張萌, 陸山

(西北工業(yè)大學(xué) 動(dòng)力與能源學(xué)院, 陜西 西安 710072)

葉片是航空發(fā)動(dòng)機(jī)的主要部件之一,由于共振引起的葉片故障往往占發(fā)動(dòng)機(jī)零件疲勞故障的30%～40%,研究葉片的抗共振可靠性具有重要意義。葉片振動(dòng)過程中含有大量的模糊因素[1]，主要有2大類:①振動(dòng)失效區(qū)域的模糊性；②基本變量的模糊性?？紤]前者的可靠性模型稱為基于狀態(tài)模糊性的振動(dòng)可靠性模型;考慮后者的可靠性模型稱為基于變量模糊性的振動(dòng)可靠性模型。目前關(guān)于構(gòu)件抗共振的模糊可靠性研究成果較少,且均為基于狀態(tài)模糊性的振動(dòng)可靠性研究[2-4]。這些研究都只考慮了共振失效域的模糊性,而忽略了振動(dòng)固有頻率的模糊性。因此,本文將分析帶阻尼結(jié)構(gòu)(如凸肩)葉片固有頻率的客觀模糊性,建立基于變量模糊性的葉片抗共振模糊可靠度模型。

1 帶阻尼結(jié)構(gòu)葉片固有頻率的模糊性

帶阻尼結(jié)構(gòu)葉片固有頻率的模糊性主要源于:

1) 帶阻尼結(jié)構(gòu)(如凸肩)葉片的固有頻率受到眾多因素的影響,其中有些因素對(duì)固有頻率的影響比較復(fù)雜,還有些因素(如凸肩相對(duì)榫齒周向位置偏移,榫頭榫槽安裝緊度等)對(duì)固有頻率的影響尚無規(guī)律可言,甚至存在某些未知的偶然因素也會(huì)對(duì)其產(chǎn)生影響,這使得帶阻尼結(jié)構(gòu)葉片的固有頻率本身具有模糊性;

2) 固有頻率的獲取過程具有模糊性,試驗(yàn)方案的制定、試驗(yàn)裝置或者算法和程序的設(shè)計(jì)等,都依賴試驗(yàn)人員的經(jīng)驗(yàn)和主觀意識(shí),而經(jīng)驗(yàn)和意識(shí)本身就是模糊的；此外,設(shè)備的完備程度、穩(wěn)定程度(如帶凸肩平板葉片固有特性試驗(yàn)時(shí),接觸壓力在振動(dòng)過程中本身就是變化的,因而測(cè)不準(zhǔn)[5])等,也帶有一定的模糊性。

可見，只從隨機(jī)的角度來解釋固有頻率是不夠的，還應(yīng)引入模糊理論對(duì)常規(guī)方法進(jìn)行補(bǔ)充和修正。

2 模糊性的描述

步驟1 確定固有頻率中值m

1) 確定統(tǒng)計(jì)區(qū)間[TL,TU];其中下限TL應(yīng)比數(shù)據(jù)最小值略小,而上限TU應(yīng)比數(shù)據(jù)最大值略大;

2) 給定分組數(shù)k,計(jì)算組距l(xiāng)并分組;分組區(qū)間為[si,si+1](i=1,…,k),其中si=TL+l(i-1);

3) 統(tǒng)計(jì)落在各分組區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)Ni,并求出Nmax=max(N1,N2,…,Nk);

4) 判斷:若Nmax=Nj(j∈{1,…,k})且j值唯一,則為有效分組,此時(shí)以分組區(qū)間[sj,sj+1]的組中值mj=(sj+sj+1)/2作為固有頻率中值,即令m=mj;若j值不唯一,則為無效分組,此時(shí)應(yīng)改變分組數(shù),重復(fù)步驟2～步驟4,直至分組有效。

步驟2 確定各分組區(qū)間組中值及其隸屬度

計(jì)算各分組區(qū)間[si,si+1](i=1,…,k)組中值mi,取Di=Ni/Nj為mi的隸屬度,則得數(shù)據(jù)點(diǎn)列(mi,Di)(i=1,…,k);

步驟3 處理數(shù)據(jù),擬合隸屬函數(shù)

