王星, 方宗德, 李聲晉, 高正國, 寧程豐

(1.西北工業(yè)大學 機電學院, 陜西 西安 710072; 2.青島中集冷藏運輸設(shè)備有限公司, 山東 青島 266300)

準雙曲面齒輪是齒輪傳動中最為復(fù)雜的一種，其幾何形狀與嚙合理論非常復(fù)雜，一直是齒輪制造過程中的難點。同時它又是汽車驅(qū)動橋中的關(guān)鍵零部件，而準雙曲面齒輪的嚙合質(zhì)量是通過正確的切齒設(shè)計來保證的，國內(nèi)不少學者對這方面的工作做了深入的研究。

格里森準雙曲面齒輪常用的切齒方法有4種，代號分別為HFT、HFM、HGT和HGM。由于HFT大輪采用成形法加工，工件和搖臺均不轉(zhuǎn)動，由刀盤直接回轉(zhuǎn)加工出齒面，從而具有加工效率高的特點，因此，在汽車工業(yè)中得到了廣泛應(yīng)用，它也是目前使用最多的準雙曲面齒輪的切齒方法。唐進元等[1]針對HFT準雙曲面齒輪，推導(dǎo)了齒面方程和過渡曲面方程。方宗德等[2]針對HFT準雙曲面齒輪，推導(dǎo)了齒輪傳動的輪齒接觸分析方法。李慧[3]針對HFM法利用空間嚙合幾何學和空間坐標變換，建立了大、小輪切齒加工的數(shù)學模型和齒面表達的非線性方程組。Simon[4]研究了如何在數(shù)控機床上加工準雙曲面齒輪。吳序堂[5]對HGT準雙曲面齒輪切齒方法做了深入的理論研究。對于HGT準雙曲面齒輪，大輪采用展成法加工，加工效率沒有成形法高，但是展成法(generated)與成形法(formated)相比，其優(yōu)越之處就是可以設(shè)置齒輪具體的嚙合性能，且自從弧齒錐齒輪與準雙曲面齒輪加工機床出現(xiàn)以來，刀傾法(tilt)的出現(xiàn)和引入齒輪加工中是齒輪加工制造技術(shù)的一大突破，因此，有必要對HGT準雙曲面齒輪進行理論齒面推導(dǎo)及相應(yīng)的嚙合仿真，為進一步的研究打下基礎(chǔ)。

輪齒接觸分析(TCA)，包括齒面接觸分析[6]和邊緣接觸分析[7]，代表了齒輪嚙合的完整過程。邊緣接觸是一種輪齒齒頂邊緣傳遞運動的現(xiàn)象，當邊緣接觸發(fā)生時，由于兩接觸曲面的位置關(guān)系不確定，因此不能應(yīng)用微分幾何求解在接觸曲面上的主曲率方向。對于準雙曲面齒輪，邊緣接觸是極易發(fā)生的,如何正確確定在接觸曲面上的主方向，將對齒輪副的承載接觸分析產(chǎn)生較大影響。方宗德教授對該問題進行了研究，提出了通過“數(shù)值方法”在接觸點鄰近曲面范圍內(nèi)產(chǎn)生主方向并得到沿該方向離散點處齒面間隙的方法[8-9]。為了問題的簡化，近似取兩齒面嚙合點接觸橢圓的長軸方向作為邊緣接觸曲面的主方向。

本文采用空間嚙合理論，推導(dǎo)了HGT準雙曲面齒輪齒面的表達方法，便于進行計算機仿真和生成輪齒模型，以便我們準確得出不同參數(shù)、不同誤差的齒輪嚙合過程和性能，能有效降低產(chǎn)品成本、提高產(chǎn)品質(zhì)量，并對該對齒輪進行了輪齒接觸分析，并以算例驗證了邊緣接觸分析的重要性。

