錢振洪

關(guān)于垂線，同學(xué)們?cè)谛W(xué)里已接觸過(guò)，但那僅僅停留在感性認(rèn)識(shí)上，沒有對(duì)垂線進(jìn)行概念描述. 七年級(jí)上冊(cè)教科書通過(guò)圖片及“議一議”活動(dòng)，帶大家一起回憶了小學(xué)里學(xué)過(guò)的相關(guān)知識(shí)，并遵循從感性到理性的認(rèn)知規(guī)律歸納了垂線的定義，進(jìn)而引出垂線段、點(diǎn)到直線的距離等概念. 由于同學(xué)們的認(rèn)識(shí)水平有限，往往會(huì)對(duì)這三個(gè)概念認(rèn)識(shí)模糊，混淆不清，下面我們來(lái)一探究竟.

一、 垂線、垂線段、點(diǎn)到直線的距離的定義

1. 垂線的定義：如果兩條直線相交所成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角，那么這兩條直線就互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.

2. 垂線段的定義：垂線上一點(diǎn)到垂足之間的一條線段.

3. 點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度.

二、 垂線、垂線段、點(diǎn)到直線的距離的區(qū)別

1. 垂線是一條直線，可以向兩端無(wú)限延伸，沒有長(zhǎng)度，垂線表示的是一個(gè)圖形.

2. 垂線段是垂線上的一條特殊的線段，是有限的一段，有長(zhǎng)度，表示的是一個(gè)圖形.

3. 點(diǎn)到直線的距離是垂線上一條特殊的線段的長(zhǎng)度，表示的是一個(gè)數(shù)量，而不是圖形.

下面我們通過(guò)圖形來(lái)分析這三個(gè)概念，如圖1所示：

直線b叫做直線a的垂線，也可以說(shuō)直線a叫做直線b的垂線；線段CO叫做垂線段，同樣，線段AO、BO、DO都叫做垂線段；線段CO的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)C到直線a的距離，同樣線段AO的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)A到直線b的距離.

三、 概念辨析

1. 下列判斷錯(cuò)誤的是（ ）.

A. 一條線段有無(wú)數(shù)條垂線

B. 過(guò)線段AB中點(diǎn)有且只有一條直線與線段AB垂直

C. 兩直線相交所成的四個(gè)角中，若有一個(gè)角為90°，則這兩條直線互相垂直

D. 若兩條直線相交，則它們互相垂直

【解析】本題應(yīng)在正確理解垂直的有關(guān)概念下解題，知道垂直是兩直線相交時(shí)有一角為90°的特殊情況，反之，若兩直線相交則不一定垂直.

【正確解答】D.

2. 下列判斷正確的是（ ）.

A. 從直線外一點(diǎn)到已知直線的垂線段叫做這點(diǎn)到已知直線的距離

B. 過(guò)直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線，垂線的長(zhǎng)度就是這點(diǎn)到已知直線的距離

C. 畫出已知直線外一點(diǎn)到已知直線的距離

D. 連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中垂線段最短

【解析】本題錯(cuò)誤原因是沒有正確理解垂線段的概念及點(diǎn)到直線的距離的意義.

說(shuō)法A是錯(cuò)誤的，從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離. 僅僅有垂線段，沒有指明這條垂線段的長(zhǎng)度是錯(cuò)誤的.

說(shuō)法B是錯(cuò)誤的，因?yàn)榇咕€是直線，直線沒有長(zhǎng)短，它可以無(wú)限延伸，所以說(shuō)“垂線的長(zhǎng)度”就是錯(cuò)誤的.

說(shuō)法C是錯(cuò)誤的，“畫”是畫圖形，畫圖不能得到數(shù)量，只有“量”才能得到數(shù)量，這句話應(yīng)該說(shuō)成：畫出已知直線外一點(diǎn)到已知直線的垂線段，量出垂線段的長(zhǎng)度.

【正確解答】D.

四、 生活中的應(yīng)用

通常，我們把直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做該點(diǎn)到直線的距離. 經(jīng)過(guò)探究，我們得到一個(gè)事實(shí)：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短. 在日常生活中，解決一些實(shí)際問(wèn)題時(shí)我們經(jīng)常遇到它. 這樣可使有些復(fù)雜問(wèn)題變得比較簡(jiǎn)單，因此其應(yīng)用較為廣泛. 接下來(lái)我給同學(xué)們舉幾個(gè)例子：

1. 如圖2，甲、乙兩名同學(xué)在測(cè)量劉佳同學(xué)的一次跳遠(yuǎn)成績(jī)時(shí)，分別測(cè)量出DA=4.56米，DB=4.15米，AC=4.70米，則劉佳的跳遠(yuǎn)成績(jī)應(yīng)該為______米.

