趙國榮，蓋俊峰，胡正高，劉文寶

（1.海軍航空工程學(xué)院a.控制工程系；b.研究生管理大隊(duì)，山東煙臺264001；2.93132部隊(duì)，黑龍江齊齊哈爾161016）

模型預(yù)測控制（Model Predictive Control，MPC）是一種在工業(yè)過程控制領(lǐng)域得到成功應(yīng)用的控制策略。由于直接產(chǎn)生于實(shí)際工業(yè)過程控制，且全面考慮了工業(yè)實(shí)際需求，具有較高的綜合控制質(zhì)量，因而MPC自其誕生之日起便吸引了眾多研究者的目光，并逐漸引起了工業(yè)控制界和理論界的重視。迄今為止，模型預(yù)測控制已被廣泛應(yīng)用于發(fā)電、煉油、冶金、化工、汽車、航天等領(lǐng)域。MPC 作為一種新興的控制理論能得到如此成功應(yīng)用，其主要原因可總結(jié)為：

1）通過滾動(dòng)優(yōu)化策略在線求解局部最優(yōu)問題。模型預(yù)測控制是一種動(dòng)態(tài)優(yōu)化方法，通過優(yōu)化窗口的滾動(dòng)，對模型預(yù)測輸出值和實(shí)際輸出值進(jìn)行比較，再通過反饋校正實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)輸出對參考值的跟蹤。由于MPC 采用有限時(shí)域優(yōu)化窗口，僅需求解局部最優(yōu)問題，大大減少了優(yōu)化計(jì)算量。同時(shí)，反饋校正可解決系統(tǒng)干擾等不確定性問題。

2）直接處理約束條件的能力。模型預(yù)測控制通過在線優(yōu)化求解控制律，在其在線優(yōu)化過程中，可以全面考慮各種約束條件（如狀態(tài)約束、輸入約束、輸入增量約束、輸出約束等），從而得出既能使優(yōu)化指標(biāo)最優(yōu)又能滿足各種約束條件的控制律，這是傳統(tǒng)的PID控制和經(jīng)典最優(yōu)控制理論所無法實(shí)現(xiàn)的。

上述2 個(gè)特點(diǎn)使得MPC 更接近實(shí)際的工業(yè)生產(chǎn)控制過程，因而得到了眾多工程技術(shù)人員和研究者的青睞。

預(yù)測控制自誕生至今，在工程實(shí)踐和理論研究方面都取得了重大進(jìn)展[1-6]。本文由模型預(yù)測控制的基本原理入手，對非線性模型預(yù)測控制的基本思路進(jìn)行了說明；對目前該領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題和取得的成果進(jìn)行了綜述；從當(dāng)前的需求展望該領(lǐng)域，提出了其研究應(yīng)該加強(qiáng)的幾個(gè)方面的問題。

1 非線性模型預(yù)測控制的理論基礎(chǔ)

1.1 非線性模型預(yù)測控制的基本原理

模型預(yù)測控制發(fā)展至今，出現(xiàn)了若干不同類型的算法。但這些不同算法的基本原理是相同的，包括如下3項(xiàng)基本內(nèi)容[1]：

1）預(yù)測模型。MPC 是一種基于預(yù)測模型的控制算法，根據(jù)對象系統(tǒng)的歷史信息和未來控制輸入，利用預(yù)測模型對系統(tǒng)的未來輸出進(jìn)行預(yù)測。預(yù)測模型的結(jié)構(gòu)形式是多樣的，狀態(tài)方程、傳遞函數(shù)、階躍響應(yīng)、脈沖響應(yīng)和一些非線性系統(tǒng)、分布參數(shù)系統(tǒng)的模型，都可以作為MPC的預(yù)測模型。

2）滾動(dòng)優(yōu)化。MPC是一種優(yōu)化控制算法，與經(jīng)典最優(yōu)控制理論并無本質(zhì)區(qū)別。但MPC 是一種有限時(shí)域的滾動(dòng)優(yōu)化，不是像傳統(tǒng)最優(yōu)控制那樣采用一個(gè)對全局都相同的優(yōu)化性能指標(biāo)，而是在每一時(shí)刻都有一個(gè)特定的優(yōu)化性能指標(biāo)，在每一個(gè)優(yōu)化時(shí)域內(nèi)進(jìn)行在線滾動(dòng)優(yōu)化。滾動(dòng)優(yōu)化是MPC 區(qū)別于經(jīng)典最優(yōu)控制的基本特點(diǎn)。

