顏閩秀,鄭小帆

(沈陽化工大學 信息工程學院,遼寧 沈陽 110142)

自從1990年P(guān)ecora和Carroll提出了混沌同步的定義[1]并在電路中實現(xiàn)以來,混沌同步及其應(yīng)用一直是研究的熱點.到目前為止,各種同步方案相繼提出,如完全同步[2]、反同步[3]、投影同步[4]、相同步[5]、廣義同步[6]等.同時,人們提出了多種實現(xiàn)混沌同步的方法,如觀測器同步法[7]、主動控制法[8]、自適應(yīng)同步法[9]、滑模變結(jié)構(gòu)同步法[10]等.在這些方法中,滑模變結(jié)構(gòu)控制器因為其具有很強的魯棒性和抗干擾能力,受到了廣泛的關(guān)注.

目前,關(guān)于混沌同步的研究取得了一些研究成果.在文獻[11]中,實現(xiàn)了具有參數(shù)不確定性、外部干擾以及非線性控制輸入的混沌系統(tǒng)的完全同步.但是現(xiàn)有的研究成果大多是在混沌系統(tǒng)的不確定性和外部干擾的上界已知情況下實現(xiàn)的同步.但在實際工程應(yīng)用中,上界值一般是很難或根本無法測量的[12].同時,之前大部分的研究都是針對低維數(shù)的混沌系統(tǒng)進行的,超混沌系統(tǒng)因為具有更復(fù)雜的動力學特性也受到了日益廣泛的關(guān)注.

本文針對一類帶未知上界的不確定性和外界擾動的超混沌系統(tǒng)同步問題,提出了一種新的主動自適應(yīng)滑模器和參數(shù)更新規(guī)則.該規(guī)則將系統(tǒng)中的未知參數(shù)估計至上界,在該控制器作用下實現(xiàn)了兩個相同或不同超混沌系統(tǒng)的同步和反同步.利用連續(xù)函數(shù)來替代控制律中的非連續(xù)符號函數(shù),消除了滑?？刂破鞯亩秳訂栴}.利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和數(shù)值仿真證明了所設(shè)計的控制器的有效性.

1 問題描述

考慮如下n維混沌系統(tǒng):

式中,x,y∈Rn是系統(tǒng)的n維狀態(tài)向量;A1,A2∈Rn×n表示系統(tǒng)的線性部分;f1(x),f2(y)∈Rn表示系統(tǒng)的非線性部分;ΔA1,ΔA2∈Rn×n描述的是系統(tǒng)的不確定性;u(t)是控制輸入;δ1(t),δ2(t)∈Rn表示系統(tǒng)的外部干擾向量.

若式(1)和式(2)中A1=A2,f1(x)=f2(y),則兩個系統(tǒng)是一致的混沌系統(tǒng),否則為不同的混沌系統(tǒng).定義如下誤差系統(tǒng):

e=y+βx.

(3)

將式(1)、式(2)代入式(3),可得誤差系統(tǒng)為

令F(x,y)=f2(y)+βf1(x)+β(A1-A2)x,則式(4)可以表示為

通過設(shè)計加在響應(yīng)系統(tǒng)上的控制器,使得驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)達到同步,也就是要滿足如下條件:

(6)

本文中,‖·‖表示Euclidean范數(shù).

假設(shè)‖ΔA2y+βΔA1x‖<ψ,‖δ2+βδ1‖<η,其中,ψ,η為未知的正常數(shù).

定理1 對任意的x和正數(shù)y,存在如下不等式:

xtanh(xy)=|x||tanh(xy)|≥0.

2 主動滑模控制器的設(shè)計

根據(jù)主動控制的思想,可以如下設(shè)計控制器:

u(t)=G(t)-F(x,y).

(7)

根據(jù)滑?？刂坡稍O(shè)計思想得

G(t)=Kv(t).

(8)

(9)

式中,s=Ce表示所設(shè)計的滑模面.

當系統(tǒng)在滑模面上運動時,誤差系統(tǒng)滿足如下條件:

s=Ce=0.

(10)

為了使狀態(tài)軌跡到達滑模面上,可以為運動點到達切換面設(shè)計各種趨近律.較好的趨近律應(yīng)該在離切換面遠時,運動點向切換面運動的速度大,而接近切換面時,其速度漸近趨于零.現(xiàn)在運用最多的趨近律是指數(shù)趨近律:

(11)

式中,ε,λ均為正實數(shù).在常規(guī)的滑模算法中存在嚴重的抖動現(xiàn)象,為了消除控制器輸出的抖動,利用連續(xù)函數(shù)tanh來替代控制律中的非連續(xù)符號函數(shù),則有

(12)

根據(jù)式(5)、式(8)和式(12)可得

則

由于系統(tǒng)中存在不確定項,且不確定項的上界值未知,控制器無法實現(xiàn),因此,采用主動滑?？刂婆c自適應(yīng)控制相結(jié)合來設(shè)計控制器.

定理2 對于同步誤差系統(tǒng)(6),在控制器u(t)的作用下,能夠?qū)崿F(xiàn)同步或反同步.其中

證明 選取如下正定的函數(shù):

(16)

對時間t求導(dǎo)得

εtanh(s)+rs]+ΔA2y+βΔA1x+

(17)

3 仿真分析與討論

為了驗證所設(shè)計的修正投影同步控制器的有效性,本文選取超混沌Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)為例進行研究.

