鐘敬武

（76327部隊，湖南郴州423026）

考慮售后服務與回收加工的復雜設備部件生產(chǎn)庫存控制模型

鐘敬武

（76327部隊，湖南郴州423026）

綜合考慮了大型復雜設備生產(chǎn)廠家各種類型的部件來源與需求，構(gòu)建了復雜設備部件生產(chǎn)庫存控制模型。模型以費用作為目標，通過權(quán)衡生產(chǎn)成本、庫存成本以及缺貨成本，從而確定合理的部件生產(chǎn)庫存控制策略。

復雜設備部件；生產(chǎn)庫存；售后服務；回收加工；控制模型

生產(chǎn)廠家與客戶需要確定穩(wěn)定的關系，這種關系不僅僅局限于設備的采購，而且需要在設備的整個全壽命周期中密切地合作。當今社會產(chǎn)品實現(xiàn)模塊化生產(chǎn)與裝配，產(chǎn)品基本上由若干部件組成，復雜設備各部件工藝復雜，生產(chǎn)周期相對較長，所以生產(chǎn)廠家必須持有一些部件庫存，以快速響應客戶設備整機訂貨裝配設備和設備部件單獨訂貨的需求。同時廠家需要承擔售后服務協(xié)議規(guī)定的設備維修保障的內(nèi)容，所以生產(chǎn)廠家的部件庫存也需要滿足設備售后服務的需求。復雜設備重要性程度高，停機會造成巨大的損失。設備發(fā)生故障時，一般進行換件維修，以減少停機時間。更換下來的故障件仍有較大的利用價值，生產(chǎn)廠家往往將對替換下的故障件進行回收與重加工，以節(jié)約資源，降低生產(chǎn)成本[1-2]。圖1給出了生產(chǎn)庫存系統(tǒng)的運行框架結(jié)構(gòu)，不難發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)庫存需要滿足3個方面的部件需求：即設備訂貨、部件單獨訂貨與售后服務的部件需求。同時部件庫存不僅僅來源傳統(tǒng)意義的新部件生產(chǎn)，也來源于故障件的修復與重加工[3]。如何制定設備部件生產(chǎn)庫存控制計劃，滿足各方面的部件需求且不因為庫存積壓而造成經(jīng)濟損失，這是當今復雜設備生產(chǎn)廠家面臨的一個難題。

圖1 生產(chǎn)庫存系統(tǒng)運行框架Fig.1 Production inventory system operating framework

在生產(chǎn)庫存方面，Smith[4]較早地關注生產(chǎn)庫存，提出了帶有下降需求的物品最優(yōu)生產(chǎn)批量策略。Cheng[5]進一步將Smith模型擴展到生產(chǎn)變質(zhì)性物品的情形。Wee和Wang[6]提出了允許短缺的生產(chǎn)庫存控制模型，考慮帶有常數(shù)變質(zhì)率的物品以及一般時變需求。Yan和Cheng[7]通過假定生產(chǎn)以及變質(zhì)率可隨時間任意變化而進一步研究了連續(xù)生產(chǎn)的生產(chǎn)庫存問題。Pan[8]和Ouyang[9]等考慮了需求不確定且提前期可控下的生產(chǎn)庫存聯(lián)合決策。Zhou[10]等在假定時變需求與部分短缺量延期供給的前提下，提出了一種尋求易變質(zhì)物品在有限計劃期內(nèi)的最優(yōu)生產(chǎn)與訂購策略的生產(chǎn)調(diào)整模型。Mondal B[11]和Mondal S[12]等研究了有缺陷的產(chǎn)品的生產(chǎn)庫存。從當前的文獻來看，它們主要考慮生產(chǎn)成品整機訂貨的情況而沒有考慮部件訂貨的情況，僅僅將產(chǎn)品需求考慮為單一的客戶訂貨，而并沒有考慮設備保修消耗部件的情況，庫存來源僅僅考慮了新部件的生產(chǎn)，忽略了故障件的回收加工。本文將綜合考慮復雜設備各種類型的部件來源與需求，構(gòu)建復雜設備生產(chǎn)庫存控制模型。