3）反饋校正。MPC 是一種閉環(huán)控制算法。在通過滾動(dòng)優(yōu)化確定了下一個(gè)控制時(shí)域內(nèi)的控制作用序列后，并不是將此控制序列全部作用于系統(tǒng)，而僅實(shí)現(xiàn)當(dāng)前時(shí)刻的控制作用。到下一時(shí)刻，根據(jù)對象系統(tǒng)的實(shí)際輸出，利用預(yù)測模型對系統(tǒng)進(jìn)行新的預(yù)測，然后基于此開始新一輪的優(yōu)化。反饋校正能有效防止模型失配和系統(tǒng)干擾引起的控制作用對理想狀態(tài)的偏離，使MPC構(gòu)成閉環(huán)優(yōu)化。

總之，模型預(yù)測控制是一種基于預(yù)測模型、進(jìn)行滾動(dòng)優(yōu)化并結(jié)合反饋校正的優(yōu)化控制策略。其基本原理如圖1所示。

圖1 MPC的基本原理Fig.1 Basic principle of MPC

下面以離散時(shí)間非線性系統(tǒng)為例，進(jìn)一步介紹非線性模型預(yù)測控制（NMPC）的基本原理。考慮如下的離散時(shí)間非線性系統(tǒng)：

式（1）中：x∈?n為系統(tǒng)狀態(tài)；u∈?m為系統(tǒng)輸入，k=0,1,…為采樣時(shí)刻；f(? ,?)為非線性函數(shù)，且有f( 0,0)=0。假設(shè)原點(diǎn)為系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)，且狀態(tài)完全可測。

考慮系統(tǒng)（1）的狀態(tài)約束和輸入約束如下：

式（2）中：X和U分別為包含原點(diǎn)的凸集，且滿足X和U都為緊的?；跔顟B(tài)空間模型（1）的非線性模型預(yù)測控制的基本結(jié)構(gòu)如圖2所示。其中，N為預(yù)測步長，x(i|k)和u(i|k)為k時(shí)刻對未來第k+i時(shí)刻預(yù)測的狀態(tài)和輸入變量。

考慮帶有約束條件（2）的系統(tǒng)（1），則NMPC的基本問題可定義為以下的有限時(shí)域最優(yōu)控制問題（Finite Horizon Optimal Control Problem，F(xiàn)HOCP）：

式（3）中：目標(biāo)函數(shù)J(x)為有限時(shí)域N內(nèi)的控制性能函數(shù)，通常為定義在原點(diǎn)某鄰域內(nèi)的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且有J( 0)=0；V(k)為最優(yōu)性能指標(biāo)函數(shù)，一般稱為值函數(shù)；x(k)∈X為系統(tǒng)在當(dāng)前時(shí)刻k的狀態(tài)。在非線性模型預(yù)測控制的基本定義中，J(x)通常為有限個(gè)正定函數(shù)之和。在任一采樣時(shí)刻k，定義FHOCP在線優(yōu)化控制變量u(k;N)為

一般情況下，取控制域Nc小于預(yù)測域Np，即0 ＜Nc＜Np。

若上述FHOCP 優(yōu)化可行，可得最優(yōu)控制序列u*(k;N)，僅將該最優(yōu)控制序列的第一項(xiàng)u*( 0|k)作用于實(shí)際控制系統(tǒng)；在下一采樣時(shí)刻k+1，用系統(tǒng)狀態(tài)x(k+1) 作為FHOCP的初始狀態(tài)，重復(fù)優(yōu)化執(zhí)行過程，直到采樣過程結(jié)束。以上介紹的就是NMPC 實(shí)現(xiàn)滾動(dòng)優(yōu)化控制的基本原理。

1.2 非線性預(yù)測控制的無窮時(shí)域近似方法

考慮離散時(shí)間非線性系統(tǒng)（1）。在k時(shí)刻由x(k)出發(fā)的無窮時(shí)域最優(yōu)控制問題的性能指標(biāo)可描述為

而模型預(yù)測控制通常在有限時(shí)域內(nèi)進(jìn)行優(yōu)化，其性能指標(biāo)可描述為

比較式（5）和式（6）可得

由上述分析可知，要將模型預(yù)測控制的有限時(shí)域優(yōu)化問題近似為無窮時(shí)域的最優(yōu)控制問題，必需對有限時(shí)域后的無窮時(shí)域部分進(jìn)行補(bǔ)償。對于這個(gè)問題，常見的方法有3種，下面分別進(jìn)行介紹。

