)芬， 譚綠貴， 劉曉升. 基于模糊綜合評(píng)價(jià)法的淠河水環(huán)境質(zhì)量評(píng)價(jià)[J]. 資源開(kāi)發(fā)與市場(chǎng)， 2008， 24(5)： 411- 413. (WANG Wan-fen， TAN Lü-gui， LIU Xiao-sheng. Water quality assessment of Pihe River based on fuzzy comprehensive evaluation[J]. Resource Development & Market， 2008， 24(5)： 411- 413. (in Chinese))

[5]萬(wàn)金保， 朱邦輝. 物元模型在廬山風(fēng)景名勝區(qū)水環(huán)境質(zhì)量評(píng)價(jià)中的應(yīng)用[J]. 安徽農(nóng)業(yè)科學(xué)， 2010， 38(6)： 3094-3097. (WAN Jin-bao， ZHU Bang-hui. Application of matter element model in water environment quality of Lushan scenic areas[J]. Journal of Anhui Agriculture Science， 2010， 38(6)： 3094-3097. (in Chinese))

[6]田建平， 曹東衛(wèi)， 李海楠. LM-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在于橋水庫(kù)水質(zhì)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J]. 水利信息化， 2010(3)： 31-34. (TIAN Jian-ping， CAO Dong-wei， LI Hai-nan. Application of LM-BP neural network in water quality prediction for Yuqiao reservoir[J]. Water Resources Informatization， 2010(3)： 31-34. (in Chinese))

[7]MALLAT S G. A theory for multiresolution signal decomposition： the wavelet representation[J]. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence， 1989， 11(7)： 674-693.

[8]徐偉， 何金平. 基于多尺度小波分析的大壩變形自回歸預(yù)測(cè)模型[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(bào)： 工學(xué)版[J]. 2012， 45(3)： 285-289. (XU Wei， HE Jin-ping. Forecast model of dam deformation based on multi-scale wavelet analysis and autoregressive method[J]. Engineering Journal of Wuhan University： 2012， 45(3)： 285-289. (in Chinese))

[9]顧嵐， 安鴻志. 自回歸模型的精細(xì)結(jié)構(gòu)與統(tǒng)計(jì)分析[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)， 1985， 8(4)： 433- 445. (GU Lan， AN Hong-zhi. Statistical analysis of subset AR models[J]. Acta Mathematicae Applicatae Sinica， 1985， 8(4)： 433- 445. (in Chinese))