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(石家莊鐵道大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，河北 石家莊 050043)

非線性濾波問題是運(yùn)動(dòng)目標(biāo)跟蹤研究領(lǐng)域的關(guān)鍵問題，近年來引起越來越多研究者們的關(guān)注。在目標(biāo)模型為非線性時(shí)，通常采用擴(kuò)展卡爾曼濾波器(EKF)[1-2]對(duì)其進(jìn)行跟蹤。它的基本思路是對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的非線性模型在狀態(tài)向量的鄰域內(nèi)做Taylor展開，取其一階或二階近似。然而，該算法需要計(jì)算模型的Jacobian矩陣，因而計(jì)算復(fù)雜，實(shí)現(xiàn)起來較為困難。而且，在模型的非線性較強(qiáng)以及系統(tǒng)噪聲非高斯時(shí)，EKF的估計(jì)精度嚴(yán)重降低，并可能造成濾波器的發(fā)散[3]。基于上述EKF在非線性系統(tǒng)中的問題，近年來提出了粒子濾波[4-5]跟蹤算法。粒子濾波也叫做貝葉斯濾波(Bayes filter)或蒙特卡羅濾波 (Monte Carlo filter)，它是一種蒙特卡羅方法[6]。該算法通過尋找一組在狀態(tài)空間傳播的隨機(jī)樣本對(duì)概率密度函數(shù)進(jìn)行近似，以樣本均值代替積分運(yùn)算，從而獲得狀態(tài)最小方差分布。本文通過仿真實(shí)驗(yàn)研究了噪聲協(xié)方差與粒子數(shù)對(duì)PF的影響，并將PF與EKF進(jìn)行了對(duì)比。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)運(yùn)動(dòng)模型為強(qiáng)非線性時(shí)，PF比EKF具有更小的均方根誤差( RMSE)和更高的目標(biāo)跟蹤精度。

圖1 粒子濾波跟蹤算法流程圖

1 粒子濾波跟蹤算法

粒子濾波跟蹤算法可用于強(qiáng)非線性系統(tǒng)。其流程圖如圖1所示。

粒子濾波跟蹤運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的具體算法如下[7]：

第二步：采樣。通過系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程

xk=f(xk-1,uk) (1)

(2)

式中，q(xk|x0:k-1,uk)為概率密度分布近似目標(biāo)函數(shù)p(xk)。

第三步：更新粒子權(quán)重。通過觀測方程

yk=h(xk,vk) (3)

(4)

式中，yk表示k時(shí)刻實(shí)際觀測值。然后將粒子權(quán)值進(jìn)行歸一化處理

(5)

此時(shí)可以通過式(2)近似計(jì)算出后驗(yàn)概率密度分布

(6)

(7)

第六步：下一狀態(tài)重復(fù)第二步并循環(huán)迭代。

2 目標(biāo)跟蹤仿真實(shí)驗(yàn)及分析

2.1 擴(kuò)展卡爾曼濾波器和粒子濾波器性能對(duì)比

采用廣泛使用的非線性模型，分別使用擴(kuò)展卡爾曼濾波器和粒子濾波器完成了運(yùn)動(dòng)目標(biāo)跟蹤實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果和誤差分析如圖2所示。非線性模型

圖2 EKF與PF狀態(tài)估計(jì)仿真實(shí)驗(yàn)

(8)

式中，wk,vk均為零均值的高斯白噪聲，其方差分別為Q=1和R=1。初始粒子分布為均值為0，方差為2的正態(tài)分布，時(shí)間步長數(shù)為50。粒子濾波的粒子數(shù)為100，蒙特卡洛仿真次數(shù)為200次。

由圖2(a)可以看出，當(dāng)運(yùn)動(dòng)模型是強(qiáng)非線性時(shí)，擴(kuò)展卡爾曼濾波器對(duì)目標(biāo)跟蹤的偏差非常大，在時(shí)間長度為50 s的蒙特卡羅迭代中，幾乎有1/5的目標(biāo)估計(jì)狀態(tài)與真實(shí)狀態(tài)有明顯偏差，有的甚至與真實(shí)狀態(tài)完全相反。而粒子濾波器基本上可以準(zhǔn)確估計(jì)目標(biāo)的狀態(tài)，沒有出現(xiàn)估計(jì)狀態(tài)與目標(biāo)真實(shí)狀態(tài)相反的情況，僅僅與真實(shí)值有很小的偏差。為了從定量的角度來對(duì)比EKF和PF在強(qiáng)非線性下的運(yùn)動(dòng)目標(biāo)跟蹤誤差，本文進(jìn)一步計(jì)算了兩種方法的狀態(tài)估計(jì)均方根誤差RMSE及其均值。圖2(b) 為仿真過程中兩種方法的狀態(tài)估計(jì)均方根誤差曲線，并求得出EKF的RMSE均值為4.828 3，PF的RMSE均值為0.775 32。從以上分析結(jié)果可以看出，PF中的RMSE相對(duì)于EKF得到了顯著地降低，PF中的RMSE均值降低為EKF的16%，PF的估計(jì)性能明顯優(yōu)于EKF。