1.2.1 帶有終端零約束（等式約束）的NMPC

對MPC的滾動(dòng)時(shí)域控制引入終端零約束的思想，最早是由Kwon等在文獻(xiàn)[7]中提出的。文獻(xiàn)[8-9]又將此思想應(yīng)用到了廣義預(yù)測控制（Generalized predictive control，GPC）中，提出了終端零狀態(tài)約束的GPC 算法。文獻(xiàn)[10]提出了一種基于終端零約束的NMPC算法?？紤]系統(tǒng)（1），具有終端零約束的NMPC 優(yōu)化問題可描述為：

式（8）中：x( 0,x0)=x0，x0為優(yōu)化起始點(diǎn)；N為預(yù)測步長。

終端零約束是對系統(tǒng)未來狀態(tài)的一種估計(jì)，即在預(yù)測時(shí)域后的系統(tǒng)狀態(tài)都為零。此方法雖能保證系統(tǒng)穩(wěn)定，但對無窮時(shí)域的近似卻比較保守且條件苛刻。

1.2.2 帶有終端代價(jià)函數(shù)的NMPC

文獻(xiàn)[11]將終端零約束進(jìn)行了松弛化處理，針對無約束線性系統(tǒng)引入終端加權(quán)方法保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其實(shí)質(zhì)是為MPC控制時(shí)域后的無窮時(shí)域性能指標(biāo)給出了一個(gè)上界，這也是具有終端代價(jià)函數(shù)的NMPC的基本思想。具有終端代價(jià)函數(shù)的NMPC 的優(yōu)化問題可描述為：

式（9）中：F(?)為終端代價(jià)函數(shù)，且滿足F( 0)=0 ，F(xiàn)(x)≥α( ‖x‖)，α(?)為K類函數(shù)；F(x(N,x0))滿足

終端代價(jià)函數(shù)是對終端零約束的一種擴(kuò)展，相比于終端零約束，此方法對無窮時(shí)域的近似具有更低的保守性，且應(yīng)用條件更為寬松。

1.2.3 帶有終端集約束的NMPC

帶有終端集約束的NMPC 方案是與雙模控制方案一起出現(xiàn)的。文獻(xiàn)[12]針對一類有約束的非線性系統(tǒng)，將終端零約束用終端集代替，提出了雙模預(yù)測控制方案。雙?？刂品桨甘菍o窮時(shí)域最優(yōu)控制進(jìn)行近似的一種預(yù)測控制策略，是一種對后來的研究工作產(chǎn)生重要影響的控制思想。帶有終端集約束的NMPC優(yōu)化問題可描述為：

式（10）中：Xf為終端狀態(tài)約束集，簡稱終端集，是包含原點(diǎn)的閉集。此類問題通常采用雙?？刂平Y(jié)構(gòu)，當(dāng)狀態(tài)在Xf外時(shí)，采用有限時(shí)域滾動(dòng)控制，在此有限時(shí)域內(nèi)，將系統(tǒng)狀態(tài)驅(qū)動(dòng)到終端集Xf內(nèi)；當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)入Xf內(nèi)后，則采用局部線性反饋控制律對其進(jìn)行控制。實(shí)際上，終端狀態(tài)集約束與終端代價(jià)函數(shù)約束一樣，也是終端零約束的一種擴(kuò)展。一般來說，把系統(tǒng)的狀態(tài)驅(qū)動(dòng)到一個(gè)集合內(nèi)要相對容易，因而具有終端集約束的NMPC 方案比具有終端零約束的NMPC 方案的保守性更低，也可較好地對無窮時(shí)域最優(yōu)化進(jìn)行近似。