1 理論齒面的表達

1.1 大輪理論齒面

大輪采用展成法加工，小輪采用刀傾法加工，這時的產(chǎn)形輪是錐形產(chǎn)形輪，產(chǎn)形輪和齒輪之間有相對運動，刀盤的切削面和齒面是一對完全共軛的曲面。大輪和小輪的切齒刀具如圖1a)、圖1b)所示。

圖1 大輪和小輪切齒刀具

圖中,rc2和rc1是刀尖半徑,αg和αp為刀具齒形角,大輪的刀具齒面用參數(shù)θg、和Sg表示為:

(1)

(2)

圖2 大輪和小輪切齒坐標系

大輪和小輪的切齒坐標系如圖2a)、圖2b)所示，其中，圖2a)是大輪切齒坐標系，Og是刀具中心，Oc2是搖臺中心，O2是齒輪的設(shè)計交叉點(齒輪軸線與2條軸線間距離線的交點)，坐標系Sp、Sc2、Sa固定在機床上，Sg和S2分別固定在刀具和被加工齒輪上，φg和φ2分別為搖臺轉(zhuǎn)角和大輪的加工轉(zhuǎn)角。

根據(jù)圖2a)中坐標關(guān)系,齒面在S2中的表達式為:

(3)

(4)

式中:M為4×4坐標轉(zhuǎn)換矩陣,L為其中的3×3轉(zhuǎn)動部分。切削時刀具形成的假想齒面與大輪齒面嚙合,因此須滿足以下嚙合方程[7]:

f2=N2·R2

(5)

聯(lián)合求解(1)式～(5)式,經(jīng)過不斷迭代,可得到大輪理論齒面方程。

1.2 小輪理論齒面

根據(jù)圖1b)所示,小輪的刀具齒面用參數(shù)θp、φp和Sp表示為:

(6)

(7)

圖2b)是小輪切齒坐標系,經(jīng)過與大輪齒面的表達相似的推導(dǎo),得到小輪齒面在坐標系S1(固定在小輪上)中的表達式為:

(8)

(9)

同理,切削時刀具形成的假想齒面與小輪齒面嚙合,因此也必須滿足以下嚙合方程[7]:

f1=N1·R1

(10)

聯(lián)合求解(6)式～(10)式,經(jīng)過不斷迭代,可得到小輪理論齒面方程。

2 輪齒接觸分析

2.1 齒面接觸分析

計及安裝誤差的齒輪嚙合坐標系如圖3所示。

圖3 齒輪副嚙合坐標系

圖中O1和O2為設(shè)計交叉點,坐標系Sh固定在箱體上,S1和S2分別固定在小、大齒輪上,ψ1和ψ2分別是嚙合時小輪和大輪轉(zhuǎn)角,Σ為軸交角,E為偏置距。根據(jù)圖中坐標關(guān)系,大輪齒面在Sh中的表達式為:

(11)

(12)

式中:Sa、Sb、Sc和Sd為輔助坐標系。

小輪齒面在Sh中的表達式為:

(13)

(14)

2個齒面的嚙合條件為:

(15)

(15)式表示的矢量方程中包含了6個標量方程,由于n是單位矢量,獨立的方程數(shù)為5個,再加上2個嚙合方程,因此共有7個獨立的標量方程,而未知數(shù)為θg、φg、Sg、ψ2、θp、φp、Sp、ψ1共8個。此時可按一定步長選擇ψ1,求解非線性方程組(15),解出其余的7個未知數(shù),將以上求得的8個參數(shù)代入(3)式、(4)式和(8)式、(9)式中,分別得到坐標系S2和S1中的接觸點。在整個嚙合過程中,以一定的步長選定ψ1,重復(fù)以上計算,直至求出的接觸點超出齒面的有效邊界,即可得到大輪和小輪齒面的接觸點軌跡。

對于每一個瞬時接觸點,齒輪刀具表面的主曲率和主方向都是已知的,根據(jù)圖2所示的切削坐標和相對運動關(guān)系,可以計算得到齒面上該點的主曲率和主方向,并根據(jù)事先給定的彈性變形量d≤0.006 35 mm[10],進而得到瞬時接觸橢圓的長軸方向與尺寸,即齒面嚙合印痕。