解：劉佳的跳遠(yuǎn)成績(jī)應(yīng)為4.15米.

因?yàn)閷?shí)際生活中，測(cè)量跳遠(yuǎn)成績(jī)都是量離踏板最近的落地點(diǎn)到踏板的距離，所以測(cè)量AC、DA都是錯(cuò)誤的，線段DB的長(zhǎng)度才是劉佳跳遠(yuǎn)的正確成績(jī). 跳遠(yuǎn)成績(jī)的測(cè)量就是求點(diǎn)到直線的距離.

2. 如圖3，一輛汽車在直線形公路AB上由A地開往B地，M、N分別是位于公路兩側(cè)的村莊.

①設(shè)汽車行駛到公路AB上點(diǎn)P位置時(shí)，距離村莊M最近；行駛到點(diǎn)Q時(shí)，距離村莊N最近. 請(qǐng)?jiān)趫D中的公路AB 上分別畫出點(diǎn)P和點(diǎn)Q的位置.

②當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛時(shí)，在公路AB的哪一段距離M、N兩村莊都越來(lái)越近？在哪一段路上距離村莊N越來(lái)越近，而離M越來(lái)越遠(yuǎn)？

解：①過(guò)點(diǎn)M、N分別作直線AB的垂線，垂足分別為P、Q.

②當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛時(shí)，在公路AB的AP段距離M、N兩村莊都越來(lái)越近，在PQ段距離村莊N越來(lái)越近，而離M越來(lái)越遠(yuǎn).

關(guān)于垂線，同學(xué)們?cè)谛W(xué)里已接觸過(guò)，但那僅僅停留在感性認(rèn)識(shí)上，沒有對(duì)垂線進(jìn)行概念描述. 七年級(jí)上冊(cè)教科書通過(guò)圖片及“議一議”活動(dòng)，帶大家一起回憶了小學(xué)里學(xué)過(guò)的相關(guān)知識(shí)，并遵循從感性到理性的認(rèn)知規(guī)律歸納了垂線的定義，進(jìn)而引出垂線段、點(diǎn)到直線的距離等概念. 由于同學(xué)們的認(rèn)識(shí)水平有限，往往會(huì)對(duì)這三個(gè)概念認(rèn)識(shí)模糊，混淆不清，下面我們來(lái)一探究竟.

一、 垂線、垂線段、點(diǎn)到直線的距離的定義

1. 垂線的定義：如果兩條直線相交所成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角，那么這兩條直線就互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.

2. 垂線段的定義：垂線上一點(diǎn)到垂足之間的一條線段.

3. 點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度.

二、 垂線、垂線段、點(diǎn)到直線的距離的區(qū)別

1. 垂線是一條直線，可以向兩端無(wú)限延伸，沒有長(zhǎng)度，垂線表示的是一個(gè)圖形.

2. 垂線段是垂線上的一條特殊的線段，是有限的一段，有長(zhǎng)度，表示的是一個(gè)圖形.

3. 點(diǎn)到直線的距離是垂線上一條特殊的線段的長(zhǎng)度，表示的是一個(gè)數(shù)量，而不是圖形.

下面我們通過(guò)圖形來(lái)分析這三個(gè)概念，如圖1所示：

直線b叫做直線a的垂線，也可以說(shuō)直線a叫做直線b的垂線；線段CO叫做垂線段，同樣，線段AO、BO、DO都叫做垂線段；線段CO的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)C到直線a的距離，同樣線段AO的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)A到直線b的距離.

三、 概念辨析

1. 下列判斷錯(cuò)誤的是（ ）.

A. 一條線段有無(wú)數(shù)條垂線

B. 過(guò)線段AB中點(diǎn)有且只有一條直線與線段AB垂直

C. 兩直線相交所成的四個(gè)角中，若有一個(gè)角為90°，則這兩條直線互相垂直

D. 若兩條直線相交，則它們互相垂直

【解析】本題應(yīng)在正確理解垂直的有關(guān)概念下解題，知道垂直是兩直線相交時(shí)有一角為90°的特殊情況，反之，若兩直線相交則不一定垂直.

【正確解答】D.

2. 下列判斷正確的是（ ）.

A. 從直線外一點(diǎn)到已知直線的垂線段叫做這點(diǎn)到已知直線的距離

B. 過(guò)直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線，垂線的長(zhǎng)度就是這點(diǎn)到已知直線的距離

C. 畫出已知直線外一點(diǎn)到已知直線的距離

D. 連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中垂線段最短

【解析】本題錯(cuò)誤原因是沒有正確理解垂線段的概念及點(diǎn)到直線的距離的意義.