2 非線性模型預(yù)測控制的研究進(jìn)展

模型預(yù)測控制理論的發(fā)展經(jīng)歷了2 個(gè)主要階段。第1個(gè)階段通常稱為經(jīng)典預(yù)測控制理論階段。在此期間，針對工業(yè)界在實(shí)際中的需求，提出了若干預(yù)測控制算法，如動(dòng)態(tài)矩陣控制（Dynamic Matrix Control，DMC）[13]、模型算法控制（Model Algorithmic control，MAC）[14]、內(nèi)?？刂疲↖nternal Model Control，IMC）[15]、預(yù)測函數(shù)控制（Predictive Funetional Control，PFC）[16]和廣義預(yù)測控制（Generalized Predictive Control，GPC）[17]，等等。自上世紀(jì)90年代中期以來，學(xué)術(shù)界掀起了對模型預(yù)測控制研究的新一輪高潮，通常將這一時(shí)期稱為模型預(yù)測控制理論發(fā)展的第2 階段，即現(xiàn)代預(yù)測控制的綜合理論階段。在此階段，以文獻(xiàn)[6]為代表，涌現(xiàn)出了大量具有重要意義的學(xué)術(shù)成果。本節(jié)著眼于模型預(yù)測控制發(fā)展的第2 階段，以近年出現(xiàn)的具有代表性的理論研究成果為主，對預(yù)測控制相關(guān)領(lǐng)域熱點(diǎn)問題的研究進(jìn)展進(jìn)行簡要介紹。

2.1 基于線性近似的非線性模型預(yù)測控制研究

非線性系統(tǒng)預(yù)測控制的關(guān)鍵問題在于如何處理非線性和降低在線計(jì)算量。在線性系統(tǒng)控制問題中，已經(jīng)發(fā)展出多種成熟的數(shù)學(xué)方法，如Fourier變換、Laplace 變換、疊加原理，等等。但對非線性系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)控制器時(shí)，上述數(shù)學(xué)工具都不再適用。因此，對于實(shí)際工程人員和理論研究者來說，處理非線性系統(tǒng)最直接也是最有效的辦法是將系統(tǒng)的非線性特性線性化，然后再用成熟的線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法完成控制過程[18]。在這一思路下，工業(yè)界和理論界出現(xiàn)了一批基于線性近似方法的非線性模型預(yù)測控制算法。1984年，Garcia 在文獻(xiàn)[19]中首次提出了應(yīng)用線性化方法的非線性預(yù)測控制方案，并在實(shí)際工業(yè)過程中進(jìn)行了應(yīng)用。文獻(xiàn)[20]在文獻(xiàn)[19]方法的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)擴(kuò)展Kalman 濾波器以改善擾動(dòng)估計(jì)，并能較好地處理不穩(wěn)定過程動(dòng)態(tài)特性。1987年，Costas 提出了全局反饋線性化的思想[21]。文獻(xiàn)[22]提出了基于遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局反饋線性化的廣義預(yù)測控制方案，文獻(xiàn)[23]提出了基于全局反饋線性化的預(yù)測函數(shù)控制器，并進(jìn)行了工業(yè)應(yīng)用研究。文獻(xiàn)[24]用中值定理將非線性系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理，并對線性系統(tǒng)的時(shí)變參數(shù)進(jìn)行逼近。文獻(xiàn)[25]針對只含輸出非線性環(huán)節(jié)的系統(tǒng)用Taylor 級數(shù)一階展開近似線性化，但是該方法不能處理含有輸入非線性環(huán)節(jié)的系統(tǒng)。運(yùn)用Taylor級數(shù)展開法對非線性系統(tǒng)進(jìn)行線性近似時(shí)，要求表征系統(tǒng)模型的輸入輸出函數(shù)必須連續(xù)可微。文獻(xiàn)[26]指出，利用Stirling 插值公式對非線性函數(shù)進(jìn)行線性化處理的精度要高于Taylor 一階近似，且不需對其進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，因而對不滿足連續(xù)可微假設(shè)的非線性系統(tǒng)，Stirling插值公式依然適用。上述文獻(xiàn)進(jìn)行預(yù)測控制器設(shè)計(jì)時(shí)，為了降低在線計(jì)算量，通常忽略了線性化過程中產(chǎn)生的非線性高階項(xiàng)。