2.2 粒子數(shù)和噪聲協(xié)方差對(duì)粒子濾波跟蹤算法的影響

在粒子濾波跟蹤算法中，過程噪聲與觀測噪聲協(xié)方差分別影響著目標(biāo)預(yù)測和觀測值，進(jìn)而影響算法中每個(gè)粒子的權(quán)值，最終使濾波結(jié)果受到影響；粒子數(shù)代表著算法中樣本的大小，樣本越多，越能夠反映運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的真實(shí)狀態(tài)。本實(shí)驗(yàn)通過調(diào)整噪聲協(xié)方差的值與粒子數(shù)的大小，來觀察這些因素對(duì)粒子濾波跟蹤算法的影響。非線性系統(tǒng)模型如式(1),式(2)所示，用粒子濾波跟蹤算法對(duì)上述非線性系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)。圖3是過程噪聲與觀測噪聲協(xié)方差均為1，粒子數(shù)分別取值N=20、50、100、200時(shí)，用PF進(jìn)行目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

圖3 噪聲協(xié)方差為1，粒子數(shù)分別取20,50,100,200的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖4是過程噪聲與觀測噪聲協(xié)方差均為0.1，粒子數(shù)分別取值N=20、50、100、200時(shí)，用PF進(jìn)行目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。表2為不同噪聲協(xié)方差情況下，粒子數(shù)分別取值N=20、50、100、200時(shí)的RMSE均值。

圖4 噪聲協(xié)方差為0.1，粒子數(shù)分別取20,50,100,200的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表1 粒子濾波狀態(tài)估計(jì)均方誤差均值粒子數(shù)噪聲協(xié)方差=1噪聲協(xié)方差=0.1203.909 62.866 2502.522 20.921 61002.341 60.543 92002.2260.425 16

由圖3、圖4均可以看出，噪聲協(xié)方差值一定時(shí)，隨著粒子數(shù)的增加，粒子濾波狀態(tài)估計(jì)值與實(shí)際值的差值減小，粒子濾波狀態(tài)估計(jì)值越能真實(shí)地反映系統(tǒng)真實(shí)狀態(tài)。對(duì)比圖3和圖4以及由表1可知，降低噪聲協(xié)方差的值，能夠降低粒子濾波估計(jì)的誤差，提高PF在目標(biāo)跟蹤中的跟蹤精確度。

3 結(jié)論

通過仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)比了PF與EKF兩種算法在強(qiáng)非線性條件下的運(yùn)行目標(biāo)跟蹤的性能，并研究了噪聲協(xié)方差與粒子數(shù)對(duì)PF跟蹤算法的影響。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：

(1)在強(qiáng)非線性條件下，PF能夠準(zhǔn)確的對(duì)目標(biāo)的狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，相比于EKF有更高的精確度。

(2)隨著噪聲協(xié)方差的降低，粒子濾波的跟蹤精度明顯提高。

(3)在噪聲協(xié)方差一定的條件下，粒子數(shù)的增加能夠使粒子濾波的跟蹤誤差降低。

但是，粒子濾波跟蹤算法也存在一些問題，比如：增大粒子數(shù)在降低運(yùn)動(dòng)目標(biāo)跟蹤誤差的同時(shí)，會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量迅速增加；在重采樣環(huán)節(jié)會(huì)出現(xiàn)樣本枯竭的問題等等，這些都會(huì)影響跟蹤性能。對(duì)于前一問題，可以在保證跟蹤誤差較低的前提下，盡量減少粒子的數(shù)目；對(duì)于樣本枯竭的問題，可以采用重采樣-移動(dòng)算法(Resampling-Move Algorithm)[8]等改進(jìn)算法來解決，但改進(jìn)算法有時(shí)會(huì)出現(xiàn)計(jì)算量大和收斂判斷難等問題，所以這些問題都還需進(jìn)一步研究。

參 考 文 獻(xiàn)

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[5]Doucet A, Gordon N, Krishnamurthy V. Particle filters for state estimation of jump Markov linear systems[J]. IEEE Trans. on Signal Processing, 2001, 49(3): 613-624.

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