1 問題描述與基本假設

本文的研究對象為一個需要面對設備訂貨部件需求、部件獨立訂貨需求以及售后服務部件需求的生產(chǎn)庫存系統(tǒng)。目的在于建立一個部件生產(chǎn)庫存控制模型，確定部件生產(chǎn)庫存點以及生產(chǎn)時長，在滿足設備訂貨、部件單獨訂貨與售后服務的部件需求前提盡量地降低生產(chǎn)成本與庫存成本，提高廠家效益。該生產(chǎn)庫存系統(tǒng)符號描述如下：系統(tǒng)運行在有限的計劃期內(nèi)，H表示計劃期的長度；設備訂單關于時間的函數(shù)為f(t)；部件i訂單關于時間的函數(shù)為si(t)；部件i維修需求函數(shù)為λi(t)；記Ii(t)為部件i在t時刻的庫存水平；Pi為部件i的常數(shù)生產(chǎn)率；di為部件i所需的生產(chǎn)提前期，即部件i開始加工到成品入庫的時間；Ri為回收加工周期；ni為部件i的機用數(shù)；采用(Ii0,Di)對生產(chǎn)庫存進行控制，Ii0為部件i的生產(chǎn)點庫存，Di為部件i的持續(xù)生產(chǎn)時長，即當庫存降為Ii0時，連續(xù)生產(chǎn)長為Di的一段時間，Di包括生產(chǎn)提前期以及實際生產(chǎn)期；K為有限計劃期內(nèi)的生產(chǎn)庫存控制周期數(shù)；Tik為部件i第k個周期開始時刻（i=1,2,…,I），Ti1=0；tik為部件i第k個生產(chǎn)庫存控制周期生產(chǎn)停止時刻；當存在部件缺貨時為部件i第k個生產(chǎn)庫存控制周期內(nèi)缺貨的發(fā)生時刻為部件i第k個生產(chǎn)庫存控制周期內(nèi)缺貨的結(jié)束時刻；Ai為部件i的單個生產(chǎn)庫存控制周期的固定生產(chǎn)成本；w表示設備的銷售價格；wi表示部件i的單位銷售價格；hi表示單位時間內(nèi)部件i的單位庫存費用；c表示設備的生產(chǎn)成本；ci表示部件i的單位生產(chǎn)成本；。

為了便于模型的建立，本文引入如下假定：

1）生產(chǎn)部件到達的時間段庫存函數(shù)為增函數(shù)，對于任意t∈[Tik+di,Tik+Di]，

生產(chǎn)部件未到達的時間段庫存函數(shù)為減函數(shù)，對于任意t∈[Tik,Tik+di]?(Tik+Di,Tik+1]，

2）故障件以一定比例報廢，其余部件可以進行重加工，且重加工后與新產(chǎn)品完全一樣。θi表示部件i的回收加工利用概率。

3）系統(tǒng)允許缺貨，缺貨期間造成設備訂單數(shù)與部件訂單數(shù)的流失數(shù)量與當前時刻訂單到來的數(shù)量和系統(tǒng)中等待的顧客數(shù)的乘積是正比關系損失分別表示部件i缺貨期間設備與部件的缺貨訂單損失比例系數(shù)。

4）第1類部件需求延誤損失、第2類部件需求延誤損失、第3類部件需求延誤損失與延誤的數(shù)量和時間成正比關系分別表示部件i的第1類部件需求、第2類部件需求、第3類部件需求單位產(chǎn)品單位時間的缺貨損失費用。第1類部件需求、第2類部件需求、第3類部件需求分別表示設備訂貨、部件單獨訂貨與售后服務的部件需求。

2 模型與求解

系統(tǒng)呈周期運行，每個周期有生產(chǎn)提前期，生產(chǎn)期以及生產(chǎn)間隙期3個階段，在生產(chǎn)提前期與生產(chǎn)間隙期均無部件到達，這2個階段庫存函數(shù)為減函數(shù)，所以部件i第k個生產(chǎn)周期的庫存最低點將在Tik+di時刻出現(xiàn)，記