2.2 具有終端代價(jià)函數(shù)的非線性模型預(yù)測控制研究

在1.2.2節(jié)中已經(jīng)提到，終端代價(jià)函數(shù)是對終端零約束的一種擴(kuò)展，相比于終端零約束，此方法對無窮時(shí)域的近似具有更低的保守性，且應(yīng)用條件更為寬松。因此，具有終端代價(jià)函數(shù)的非線性模型預(yù)測控制方法成為近年來研究的熱點(diǎn)。終端代價(jià)函數(shù)對NMPC的控制性能起著十分重要的作用，終端代價(jià)函數(shù)的選取對增大系統(tǒng)的吸引域、降低全局性能指標(biāo)的消耗都具有積極意義。文獻(xiàn)[27]提出了一種經(jīng)濟(jì)性模型預(yù)測控制方法，引入了一個(gè)廣義代價(jià)函數(shù)來實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)。文獻(xiàn)[11]用偽代數(shù)Riccati方程作為終端代價(jià)函數(shù)，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[28]針對一類無終端狀態(tài)約束的模型預(yù)測控制，證明了按比例增大終端代價(jià)函數(shù)會(huì)相應(yīng)的增大預(yù)測控制的吸引域。文獻(xiàn)[29]采用支持向量機(jī)擬合的方法，為一類離散時(shí)間非線性系統(tǒng)生成了終端代價(jià)函數(shù)，并保證了系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[30]采用一個(gè)二次型終端代價(jià)函數(shù)，對系統(tǒng)進(jìn)行有限時(shí)域優(yōu)化，同時(shí)指出只要選取適當(dāng)?shù)膮?shù)便可保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但未明確給出參數(shù)的選取規(guī)則，以及不同參數(shù)對系統(tǒng)性能指標(biāo)的影響。

2.3 非線性時(shí)滯系統(tǒng)模型預(yù)測控制研究進(jìn)展

現(xiàn)代工業(yè)控制過程主要存在2 大難題：對象系統(tǒng)的非線性問題和時(shí)滯問題。實(shí)際控制過程中的對象系統(tǒng)絕大部分為非線性系統(tǒng)，而且往往無法用準(zhǔn)確的模型進(jìn)行描述；而時(shí)滯現(xiàn)象廣泛存在于工業(yè)控制系統(tǒng)中，如核反應(yīng)系統(tǒng)、微波發(fā)生器、渦輪噴氣機(jī)、軋制系統(tǒng)、長管道進(jìn)料系統(tǒng)等等。通常情況下，時(shí)滯能使系統(tǒng)的性能變壞，甚至引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定。從理論研究的角度來看，時(shí)滯現(xiàn)象給系統(tǒng)穩(wěn)定性分析及控制器設(shè)計(jì)帶來了很大困難[31]。由于時(shí)滯系統(tǒng)能引起對象系統(tǒng)的不穩(wěn)定，因而針對時(shí)滯系統(tǒng)的模型預(yù)測控制必須研究其穩(wěn)定性，而不是僅將預(yù)測時(shí)域進(jìn)行調(diào)整，使其大于時(shí)滯常數(shù)就可以了[1]。早期關(guān)于時(shí)滯系統(tǒng)的模型預(yù)測控制方法很少考慮對系統(tǒng)的約束條件，沒有充分體現(xiàn)出模型預(yù)測控制算法的優(yōu)勢。Kothare 等[32]針對輸入受限的時(shí)滯系統(tǒng)給出了基于LMI 約束的預(yù)測控制思路，但并沒有得出具有實(shí)際意義的結(jié)果，正是由于系統(tǒng)時(shí)滯的存在以及模型的不確定性。

針對時(shí)滯系統(tǒng)的模型預(yù)測控制的研究大多以狀態(tài)空間模型為研究對象，其主要原因可總結(jié)為2點(diǎn)：首先，在處理多變量問題上，狀態(tài)空間模型與基于輸入輸出關(guān)系的傳遞函數(shù)相比具有明顯的優(yōu)越性；其次，目前對非線性系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析的最佳工具為基于狀態(tài)空間的Lyapunov 穩(wěn)定性理論[6]。鑒于上述原因，目前的研究成果絕大部分是基于狀態(tài)空間描述的模型。由于模型預(yù)測控制在工業(yè)過程中能有效地處理約束條件，因而開展考慮約束的時(shí)滯系統(tǒng)模型預(yù)測控制方法研究具有重要的理論和工程應(yīng)用意義。文獻(xiàn)[33]針對一類凸多面體不確定時(shí)滯系統(tǒng)，進(jìn)行了魯棒模型預(yù)測控制算法研究。文獻(xiàn)[34-35]針對時(shí)滯常數(shù)未知的凸多面體不確定系統(tǒng)，分別提出了相應(yīng)的模型預(yù)測控制算法。文獻(xiàn)[36]針對具有復(fù)雜時(shí)滯的系統(tǒng)，提出了一種狀態(tài)反饋預(yù)測控制方法，利用狀態(tài)變量值在預(yù)測時(shí)域內(nèi)保持不變的假設(shè)推導(dǎo)出了適合工程應(yīng)用的預(yù)測控制算法。近年來，針對非線性時(shí)滯系統(tǒng)的預(yù)測控制得到了學(xué)者們的進(jìn)一步研究[37-41]。Reble等在文獻(xiàn)[42-45]中研究了非線性連續(xù)時(shí)滯系統(tǒng)模型預(yù)測控制中的穩(wěn)定性和次優(yōu)估計(jì)問題，提出了時(shí)滯系統(tǒng)模型預(yù)測控制的次優(yōu)性指標(biāo)等概念。