說(shuō)法A是錯(cuò)誤的，從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離. 僅僅有垂線段，沒有指明這條垂線段的長(zhǎng)度是錯(cuò)誤的.

說(shuō)法B是錯(cuò)誤的，因?yàn)榇咕€是直線，直線沒有長(zhǎng)短，它可以無(wú)限延伸，所以說(shuō)“垂線的長(zhǎng)度”就是錯(cuò)誤的.

說(shuō)法C是錯(cuò)誤的，“畫”是畫圖形，畫圖不能得到數(shù)量，只有“量”才能得到數(shù)量，這句話應(yīng)該說(shuō)成：畫出已知直線外一點(diǎn)到已知直線的垂線段，量出垂線段的長(zhǎng)度.

【正確解答】D.

四、 生活中的應(yīng)用

通常，我們把直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做該點(diǎn)到直線的距離. 經(jīng)過(guò)探究，我們得到一個(gè)事實(shí)：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短. 在日常生活中，解決一些實(shí)際問(wèn)題時(shí)我們經(jīng)常遇到它. 這樣可使有些復(fù)雜問(wèn)題變得比較簡(jiǎn)單，因此其應(yīng)用較為廣泛. 接下來(lái)我給同學(xué)們舉幾個(gè)例子：

1. 如圖2，甲、乙兩名同學(xué)在測(cè)量劉佳同學(xué)的一次跳遠(yuǎn)成績(jī)時(shí)，分別測(cè)量出DA=4.56米，DB=4.15米，AC=4.70米，則劉佳的跳遠(yuǎn)成績(jī)應(yīng)該為______米.

解：劉佳的跳遠(yuǎn)成績(jī)應(yīng)為4.15米.

因?yàn)閷?shí)際生活中，測(cè)量跳遠(yuǎn)成績(jī)都是量離踏板最近的落地點(diǎn)到踏板的距離，所以測(cè)量AC、DA都是錯(cuò)誤的，線段DB的長(zhǎng)度才是劉佳跳遠(yuǎn)的正確成績(jī). 跳遠(yuǎn)成績(jī)的測(cè)量就是求點(diǎn)到直線的距離.

2. 如圖3，一輛汽車在直線形公路AB上由A地開往B地，M、N分別是位于公路兩側(cè)的村莊.

①設(shè)汽車行駛到公路AB上點(diǎn)P位置時(shí)，距離村莊M最近；行駛到點(diǎn)Q時(shí)，距離村莊N最近. 請(qǐng)?jiān)趫D中的公路AB 上分別畫出點(diǎn)P和點(diǎn)Q的位置.

②當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛時(shí)，在公路AB的哪一段距離M、N兩村莊都越來(lái)越近？在哪一段路上距離村莊N越來(lái)越近，而離M越來(lái)越遠(yuǎn)？

解：①過(guò)點(diǎn)M、N分別作直線AB的垂線，垂足分別為P、Q.

②當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛時(shí)，在公路AB的AP段距離M、N兩村莊都越來(lái)越近，在PQ段距離村莊N越來(lái)越近，而離M越來(lái)越遠(yuǎn).

關(guān)于垂線，同學(xué)們?cè)谛W(xué)里已接觸過(guò)，但那僅僅停留在感性認(rèn)識(shí)上，沒有對(duì)垂線進(jìn)行概念描述. 七年級(jí)上冊(cè)教科書通過(guò)圖片及“議一議”活動(dòng)，帶大家一起回憶了小學(xué)里學(xué)過(guò)的相關(guān)知識(shí)，并遵循從感性到理性的認(rèn)知規(guī)律歸納了垂線的定義，進(jìn)而引出垂線段、點(diǎn)到直線的距離等概念. 由于同學(xué)們的認(rèn)識(shí)水平有限，往往會(huì)對(duì)這三個(gè)概念認(rèn)識(shí)模糊，混淆不清，下面我們來(lái)一探究竟.

一、 垂線、垂線段、點(diǎn)到直線的距離的定義

1. 垂線的定義：如果兩條直線相交所成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角，那么這兩條直線就互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.

2. 垂線段的定義：垂線上一點(diǎn)到垂足之間的一條線段.

3. 點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度.

二、 垂線、垂線段、點(diǎn)到直線的距離的區(qū)別

1. 垂線是一條直線，可以向兩端無(wú)限延伸，沒有長(zhǎng)度，垂線表示的是一個(gè)圖形.

2. 垂線段是垂線上的一條特殊的線段，是有限的一段，有長(zhǎng)度，表示的是一個(gè)圖形.

3. 點(diǎn)到直線的距離是垂線上一條特殊的線段的長(zhǎng)度，表示的是一個(gè)數(shù)量，而不是圖形.