式中，ui(η)=λi(η)-θiλi(η-Ri)+nif(η)+si(η)，為η時刻的部件i的需求率。如果，代表庫存控制策略下第k個生產(chǎn)庫存控制周期內(nèi)部件i將不會發(fā)生缺貨，即將不會出現(xiàn)，各類部件需求均能滿足。如果，代表該庫存控制策略下第k個生產(chǎn)庫存控制周期內(nèi)部件i將會發(fā)生缺貨?？紤]第k個生產(chǎn)庫存控制周期內(nèi)部件i將不會發(fā)生缺貨的情況，則部件i各時段的庫存Ii(t)有：

求解式（2）可以得出：

考慮第k個生產(chǎn)庫存控制周期內(nèi)部件i將發(fā)生缺貨的情況，則部件i各時段的庫存Ii(t)有：

記HCik為第k個生產(chǎn)庫存控制周期的庫存費用，當?shù)趉個生產(chǎn)庫存控制周期內(nèi)部件i不會發(fā)生缺貨時，則有：

當?shù)趉個生產(chǎn)庫存控制周期內(nèi)部件i發(fā)生缺貨時，則有：

部件缺貨損失可以分為客戶延誤損失與客戶流失損失，客戶延誤損失是指生產(chǎn)廠家對客戶訂貨或者送修的延期反應所付出的代價，客戶流失損失是指因為缺貨造成客戶訂單流失的損失。記為第k個生產(chǎn)庫存控制周期的客戶延誤損失，則有：

記Q″ik第k個生產(chǎn)庫存控制周期因為部件i缺貨而流失的設備訂貨量，則有

記q″ik為第k個生產(chǎn)庫存控制周期流失的部件i單獨訂貨量，則有

記SCik為第k個生產(chǎn)庫存控制周期部件i缺貨損失，則有

將部件缺貨引起的設備或者部件訂單流失所造成的損失看作支付的費用，記TCik為第k個生產(chǎn)庫存控制周期部件i的期望費用，則有

生產(chǎn)廠家一段時間內(nèi)各類部件的需求是一定的，增加部件庫存可以減少缺貨損失的同時也增加了庫存費用。部件非連續(xù)生產(chǎn)模式下要盡量減少生產(chǎn)次數(shù)，因為每次生產(chǎn)需要一定與生產(chǎn)數(shù)量無關的固定成本，每次生產(chǎn)數(shù)量越多，單件產(chǎn)品所承擔的固定成本將會越低，但是庫存成本將會增加，所以需要權(quán)衡庫存，生產(chǎn)批量之間的各種關系。記Q′k為第k個生產(chǎn)庫存控制周期的設備訂貨需求，則有

記q′ik為第k個生產(chǎn)庫存控制周期部件i的單獨訂貨需求，則有

記第k個生產(chǎn)庫存控制周期的設備與部件銷售量分別為Qk、qik，則有第k個生產(chǎn)庫存控制周期的利潤為：

記TPK為K個生產(chǎn)庫存控制周期的總收益為

由于在不同的生產(chǎn)庫存控制策略下，計劃期H不可能正好是生產(chǎn)庫存控制周期的整數(shù)倍，如果存在TiK＜H≤TiK+1，則可以用[0,TiK+1]時間內(nèi)的平均生產(chǎn)庫存控制效果等價于H時間段內(nèi)的平均生產(chǎn)庫存控制效果。生產(chǎn)計劃期H時間段內(nèi)的總收益可以表示為

