李毫亮，劉冠峰，曾 琦，鄧明星

（廣東工業(yè)大學(xué)機電工程學(xué)院，廣東廣州 510006）

0 引言

機械臂在工業(yè)自動化上有廣泛的應(yīng)用，對降低成本和提高效率方面有很重要的作用[1]。

要實現(xiàn)機械臂的平滑，穩(wěn)定，精確等性能，首先要建立機械臂的運動學(xué)模型，運用D-H法進(jìn)行運動學(xué)計算，并對運動空間進(jìn)行預(yù)先仿真。為下一步機械臂軌跡規(guī)劃、優(yōu)化等方面建立基礎(chǔ)。

1 D-H參數(shù)方程

D-H參數(shù)方程為計算機械臂前向運動學(xué)的基礎(chǔ)，其通過D-H約定：軸Xi在空間垂直且相交于Zi-1[2]。按照此約定，連桿間變換關(guān)系可化簡為公式如下：

其中：ai為沿Xi方向Zi與Zi-1間距離；

αi為垂直于 Xi平面Zi與 Zi-1間夾角；

di為沿 Zi-1方向 Oi與 Oi-1間的距離；

θi為垂直于 Zi-1平面Xi與 Xi-1間的夾角；

其中： cθi代表 cos(θi),sθi代表 sin(θ i ),sαi代表sin(α i),cαi代表 cos(α i).

2 運動學(xué)模型建立及計算

機械臂運動學(xué)計算是機器人運動學(xué)的基礎(chǔ),分為前向運動學(xué)和逆向運動學(xué)[3-4]，在不考慮機械臂動力學(xué)的前提下，可通過機械臂運動學(xué)的計算，來仿真機械臂末端的可達(dá)空間；通過對逆向運動學(xué)的求解，可以得到各個變量的參數(shù)方程，為軌跡規(guī)劃等建立基礎(chǔ)。

此機械臂模型均為關(guān)節(jié)角為變量，在遵守D-H約定的前提下，建立其模型如圖1所示。

2.1 正向運動學(xué)計算

圖1 機械臂運動學(xué)模型

機械臂的正解問題即：已知機械臂的各個關(guān)節(jié)角變量，通過計算公式求得機械臂末端位置和姿態(tài)的過程。在此過程中只考慮機械臂的運動學(xué)問題，而不考慮機械臂的動力學(xué)等問題。由于本機械臂的各個參數(shù)已知，其各個參數(shù)如表1。

表1 機械臂參數(shù)

依據(jù)前向運動學(xué)公式，把以上各個相鄰關(guān)節(jié)間的轉(zhuǎn)換公式依次代入下列公式，可以得到如下的計算結(jié)果：

從而可以得到末端位置關(guān)系式：

2.2 逆向運動學(xué)計算

其中：s1代表sin(θ1)，c1代表cos(θ1)，

s2代表sin(θ2)，c2代表cos(θ2) ， s5代表sin(θ5)，c5代表cos(θ5)，s23代表sin(θ2+θ3)，c23代表cos(θ2+θ3)， s234代表 sin(θ2+θ3+θ4) ，c234代表cos(θ2+θ3+θ4)。其余各參數(shù)含義見表1。

將各個參數(shù)帶入上述公式可得：

機械臂的逆向運動學(xué)即：根據(jù)機械臂的末端位置和姿態(tài)方程式，求解各個關(guān)節(jié)變量的過程，由于機械臂末端位姿在已知的條件下，對應(yīng)各個關(guān)節(jié)變量的解可能存在多組解的情況，所以在根據(jù)各項約束條件的情況下從多組解集中選出最優(yōu)的一組解，為機械臂的軌跡規(guī)劃、優(yōu)化等建立基礎(chǔ)。