2.4 基于LMI的魯棒模型預(yù)測控制研究進(jìn)展

隨著模型預(yù)測控制方法與理論的日趨成熟，對于不確定對象的魯棒模型預(yù)測控制的研究成為當(dāng)前預(yù)測控制領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題。魯棒預(yù)測控制的實(shí)質(zhì)是在線求解一個(gè)關(guān)于系統(tǒng)未來狀態(tài)和輸入的min-max優(yōu)化問題。在現(xiàn)有的研究成果中，不確定系統(tǒng)一般分為基于擾動(dòng)模型的受擾系統(tǒng)和基于多胞模型的參數(shù)不確定系統(tǒng)。而更為普遍的研究對象是采用多胞模型描述的不確定系統(tǒng)。相比于擾動(dòng)模型，多胞模型的適用性更廣，非線性系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)在特定的條件下都可以轉(zhuǎn)化為多胞模型描述的不確定系統(tǒng)。對于多胞模型描述的不確定系統(tǒng)，線性矩陣不等式（Linear Matrix Inequalities，LMI）成為魯棒預(yù)測控制器設(shè)計(jì)的重要工具。1996年，Kothare等在文獻(xiàn)[32]中率先提出了針對多胞不確定系統(tǒng)的魯棒預(yù)測控制器設(shè)計(jì)方法。該方法基于橢圓不變集理論，由min-max原理出發(fā)，通過對目標(biāo)性能函數(shù)上界進(jìn)行優(yōu)化，將魯棒預(yù)測控制問題轉(zhuǎn)化為由LMI描述的優(yōu)化問題：

式中，*表示對稱矩陣中相應(yīng)的對稱項(xiàng)。

上述第2個(gè)不等式表示采用反饋增益YQ-1時(shí)，多胞各頂點(diǎn)模型中的無窮時(shí)域優(yōu)化性能指標(biāo)上界均能保證為γ。第3和第4個(gè)不等式分別描述了系統(tǒng)的輸入約束和狀態(tài)約束。

文獻(xiàn)[32]為后來采用LMI方法設(shè)計(jì)魯棒預(yù)測控制器及處理約束條件的研究奠定了基礎(chǔ)。Cuzzola 等[46]基于文獻(xiàn)[32]，針對用多胞模型描述的線性時(shí)變系統(tǒng)，通過設(shè)計(jì)參數(shù)依賴Lyapunov 函數(shù)降低了文獻(xiàn)[32]中方法的保守性。而Mao[47]通過糾正文獻(xiàn)[46]中關(guān)于不變集的設(shè)計(jì)錯(cuò)誤，完善了該方法。文獻(xiàn)[48]用LMI 方法設(shè)計(jì)了一種高效魯棒預(yù)測控制器，在性能分析的基礎(chǔ)上提出了改善魯棒預(yù)測控制次優(yōu)性的方法。近年來，針對不確定時(shí)滯系統(tǒng)魯棒預(yù)測控制的研究也取得了若干成果[49-50]。其中，文獻(xiàn)[50]針對一類多胞模型描述的不確定時(shí)滯系統(tǒng)，提出了一種帶有時(shí)滯補(bǔ)償?shù)臅r(shí)滯相關(guān)魯棒模型預(yù)測控制方法。將難以求解的minmax優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為帶有LMI約束的凸優(yōu)化問題，設(shè)計(jì)了能保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的魯棒模型預(yù)測控制器，并證明了其控制算法的可行性。文獻(xiàn)[51]針對非線性系統(tǒng)中不確定性問題設(shè)計(jì)了模型預(yù)測控制器。Cannon等在文獻(xiàn)[52]中通過把非線性對象系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)化為多胞描述模型，進(jìn)而采用高效魯棒預(yù)測控制方法研究了其模型預(yù)測控制問題。