生產(chǎn)計劃期H內(nèi)部件i的期望費用可以表示為

通過調(diào)整生產(chǎn)點庫存Ii0與周期生產(chǎn)時長Di，可以調(diào)整生產(chǎn)計劃期H內(nèi)的庫存狀態(tài)；通過求解該非線性規(guī)劃問題，可以得到最優(yōu)的Ii0與Di取值，從而得到最優(yōu)的生產(chǎn)庫存控制方案。該模型是一個兩變量非線性規(guī)劃模型。生產(chǎn)點庫存Ii0必須為整數(shù)，因而求解該模型可以先計算出Ii0的取值范圍，然后分別計算每個可行Ii0的最優(yōu)生產(chǎn)時長Di，最后取期望費用最小的一組(Ii0,Di)。記生產(chǎn)計劃期H內(nèi)部件i不出現(xiàn)部件缺貨所需要的最小庫存為，記表示不小于x的最小整數(shù)則有：

3 應用實例

假設某復雜設備生產(chǎn)廠家需要制定該設備部件i的生產(chǎn)庫存控制策略，部件i的相關參數(shù)如下：H=800h，f(t)=0.1+0.000 1t件/h，λi(t)=0.5件/h，si(t)=0.8+0.0003t件/h，Pi=5件/h，ni=1，di=20 h，Ri=5 h，Ti1=0，Ai=10千元，w=300千元/臺，c=180千元/臺，wi=2千元/件，ci=1千元/件

利用上文的方法可以求得Ii0和Di取不同值時的期望費用Ci，通過迭代優(yōu)化，Ii0=24件，Di=30.6h為最優(yōu)解，此時Ci=31.338千元，部件i生產(chǎn)計劃期內(nèi)的總費用最少。Ii0=24件時部件i生產(chǎn)庫存控制周期生產(chǎn)時長Di與期望費用Ci關系如圖2所示，圖3給出了Ii0=24件、Di=30.6h時的生產(chǎn)庫存控制策略下部件的庫存變化情況。由圖3可見，Ii0=24件、Di=30.6h時的生產(chǎn)庫存控制策略可以取得較好的效益，有效地減少生產(chǎn)庫存系統(tǒng)費用。

圖2 Ii0=24時部件i周期生產(chǎn)時長與期望費用的關系Fig.2 Relation between production period of parti and its expected cost whenIi0=24

圖3 (Ii0=24,Di=30.6)策略下部件i的庫存變化圖Fig.3 Inventory variation figure of parti when performing policy(Ii0=24,Di=30.6)

4 結(jié)束語

傳統(tǒng)的生產(chǎn)庫存控制理論僅僅考慮產(chǎn)品整機訂貨產(chǎn)生的部件需求，并沒有考慮到產(chǎn)品部件單獨訂貨需求；僅考慮客戶訂貨需求，并沒有考慮產(chǎn)品售后服務產(chǎn)生的部件需求。傳統(tǒng)的生產(chǎn)庫存理論將新產(chǎn)品生產(chǎn)作為庫存的唯一來源，并沒有考慮到產(chǎn)品的回收加工。本文通過分析復雜設備全壽命運行的特點，綜合考慮部件庫存的各類來源與需求，提出了考慮售后服務與回收加工的復雜設備部件生產(chǎn)庫存控制模型，該模型通過控制生產(chǎn)點庫存與部件生產(chǎn)庫存控制周期生產(chǎn)時長對部件庫存實施控制。該模型對復雜設備生產(chǎn)廠家的生產(chǎn)庫存控制決策有較大的參考價值。

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Production Inventory Control Model of Complex Equipments Parts Concerned with After Service and Recycle Machining

ZHONG Jing-wu
（The 76327thUnit of PLA,Chenzhou Hunan 423026,China）

In this paper with the comprehensive consideration of the parts sources and demands of all kinds,a production in?ventory model for complex equipments parts was put forward.This model aimed to determine a reasonable parts production inventory control plan through weighing production cost,the inventory cost and shortage cost.

complex equipment parts;production inventory;after service;recycle machining;control model

TP13；F253.4

A

1673-1522（2014）05-0481-05

10.7682/j.issn.1673-1522.2014.05.017

2014-05-20；

2014-07-18

鐘敬武（1974-），男，工程師，碩士。