（海軍航空工程學(xué)院基礎(chǔ)部，山東煙臺(tái)264001）

圖像在形成、傳輸和存儲(chǔ)的過(guò)程中，由于受多種因素的影響，圖像的質(zhì)量會(huì)有所下降，這一過(guò)程稱為圖像的退化或降質(zhì)。如果想提取圖像中的有用信息，就需要對(duì)退化圖像進(jìn)行復(fù)原。圖像復(fù)原是研究怎樣從退化的圖像中復(fù)原出原始的清晰圖像，也就是要根據(jù)已有的退化圖像和估計(jì)的退化因子反演推導(dǎo)出原始的圖像。退化因子即是需要估計(jì)退化過(guò)程的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)（Point Spread Function，PSF）。對(duì)于運(yùn)動(dòng)模糊退化，需要估計(jì)出運(yùn)動(dòng)模糊PSF 中的2個(gè)參數(shù)——模糊尺度和模糊方向。

運(yùn)動(dòng)模糊參數(shù)估計(jì)主要有2類方法：一類是基于空域的參數(shù)估計(jì)方法[1-5]；一類是基于頻域的參數(shù)估計(jì)方法[6-9]?；诳沼虻膮?shù)識(shí)別方法利用退化圖像中的點(diǎn)、線和邊緣等信息，當(dāng)模糊尺度較大時(shí)，識(shí)別的誤差也很大[4]。而基于頻域的參數(shù)識(shí)別的方法受噪聲影響嚴(yán)重[8，10]。

本文分析了運(yùn)動(dòng)模糊PSF的倒譜特性，得到基于倒譜的參數(shù)估計(jì)方法。并通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該方法的有效性。

1 運(yùn)動(dòng)模糊退化的數(shù)學(xué)模型

圖像退化的一般模型可表示為[11]

式（1）中：g(x,y)、f(x,y)和h(x,y)分別為退化圖像、原始圖像和退化系統(tǒng)的PSF；n(x,y)表示噪聲。不同的退化系統(tǒng)對(duì)應(yīng)著不同的h(x,y)。

用攝像機(jī)獲取景物圖像時(shí)，由于相機(jī)曝光時(shí)景物和攝像機(jī)之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)而形成圖像模糊現(xiàn)象稱為運(yùn)動(dòng)模糊。運(yùn)動(dòng)模糊的PSF可以表示為：

式中，θ為模糊方向與x軸夾角。

如式（2）所示，運(yùn)動(dòng)模糊PSF依賴于2個(gè)參數(shù)——模糊尺度L 和模糊方向θ，因而對(duì)運(yùn)動(dòng)模糊PSF的估計(jì)就是對(duì)這2個(gè)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。其傅里葉變換結(jié)果H(u,v)為

式中，ω=u cos θ+v sin θ。

2 倒譜定義及性質(zhì)

給定二維函數(shù)h(x,y)，其倒譜的計(jì)算公式為[6]

式中，?表示傅里葉變換。

倒譜可以看做從h(x,y)到C(p,q)的變換，如果用C{·}來(lái)表示倒譜變換，則

由于二維傅里葉變換?是可分的[11]（即對(duì)二維函數(shù)f(x,y)做?變換，可先對(duì)x（或y）做?變換，再對(duì)y（或x）做?變換）以及式（5）中絕對(duì)值的存在，算子C{·}為非線性可分算子。由?變換的性質(zhì)很容易推導(dǎo)出倒譜變換的性質(zhì)：

1）旋轉(zhuǎn)。如果C{h(r,θ)}=C(ρ,φ)，則

即函數(shù)旋轉(zhuǎn)，倒譜也隨之旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)的角度值相同。

2）平移。因?yàn)?/p>

所以

即原函數(shù)經(jīng)平移后的倒譜與原函數(shù)的倒譜相同。

3）可分函數(shù)的倒譜。倒譜算子C{·}的一個(gè)重要性質(zhì)為它的分離特性（對(duì)可分函數(shù)），下面進(jìn)行分析。假設(shè)h(x,y)為可分函數(shù)，即