下面我們通過(guò)圖形來(lái)分析這三個(gè)概念，如圖1所示：

直線b叫做直線a的垂線，也可以說(shuō)直線a叫做直線b的垂線；線段CO叫做垂線段，同樣，線段AO、BO、DO都叫做垂線段；線段CO的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)C到直線a的距離，同樣線段AO的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)A到直線b的距離.

三、 概念辨析

1. 下列判斷錯(cuò)誤的是（ ）.

A. 一條線段有無(wú)數(shù)條垂線

B. 過(guò)線段AB中點(diǎn)有且只有一條直線與線段AB垂直

C. 兩直線相交所成的四個(gè)角中，若有一個(gè)角為90°，則這兩條直線互相垂直

D. 若兩條直線相交，則它們互相垂直

【解析】本題應(yīng)在正確理解垂直的有關(guān)概念下解題，知道垂直是兩直線相交時(shí)有一角為90°的特殊情況，反之，若兩直線相交則不一定垂直.

【正確解答】D.

2. 下列判斷正確的是（ ）.

A. 從直線外一點(diǎn)到已知直線的垂線段叫做這點(diǎn)到已知直線的距離

B. 過(guò)直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線，垂線的長(zhǎng)度就是這點(diǎn)到已知直線的距離

C. 畫出已知直線外一點(diǎn)到已知直線的距離

D. 連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中垂線段最短

【解析】本題錯(cuò)誤原因是沒有正確理解垂線段的概念及點(diǎn)到直線的距離的意義.

說(shuō)法A是錯(cuò)誤的，從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離. 僅僅有垂線段，沒有指明這條垂線段的長(zhǎng)度是錯(cuò)誤的.

說(shuō)法B是錯(cuò)誤的，因?yàn)榇咕€是直線，直線沒有長(zhǎng)短，它可以無(wú)限延伸，所以說(shuō)“垂線的長(zhǎng)度”就是錯(cuò)誤的.

說(shuō)法C是錯(cuò)誤的，“畫”是畫圖形，畫圖不能得到數(shù)量，只有“量”才能得到數(shù)量，這句話應(yīng)該說(shuō)成：畫出已知直線外一點(diǎn)到已知直線的垂線段，量出垂線段的長(zhǎng)度.

【正確解答】D.

四、 生活中的應(yīng)用

通常，我們把直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做該點(diǎn)到直線的距離. 經(jīng)過(guò)探究，我們得到一個(gè)事實(shí)：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短. 在日常生活中，解決一些實(shí)際問(wèn)題時(shí)我們經(jīng)常遇到它. 這樣可使有些復(fù)雜問(wèn)題變得比較簡(jiǎn)單，因此其應(yīng)用較為廣泛. 接下來(lái)我給同學(xué)們舉幾個(gè)例子：

1. 如圖2，甲、乙兩名同學(xué)在測(cè)量劉佳同學(xué)的一次跳遠(yuǎn)成績(jī)時(shí)，分別測(cè)量出DA=4.56米，DB=4.15米，AC=4.70米，則劉佳的跳遠(yuǎn)成績(jī)應(yīng)該為______米.

解：劉佳的跳遠(yuǎn)成績(jī)應(yīng)為4.15米.

因?yàn)閷?shí)際生活中，測(cè)量跳遠(yuǎn)成績(jī)都是量離踏板最近的落地點(diǎn)到踏板的距離，所以測(cè)量AC、DA都是錯(cuò)誤的，線段DB的長(zhǎng)度才是劉佳跳遠(yuǎn)的正確成績(jī). 跳遠(yuǎn)成績(jī)的測(cè)量就是求點(diǎn)到直線的距離.

2. 如圖3，一輛汽車在直線形公路AB上由A地開往B地，M、N分別是位于公路兩側(cè)的村莊.

①設(shè)汽車行駛到公路AB上點(diǎn)P位置時(shí)，距離村莊M最近；行駛到點(diǎn)Q時(shí)，距離村莊N最近. 請(qǐng)?jiān)趫D中的公路AB 上分別畫出點(diǎn)P和點(diǎn)Q的位置.

②當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛時(shí)，在公路AB的哪一段距離M、N兩村莊都越來(lái)越近？在哪一段路上距離村莊N越來(lái)越近，而離M越來(lái)越遠(yuǎn)？

解：①過(guò)點(diǎn)M、N分別作直線AB的垂線，垂足分別為P、Q.

②當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛時(shí)，在公路AB的AP段距離M、N兩村莊都越來(lái)越近，在PQ段距離村莊N越來(lái)越近，而離M越來(lái)越遠(yuǎn).