超混沌Lorenz系統(tǒng)可以用如下方程來表示:

(18)

超混沌Chen系統(tǒng)可以用如下方程來表示:

(19)

式中,a=35,b=7,c=12,d=3,r=0.5.

3.1 超混沌Chen系統(tǒng)的同步

假設(shè)

(20)

(21)

則驅(qū)動系統(tǒng)為

(22)

響應(yīng)系統(tǒng)可以寫成

(23)

同步誤差系統(tǒng)為

(24)

令ψ(0)=50,η(0)=50,C=(0,2,1,-1)T,K=(1,1,0,1),則滑模面為

s=2e2+e3-e4.

(25)

假設(shè)驅(qū)動系統(tǒng)的初始值為(x1(0),x2(0),x3(0),x4(0))=(1,2,-1,2),響應(yīng)系統(tǒng)的初始值為(y1(0),y2(0),y3(0),y4(0))=(-2,5,-1,2).

圖1是在控制器作用下,驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線.顯然,響應(yīng)系統(tǒng)能夠跟隨驅(qū)動系統(tǒng)并達到很好的同步效果.圖2表示的是本文設(shè)計的控制器的輸出,圖3表示的是傳統(tǒng)滑模控制器的輸出.從仿真結(jié)果可知,所設(shè)計的控制器在達到很好的同步效果的同時還解決了傳統(tǒng)滑?？刂破鞯膰乐剡^抖動問題.圖4和圖5表示的是自適應(yīng)律η和ψ隨時間的變化曲線.

圖1 驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.1 State response curve of drive system and response system(a)—x1和y1的狀態(tài)響應(yīng)曲線;(b)—x2和y2的狀態(tài)響應(yīng)曲線;(c)—x3和y3的狀態(tài)響應(yīng)曲線;(d)—x4和y4的狀態(tài)響應(yīng)曲線.

圖2 本文設(shè)計的控制器的輸出Fig.2 Output of the designed controller(a)—控制器u1的輸出;(b)—控制器u2的輸出;(c)—控制器u3的輸出;(d)—控制器u4的輸出.

圖3 傳統(tǒng)滑?？刂破鞯妮敵鯢ig.3 Output of traditional sliding mode controller(a)—控制器u1的放大輸出;(b)—控制器u2的放大輸出;(c)—控制器u3的放大輸出;(d)—控制器u4的輸出.

圖4 自適應(yīng)律η的時間響應(yīng)曲線Fig.4 Time response curve of the adaptive law η

圖5 自適應(yīng)律ψ的時間響應(yīng)曲線Fig.5 Time response curve of the adaptive law ψ

3.2 超混沌Lorenz系統(tǒng)和 Chen系統(tǒng)的反同步

假設(shè)

(26)

(27)

則驅(qū)動系統(tǒng)為

(28)

響應(yīng)系統(tǒng)可以寫成

(29)

同步誤差系統(tǒng)為

(30)

令ψ(0)=50,η(0)=50,C=(0,2,1,-1),K=(1,1,0,1)T,則滑模面為

s=2e2+e3-e4.

(31)

假設(shè)驅(qū)動系統(tǒng)的初始值為(x1(0),x2(0),x3(0),x4(0))=(1,2,-1,2) ,響應(yīng)系統(tǒng)的初始值為(y1(0),y2(0),y3(0),y4(0))=(-2,2,-1,2).

圖6為驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線,圖7為本文設(shè)計的控制器的輸出,圖8為傳統(tǒng)滑模控制器的輸出,圖9為自適應(yīng)律η的時間響應(yīng)曲線,圖10為自適應(yīng)律ψ的時間響應(yīng)曲線.

從仿真結(jié)果可以看出,盡管超混沌系統(tǒng)受到了外部干擾,但在所設(shè)計的控制器作用下,誤差狀態(tài)曲線仍能漸近收斂到零.在達到同步的前提下,與傳統(tǒng)滑?？刂破飨啾?不存在嚴重的抖動問題.

圖6 驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.6 State response curve of drive system and response system(a)—x1和y1的狀態(tài)響應(yīng)曲線;(b)—x2和y2的狀態(tài)響應(yīng)曲線;(c)—x3和y3的狀態(tài)響應(yīng)曲線;(d)—x4和y4的狀態(tài)響應(yīng)曲線.

圖7 本文設(shè)計的控制器的輸出Fig.7 Output of the designed controller(a)—控制器u1的輸出;(b)—控制器u2的輸出;(c)—控制器u3的輸出;(d)—控制器u4的輸出.

圖8 傳統(tǒng)滑模控制器的輸出Fig.8 Output of traditional sliding mode controller

圖9 自適應(yīng)律η的時間響應(yīng)曲線Fig.9 Time response curve of the adaptive law η

圖10 自適應(yīng)律ψ的時間響應(yīng)曲線Fig.10 Time response curve of the adaptive law ψ

4 結(jié) 語

本文針對一類帶未知上界的不確定性和外界擾動的超混沌系統(tǒng)同步問題,利用Lyapunov穩(wěn)定理論,設(shè)計了主動自適應(yīng)滑?？刂破鞑⒔o出了參數(shù)自適應(yīng)律的表達式,并將這種混沌系統(tǒng)同步方法應(yīng)用于超混沌Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)中,實現(xiàn)了超混沌系統(tǒng)的同步和反同步,通過數(shù)值仿真驗證了所設(shè)計的控制器的實用有效性.

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