則h(x,y)二維?變換可轉(zhuǎn)化為對(duì)h1(x)和h2(y)的一維?變換。記：

則

從而，

函數(shù)1(t)表示對(duì)所有的自變量t，函數(shù)值都為1。最后，做?-1變換得

即

倒譜算子C{·}的分離特性來(lái)自于?-1{1(t)}。由?變換可知?-1{1(u)}=δ(p)，?-1{1(v)}=δ(q)，因而等式可改寫為

這說(shuō)明可分函數(shù)的倒譜只出現(xiàn)在倒譜域的坐標(biāo)軸（p=0，q=0）上，與x相關(guān)部分出現(xiàn)在p軸上，與y相關(guān)部分出現(xiàn)在q軸上。

綜合以上3條性質(zhì)可得：分析可分函數(shù)的倒譜時(shí)，只須通過(guò)函數(shù)在倒譜域坐標(biāo)軸上的倒譜值和坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)角度即可。

3 基于倒譜特性的參數(shù)估計(jì)

由式（2），運(yùn)動(dòng)模糊PSF為常值函數(shù)，顯然為變量可分離函數(shù)?？梢酝ㄟ^(guò)倒譜域的坐標(biāo)軸上圖像可分析出運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)模糊PSF中的參數(shù)信息。

在忽略噪聲的情況下，根據(jù)式（1），有

這樣，模糊圖像在時(shí)域?yàn)樵瓐D像和模糊核的卷積，變換到倒譜域之后為原圖像的倒譜與PSF的倒譜之和?？臻g域的卷積在倒譜域變成了加法，可以比較容易地分離出模糊信息。為使H(u,v)=0時(shí)式（4）有意義，實(shí)際應(yīng)用中圖像的倒譜通常用下式計(jì)算[12]：

圖1以lena圖像為例，給出了原始圖像的倒譜，運(yùn)動(dòng)模糊方向45°，模糊尺度為20個(gè)像素時(shí)的PSF的倒譜，以及運(yùn)動(dòng)模糊圖像的倒譜。從圖1b）中可以看出，原始圖像的倒譜比較復(fù)雜，除中心亮點(diǎn)外，其能量分布均勻；圖1c）中，PSF的倒譜在延模糊方向（45°）上出現(xiàn)周期性亮點(diǎn)；第一個(gè)亮點(diǎn)到中心的距離為20，意味著模糊尺度為20 像素，到中心的距離為40 像素處的第二個(gè)亮點(diǎn)為第一個(gè)諧波，諧波的產(chǎn)生是由于數(shù)值計(jì)算采用離散?變換（DFT）造成的；圖1d）中，模糊圖像的倒譜為原圖像倒譜與PSF的倒譜之和，由于原始圖像的倒譜值集中在中心點(diǎn)附近（低頻區(qū)域），故模糊圖像的倒譜特征與PSF的倒譜特征相似，在沿模糊方向（45°）上出現(xiàn)周期性亮點(diǎn)。所以，可利用模糊圖像的倒譜特征估計(jì)模糊參數(shù)。

圖1 PSF與模糊圖像的倒譜Fig.1 Cepstrem of PSF and blurred image

Radon變換[11]用來(lái)計(jì)算二維圖像矩陣在某個(gè)方向上的投影，定義如下：

該投影即是在某一方向的線積分，反映了圖像在不同方向上的投影性質(zhì)。Radon變換一個(gè)重要的性質(zhì)就是檢測(cè)圖像中的直線的方向，可以用Radon變換精確地檢測(cè)出亮條紋的方向。若Radon變換中沿某個(gè)方向上的積分很大，則表明在與該方向垂直的方向上存在直線。圖2給出了Radon變換檢測(cè)直線方向的結(jié)果。當(dāng)直線與水平方向成45°時(shí)，Radon變換的最大值出現(xiàn)在135°方向，與直線方向垂直。

圖2 Radon變換結(jié)果Fig.2 Results of Radon transform

綜上，基于倒譜特性的參數(shù)估計(jì)方法如下：

1）運(yùn)動(dòng)模糊圖像的倒譜在其模糊方向上有不斷衰減的周期性亮點(diǎn)出現(xiàn)，其中離中心最近的亮點(diǎn)到中心的距離等于運(yùn)動(dòng)模糊尺度L[6]。

2）對(duì)于模糊方向θ的估計(jì)，可利用Radon變換。記α為找到變換結(jié)果最大值出現(xiàn)的方向，則運(yùn)動(dòng)模糊的方向θ=α-90°。