1) 對(duì)(mi,Di)(i=1,…,k)進(jìn)行處理;刪去隸屬度為0的中間數(shù)據(jù),即:若Di=0,并存在ri且Dr≠0,Ds≠0,則刪去(mi,Di)。處理后得新的數(shù)據(jù)列(mij,Dij)(j=1,…,p)且p≤k;

2) 以數(shù)據(jù)(mj,1)為分界點(diǎn),對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)列(mij,Dij)(ij≤j)在約束L(mj)=1下進(jìn)行擬合,得到L(x);對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)列(mij,Dij)(ij≥j)在約束R(mj)=1下進(jìn)行擬合,得到R(x);

步驟4 隸屬函數(shù)性質(zhì)檢驗(yàn)與改寫

對(duì)擬合出的函數(shù)L(x)和R(x)進(jìn)行性質(zhì)檢驗(yàn),確保L(x)和R(x)滿足單點(diǎn)L-R型隸屬函數(shù)的定義。若其值域可取負(fù)值,則應(yīng)對(duì)其進(jìn)行非負(fù)截?cái)喔膶?即:若L(x1)=0,則定義x≤x1時(shí),L(x)≡0;若R(x2)=0,則定義x≥x2時(shí),R(x)≡0。

至此,中值m、函數(shù)L(x)和R(x)均已得到,固有頻率的隸屬函數(shù)得以確定。

3 葉片抗共振的模糊可靠度模型

(1)

(2)

截集可靠度與所取閾值λ有關(guān),且λ在[0,1]內(nèi)可等概率隨機(jī)給出,因此可利用截集可靠度Rλ對(duì)λ的期望值作為可靠度的最終評(píng)估結(jié)果:

(3)

特別地,當(dāng)固有頻率的隸屬函數(shù)在論域上恒等于1時(shí),則任意λ所對(duì)應(yīng)的截集均為整個(gè)論域,因此任意λ對(duì)應(yīng)的截集可靠度均相等,與λ無關(guān),可記為R′。由(3)式可知,此時(shí)葉片抗共振模糊可靠度R=R′。而R′為固有頻率在論域上服從概率密度gfn(fn)的常規(guī)可靠度模型,因而此時(shí),模糊可靠度模型退化為常規(guī)可靠度模型。可見,常規(guī)可靠性模型是模糊可靠性模型的特例,是隸屬函數(shù)在論域上恒為1時(shí)的模糊模型，而模糊模型則是常規(guī)模型的補(bǔ)充和延伸。

4 葉片抗共振模糊可靠度模型計(jì)算

利用上述模型進(jìn)行可靠性評(píng)估時(shí),需要在截集內(nèi)引入概率分布。目前常用的截集分布主要有均勻分布和線性分布[6-7]。其函數(shù)形式如下所示:

1) 均勻分布:

(4)

2) 線性分布:

(5)

4.1 模糊可靠度R的數(shù)值計(jì)算方法

利用(3)式直接計(jì)算可靠度時(shí)涉及多重積分,其解析表達(dá)式難以獲得。因此,采用數(shù)值方法計(jì)算R。由于R=Eλ[Rλ],根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論,可用樣本均值作為期望的估計(jì)。因此在[0,1]上隨機(jī)產(chǎn)生一組服從均勻分布的閾值λi(i=1,2,…,Nλ),對(duì)給定的λi計(jì)算其對(duì)應(yīng)的截集可靠度Rλi,則抗共振模糊可靠度R可用截集可靠度的樣本均值來近似,即:

4.2 截集可靠度Rλ的計(jì)算

1) 引入均勻分布時(shí),由(1)式和(4)式可得:

同理類似可得R2λ,進(jìn)而可計(jì)算Rλ=R1λ+R2λ。

2) 引入線性分布時(shí),由(1)式和(5)式通過推導(dǎo)(限于篇幅,推導(dǎo)過程略)可得:

同理類似可得R2λ,進(jìn)而可計(jì)算Rλ=R1λ+R2λ。

5 仿真算例

5.1 確定隸屬函數(shù)的例子

由于加工、裝配精度的影響,凸肩葉片的周向接觸緊度通常落在設(shè)計(jì)值的某一公差帶內(nèi),同時(shí)又受到凸肩相對(duì)榫齒位置偏移等多種因素的干擾,偶有過緊(過松)的狀態(tài)出現(xiàn)。利用MATLAB軟件模擬上述過程,得到某凸肩風(fēng)扇葉片模型的一組接觸緊度;根據(jù)文獻(xiàn)[8]接觸緊度與接觸壓力的關(guān)系式,計(jì)算出對(duì)應(yīng)的凸肩接觸面壓力;再利用文獻(xiàn)[5]凸肩不同接觸面壓力與一彎頻率的仿真和試驗(yàn)數(shù)據(jù),擬合出凸肩接觸面壓力與一彎頻率之間函數(shù)關(guān)系,通過其計(jì)算出該葉片的一彎頻率,如表1所示。

表1 某凸肩葉片一彎頻率值

經(jīng)性質(zhì)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，需對(duì)L(fn)進(jìn)行非負(fù)截?cái)喔膶?。改寫后的隸屬函數(shù)如下：

(6)

5.2 模糊方法算例

一般要求較低階振型共振裕度必須大于10%[9],因此本例中不妨取a=20。工作中當(dāng)表1所示葉片受到服從隨機(jī)分布fe～N(230,10)的激振力時(shí),使用本文模糊方法評(píng)估可得:該凸肩葉片抗一彎共振可靠度為0.989 1(均勻分布)或0.989 3(線性分布)。

圖1給出了模糊估計(jì)隨一彎頻率中值估計(jì)值的變化曲線。圖2～圖4給出了模糊估計(jì)隨各擬合參數(shù)的變化曲線。

圖1 模糊估計(jì)隨的變化曲線 圖2 模糊估計(jì)隨q1的變化曲線 圖3 模糊估計(jì)隨q2的變化曲線

圖4 模糊估計(jì)隨擬合參數(shù)u的變化曲線

5.3 常規(guī)可靠性方法和模糊可靠性方法的比較

圖5和圖6分別給出了常規(guī)方法和模糊方法隨激振頻率均值和標(biāo)準(zhǔn)差的變化規(guī)律。由圖5可以看出,當(dāng)激振頻率的均值小于130 Hz左右時(shí),模糊方法的估計(jì)值始終小于常規(guī)方法的估計(jì)值;而當(dāng)激振頻率的均值大于130 Hz左右時(shí),無論使用何種方法,該凸肩葉片抗一彎共振可靠度均已低于97.5%,工程中還需考慮避開其他階共振,總可靠度將更低,已不滿足工程上可靠度的要求。也就是說,在工程可接受的可靠度范圍內(nèi),模糊方法估計(jì)值小于常規(guī)方法估計(jì)值。

圖5 估計(jì)結(jié)果隨激振頻率均值的變化曲線

同時(shí),圖6亦表明模糊方法的估計(jì)值小于常規(guī)方法的估計(jì)值。此外,由圖5和圖6可得:引入均勻分布時(shí)的模糊估計(jì)結(jié)果始終小于引入線性分布時(shí)的模糊估計(jì)結(jié)果。

圖6 估計(jì)結(jié)果隨激振頻率標(biāo)準(zhǔn)差的變化曲線

6 結(jié) 論

本文分析了帶阻尼結(jié)構(gòu)(如凸肩)葉片的固有頻率的模糊性,提出了確定固有頻率模糊隸屬函數(shù)的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。同時(shí)利用截集理論建立了基于固有頻率模糊性的凸肩葉片抗共振模糊可靠度模型,并對(duì)模型進(jìn)行了計(jì)算。通過分析指出常規(guī)模型是模糊模型的特例,模糊方法是當(dāng)系統(tǒng)具有模糊性時(shí),對(duì)常規(guī)方法的補(bǔ)充,為處理模糊現(xiàn)象提供了一種途徑。最后通過算例表明:本文所提模糊方法對(duì)葉片固有頻率中值估計(jì)值及隸屬函數(shù)擬合參數(shù)具有較好的穩(wěn)定性,其估計(jì)結(jié)果略小于常規(guī)方法估計(jì)結(jié)果。

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