此外,還可由ψ1和ψ2獲得齒輪副的傳動誤差曲線。傳動誤差函數(shù)[2]由下式定義:

(16)

根據(jù)以上計算得到的一組ψ1和ψ2,可以給出整個嚙合過程中的傳動誤差曲線。嚙合印痕與傳動誤差是齒面接觸分析的主要結(jié)果,比較完整地表達了齒輪副在空載或輕載下的嚙合性能。

2.2 邊緣接觸分析

當退出嚙合時,小輪的齒頂邊緣與大輪的齒面可能相接觸。這時,在嚙合坐標系Sh中小輪的齒頂邊緣與大輪的齒面有相同的位置矢量,且小輪的齒頂邊緣切矢量一定與大輪的齒面法矢垂直[5]。因此,有:

r1h(θp,φp,Sp,ψ1)=r2h(θg,φg,Sg,ψ2)

(17)

(18)

f1=N1·R1

(19)

以及大輪刀具和大輪的嚙合方程[7]:

f2=N2·R2

(20)

再加上一個輔助方程:

(21)

共有7個獨立的標量方程。

經(jīng)過齒面接觸分析與邊緣接觸分析后,就可以比較完整地得到TCA求解過程。

3 算 例

將準雙曲面齒輪的切齒設(shè)計與輪齒接觸分析編制成計算機程序,以一對格里森準雙曲面齒輪為例,對輪齒進行了嚙合過程仿真,其主要參數(shù)及切齒參數(shù)如表1、表2所示。

表1(續(xù))

表2 切齒參數(shù)

輪齒接觸分析結(jié)果如圖4、圖5和圖6所示。

圖4 不考慮安裝誤差時的齒面嚙合印痕

圖5 不考慮安裝誤差時的傳動誤差曲線 圖6 考慮安裝誤差時的TCA分析結(jié)果

圖4和圖5分別為在沒有考慮安裝誤差的情況下齒面嚙合印痕和傳動誤差曲線。由圖4可以看出,齒輪在進入和退出嚙合時都發(fā)生了邊緣接觸,由圖5可以看出,在考慮邊緣接觸時,傳動誤差呈現(xiàn)了一定的對稱性,且形成了較大的幅值,該圖所示結(jié)果形象地說明了齒輪傳動由邊緣接觸向下一對齒過渡的連續(xù)過程。

根據(jù)國標GB 11365-89表18,當軸夾角有0.000 3 rad安裝誤差時的輪齒接觸分析結(jié)果如圖6所示,其中,圖6a)沒有考慮邊緣接觸,圖6b)考慮了邊緣接觸?？梢钥闯?嚙合區(qū)向大輪小端移動,圖6b)中傳動誤差呈現(xiàn)了一定的對稱性,且幅值有明顯的下降。

邊緣接觸分析的結(jié)果對于進一步的強度分析和振動分析都有很重要的意義。

4 結(jié) 論

本文以一對格里森準雙曲面齒輪副為研究對象,討論了加工方法HGT坐標系的建立及齒面方程的推導(dǎo),并對齒輪副進行了輪齒接觸分析,得到如下結(jié)論:

1) 建立了格里森HGT準雙曲面齒輪的切齒加工數(shù)學模型,推導(dǎo)了理論齒面方程。

2) 對齒輪進行了輪齒接觸分析,包括齒面接觸分析和邊緣接觸分析,并編制成計算機程序,可以比較完整地對齒輪在空載或輕載下的嚙合過程進行準確的仿真,驗證了數(shù)學模型和理論推導(dǎo)的正確性。

3) 在此研究的基礎(chǔ)上可以進行齒面承載接觸分析等方面的研究。

CNC錐齒輪機床的出現(xiàn)開創(chuàng)了錐齒輪加工裝備的新紀元,如何通過運動轉(zhuǎn)換在CNC機床上實現(xiàn)HGT準雙曲面齒輪的加工有待進一步研究。

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