3 對非線性模型預(yù)測控制研究的展望

非線性模型預(yù)測控制無論是理論還是應(yīng)用都遠(yuǎn)未成熟，這主要是因?yàn)榉蔷€性系統(tǒng)及其約束優(yōu)化問題都不能用參數(shù)化的形式統(tǒng)一表達(dá)。近年來，預(yù)測控制定性綜合理論的發(fā)展雖然為非線性約束預(yù)測控制帶來了不少新的思路，但與實(shí)際應(yīng)用尚有距離。從目前應(yīng)用領(lǐng)域?qū)ζ涞男枨髞砜矗瑧?yīng)該加強(qiáng)以下方面的研究：

1）進(jìn)一步開展基于線性近似的模型預(yù)測控制算法。在該部分的研究工作中，是否有更適合應(yīng)用在非線性模型預(yù)測控制中的線性近似方法，是需要進(jìn)一步探討的問題。另外，在對線性近似所產(chǎn)生高階項(xiàng)進(jìn)行逼近的過程中，應(yīng)尋求優(yōu)秀的非線性逼近方法，以進(jìn)一步減少非線性模型預(yù)測控制的在線計(jì)算量。

2）進(jìn)一步研究具有終端代價(jià)函數(shù)的非線性模型預(yù)測控制問題。目前所見的研究成果中的終端代價(jià)函數(shù)大多是固定的，終端代價(jià)函數(shù)不能隨著控制過程的推進(jìn)而進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，這不利于增大吸引域和降低全局性能指標(biāo)消耗。因此，具有自調(diào)節(jié)終端代價(jià)函數(shù)的預(yù)測控制理論及其工程應(yīng)用問題是進(jìn)一步研究的方向。

3）進(jìn)一步開展針對時(shí)滯系統(tǒng)的模型預(yù)測控制問題的研究。目前針對時(shí)滯系統(tǒng)的非線性模型預(yù)測控制算法大多需要構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)來保證系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定，這無疑增加了計(jì)算量。尋求非線性時(shí)滯系統(tǒng)模型預(yù)測控制的新思路和新方法，是值得進(jìn)一步研究的問題。另外，現(xiàn)有文獻(xiàn)在對多胞時(shí)滯系統(tǒng)進(jìn)行魯棒預(yù)測控制研究時(shí)，通常假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)實(shí)時(shí)可測，這與很多工程實(shí)踐是不相符的。因此，考慮系統(tǒng)狀態(tài)不可直接測量的情況，開展具有輸出反饋的魯棒模型預(yù)測控制算法研究具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。

綜上所述，預(yù)測控制的研究應(yīng)該著力克服理論與應(yīng)用的脫節(jié)，針對各應(yīng)用領(lǐng)域的需求，發(fā)展既有理論保證、又能滿足應(yīng)用環(huán)境和實(shí)時(shí)性要求的高效算法，為各行各業(yè)解決約束優(yōu)化問題提供理論依據(jù)充分、實(shí)用性強(qiáng)、兼顧優(yōu)化與穩(wěn)定等性能要求的系統(tǒng)理論和算法，并以此推動(dòng)預(yù)測控制理論的進(jìn)一步發(fā)展，這是預(yù)測控制研究始終追求的目標(biāo)，也是預(yù)測控制未來發(fā)展的方向。

4 結(jié)束語

在過去的近20年里，非線性模型預(yù)測控制取得了長足的進(jìn)步。通過采用對無窮時(shí)域優(yōu)化的近似，較好地解決了非線性模型預(yù)測控制穩(wěn)定性保證和性能優(yōu)化的問題。許多具有性能保證的預(yù)測控制器設(shè)計(jì)方法相繼提出，為非線性模型預(yù)測控制的實(shí)際應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。如何設(shè)計(jì)同時(shí)具有良好控制性能，較大初始可行域和較小在線計(jì)算量的高效非線性模型預(yù)測控制器，成為近年來研究的熱點(diǎn)，這是一個(gè)需要繼續(xù)研究的課題。而在基本非線性模型預(yù)測控制理論日漸成熟的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮狀態(tài)觀測器、系統(tǒng)參數(shù)辨識以及多速率采樣等情況，也必將產(chǎn)生更多具有挑戰(zhàn)性的問題。

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