現(xiàn)假設(shè)機械臂的末端位姿方程式如下：

上式中前三列為機械臂在空間的位姿向量，最后一列為機械臂在空間的位置向量。

依據(jù)A-1H=A2A3A4A5，

由以上關(guān)系式中第三行、第四列對應(yīng)項相等可得到：

由關(guān)系式中第一行、三列與第二行、三列對應(yīng)成比例可得到：

聯(lián)合上式中第一行、四列和第二行四列可得到如下關(guān)系式：

化簡求解得：

根據(jù)對應(yīng)項還可以得到：

其中：T=az，R=axc1+ays1

聯(lián)立（5）（6）得：

聯(lián)立（2）、（3）、（7）得：

由以上關(guān)系式，最終求解出各個關(guān)節(jié)角函數(shù)關(guān)系式，由以上解集可知，對應(yīng)于本結(jié)構(gòu)的串聯(lián)機械臂有多組解，通過結(jié)合桿件幾何關(guān)系圖2，根據(jù)機械臂初始位置和姿態(tài)，從多組解集中選擇出一組最優(yōu)化解集，為以后的機械臂軌跡規(guī)劃、優(yōu)化等建立基礎(chǔ)條件等。

圖2 三平行桿幾何關(guān)系

3 Matlab仿真分析

由2.1中機械臂末端位置計算方程可知，此結(jié)構(gòu)機械臂第五個關(guān)節(jié)角θ5的變化不影響末端在空間的可達(dá)空間，所以此仿真分析沒有考慮θ5的變化。

其 中 a1=33， a2=155， a3=135， d1=75， d5=161，θ1的變化范圍在±169°，θ2的變化范圍在-65°到 90°之間，θ3的變化范圍在-151°到 146°之間，θ4的 變 化 范 圍 為 ±102.5°， θ5的 變 化 范 圍在±167.5°。

上式為在2.1中的計算結(jié)果，依據(jù)此算法編寫Matlab程序[5-6]，以下各圖θ1的角度均為 0°，其運行結(jié)果如圖3所示。

圖3 θ4變化末端軌跡

由此圖可以看出機械臂末端由θ4的變化引起，此軌跡為一整圓的一部分，其原因主要是由于角度4限制在±102.5°之間，還可以看出此圓弧的半徑即為桿d5的長度。

此圖為固定θ1、θ2僅僅在θ3、θ4變化下的軌跡，結(jié)合圖2可以得到，圖2為圖3中的一條，當(dāng)沒有限制角度變化值的情況下，可知、兩桿機構(gòu)的空間軌跡唯一圓環(huán)，然而、由于各個角度均在其限定范圍之內(nèi)，所以此空間軌跡為圓環(huán)的一部分，其最外部分軌跡為兩桿在一條直線上，最內(nèi)部分軌跡為兩桿空間距離最短時的軌跡。

此圖為θ1為0°時，機械臂在平面XZ上的軌跡曲線，此軌跡即為此機構(gòu)型機械臂在空間的可達(dá)空間，可以得到：由于各個角度的限制，在此圓形區(qū)域內(nèi)，機械臂并非可以達(dá)到此空間中的每一點，所以、在機械臂軌跡規(guī)劃是應(yīng)通過合理的選擇各個角度的變化，盡量避免機械臂在此空間的不可達(dá)點。

圖4 θ3、θ4變化末端軌跡

圖5 θ2、θ3、θ4變化末端軌跡

當(dāng)θ1變化時，即為此圖形繞d1桿運動，機械臂仿真運動空間與理論可達(dá)空間相同，驗證了以上計算結(jié)果、算法的正確性。

4 結(jié)語

通過對Kuka robot機械臂建立運動學(xué)模型，進(jìn)行前向運動學(xué)、逆向運動學(xué)計算，并通過Mat?lab軟件對其運動空間進(jìn)行了仿真，驗證了計算結(jié)果的正確性。由于逆運算的多解性，所以需要根據(jù)條件選擇一組比較合適的解集。為下一步移動機械臂的軌跡規(guī)劃、優(yōu)化等問題建立了前提基礎(chǔ)。

［1］蔡鶴皋.機器人將是21世紀(jì)技術(shù)發(fā)展的熱點［J］.中國機械工程，2000（11）：58-60.

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［5］程立艷，費凌，蘇澤郎.基于MATLAB五自由度機械手運動學(xué)仿真分析［J］.機械研究與應(yīng)用，2011（5）：12-14.

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