至此，PSF 中的運(yùn)動(dòng)模糊尺度L 和模糊方向θ 已全部估計(jì)出來(lái)。

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

下面通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)該方法的準(zhǔn)確性和抗噪聲干擾能力。

圖3為基于倒譜的模糊方向檢測(cè)結(jié)果，圖3a）為原始lena圖像，對(duì)圖3a）施加方向?yàn)?5°、尺度為20像素的運(yùn)動(dòng)模糊得到圖3b）。運(yùn)動(dòng)模糊圖像的倒譜如圖3c）所示，對(duì)圖3c）進(jìn)行二值化處理得圖3d）。圖3e）是對(duì)圖3d）進(jìn)行Radon變換的結(jié)果，圖3f）為圖3e）的極大值曲線，從圖3f）中可以看出Radon變換的最大值出現(xiàn)在135°方向，所以運(yùn)動(dòng)模糊方向?yàn)?35°-90°=45°。

圖3 基于倒譜的模糊方向檢測(cè)Fig.3 Detection of blur direction

接下來(lái)估計(jì)模糊尺度。對(duì)于這種任意模糊方向的模糊，一般先將運(yùn)動(dòng)模糊方向旋轉(zhuǎn)至水平方向，然后在水平方向估計(jì)模糊尺度，這樣方便進(jìn)行模糊尺度的估計(jì)。

圖4為基于倒譜的模糊尺度檢測(cè)的結(jié)果。將倒譜（圖3c））順時(shí)針旋45°，使其變成在水平方向上的運(yùn)動(dòng)模糊得到圖4a）。由于倒譜具有中心對(duì)稱性，可以只考慮右半部分，由中心到第一個(gè)亮點(diǎn)的距離為運(yùn)動(dòng)模糊距離L。提取出圖4a）中的亮條紋如圖4b），第一個(gè)亮點(diǎn)（坐標(biāo)為204）到中心點(diǎn)（坐標(biāo)為183）的距離為L(zhǎng)=204-183=21個(gè)像素，與真實(shí)值的誤差為1個(gè)像素。

圖4 基于倒譜的模糊尺度檢測(cè)Fig.4 Detection of blur scale

當(dāng)加入均值為0、方差為25的高斯噪聲時(shí)，模糊尺度固定為20個(gè)像素，模糊方向變化范圍在0°～180°，對(duì)于模糊方向的檢測(cè)結(jié)果如表1所示。相同的噪聲條件下，運(yùn)動(dòng)模糊方向固定為45°，模糊尺度變化范圍為5～20個(gè)像素，對(duì)于模糊尺度的檢測(cè)結(jié)果如表2所示。從表1、2中可以看出，模糊尺度的檢測(cè)誤差在1°內(nèi)，模糊尺度的檢測(cè)誤差在2個(gè)像素內(nèi)，精度很高，證明該方法具有較強(qiáng)的魯棒性。

表1 模糊方向檢測(cè)結(jié)果（L=20）Tab.1 Detection results of blur direction（L=20）

表2 模糊尺度檢測(cè)結(jié)果（θ=45°）Tab.2 Detection results of blur scale（θ=45°）

5 結(jié)論

本文提出了基于倒譜的運(yùn)動(dòng)模糊參數(shù)估計(jì)方法。首先，分析了運(yùn)動(dòng)模糊點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)的倒譜性質(zhì)，得出運(yùn)動(dòng)模糊圖像的倒譜會(huì)在模糊方向上出現(xiàn)峰值，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了理論分析的準(zhǔn)確性。接下來(lái)，提出基于倒譜的參數(shù)估計(jì)方法，利用Radon變換檢測(cè)出亮條紋的方向即是運(yùn)動(dòng)模糊的方向，第1個(gè)亮條紋與中心的距離即是模糊的長(zhǎng)度。最后，通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性和魯棒性。

在估計(jì)模糊尺度時(shí)，本文采用的方法是測(cè)量中心到右側(cè)第一個(gè)亮條紋的距離為模糊尺度。事實(shí)上，各個(gè)亮條紋之間的距離是相等的，都等于模糊尺度。下一步可以采取測(cè)量多個(gè)亮條紋之間的距離取平均的方法來(lái)進(jìn)一步提高模糊尺度的估計(jì)精度。

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