張志昌，趙 瑩，傅銘煥

(西安理工大學(xué) 水利水電學(xué)院，陜西 西安 710048)

水躍長度是消力池長度設(shè)計(jì)的重要依據(jù)，自1818年貝登對水躍現(xiàn)象開展研究以來，水躍長度一直是該領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題之一。1957年，Bradley等[1]對矩形斷面的水躍長度進(jìn)行了研究，試驗(yàn)的水槽寬度為0.305～1.500 m，躍前斷面弗勞德數(shù)為1.70～19.55，這是目前水槽寬度和弗勞德數(shù)范圍最大的研究成果，但該研究是以圖和表的形式給出的。1964年，陳椿庭[2]分析了12個(gè)人的研究成果，根據(jù)Bradley等[1]的試驗(yàn)資料，給出了2個(gè)水躍長度經(jīng)驗(yàn)公式。1979年，張長高[3]根據(jù)不可壓縮液體恒定均勻紊流基本方程，得出了平底矩形明渠水躍長度的基本計(jì)算公式，并在分析前人研究成果的基礎(chǔ)上，提出了水躍長度的半經(jīng)驗(yàn)公式。1965年，Rajaratnam[4]提出可以根據(jù)附壁射流的研究成果對水躍進(jìn)行研究，并進(jìn)一步測量了水躍區(qū)的流速分布、壁面阻力和邊界層的發(fā)展，為水躍的研究提供了一種新的方法。眾多研究者中，Rajaratnam[4]和Hager等[5]將水躍的長度分為水躍長度和旋滾長度，為水躍長度的分類奠定了基礎(chǔ)。

雖然許多學(xué)者對水躍長度進(jìn)行過研究，但由于水躍區(qū)水流的脈動性及水流條件的復(fù)雜性，至今尚未得出水躍長度的理論公式，現(xiàn)今采用的多是根據(jù)試驗(yàn)資料總結(jié)出的圖表或經(jīng)驗(yàn)公式。目前已有數(shù)十個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式，但這些公式得出的水躍長度相差較大，這給消力池長度的正確設(shè)計(jì)帶來了困難。為此，本研究根據(jù)Bradley 等[1]弗勞德數(shù)為1.7～19.55、Hughes等[6]弗勞德數(shù)為2.53～6.95、Francesco等[7]弗勞德數(shù)為1.87～7.67以及筆者弗勞德數(shù)為4.2～8.0的模型試驗(yàn)資料，對現(xiàn)有的水躍長度計(jì)算公式進(jìn)行歸納分類，以期提出矩形平底明渠水躍長度和旋滾長度的新的計(jì)算方法，進(jìn)而為水躍計(jì)算公式的選擇提供參考。

1 水躍長度計(jì)算研究的現(xiàn)狀

作者收集的計(jì)算水躍長度的經(jīng)驗(yàn)公式有43個(gè)，其中部分公式因年代久遠(yuǎn)找不到原始文獻(xiàn)，是從其他研究者的文章中轉(zhuǎn)引而來的。按照各種公式涉及的計(jì)算參數(shù)，可將這些公式分為4種類型：Ⅰ是以躍后水深表示的水躍長度公式；Ⅱ是以躍前、躍后水深表示的水躍長度公式；Ⅲ是以躍前斷面的弗勞德數(shù)與躍前或躍后水深表示的水躍長度公式；Ⅳ是采用其他方法表示的水躍長度公式。43個(gè)水躍長度計(jì)算公式及其分類如表1所示。由表1可以看出，對第Ⅰ種類型，即以躍后水深表示的5個(gè)公式，在躍后水深h2相同的情況下，Bradley等[1]公式計(jì)算值最大，Douma[8]公式計(jì)算值最小，最大值是最小值的2.03倍。

Bradley等[1]在寬度為0.305 m的水槽中進(jìn)行了水躍長度的試驗(yàn)，試驗(yàn)的弗勞德數(shù)為2.20～7.62，得到的水躍長度為73.20～253.15 cm。根據(jù)Bradley等[1]的試驗(yàn)資料，對表1中的第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ種類型的水躍長度公式分析如下。

表1 43個(gè)水躍長度計(jì)算公式的匯總及分類

第Ⅱ種類型，即表1中以躍前、躍后水深表示的12個(gè)公式，其中Posey[8]的公式Lj=(4.5～7.0)×(h2-h1)，由于其取值范圍不好確定，在此不做分析；Gini[8]和Smetana[8]的公式形式一樣，系數(shù)差別僅為0.02，故以Gini[8]公式為代表，與其他9個(gè)公式進(jìn)行分析。以躍前斷面弗勞德數(shù)Fr1為橫坐標(biāo)，以水躍長度與躍前斷面水深的比值Lj/h1為縱坐標(biāo)，將該類型10個(gè)公式的計(jì)算結(jié)果繪于圖1。由圖1可以看出，當(dāng)弗勞德數(shù)為7.62時(shí)，Walker[8]公式計(jì)算值最大，Шаумян[3]公式計(jì)算值最小，前者為后者的1.72倍；當(dāng)弗勞德數(shù)為2.57時(shí)，Walker[8]公式計(jì)算值仍最大，Павловский[8]公式計(jì)算值最小，前者為后者的1.57倍。

第Ⅲ種類型，即以躍前斷面的弗勞德數(shù)和躍前或躍后水深表示的21個(gè)公式，其中李煒2[12]公式因超出本研究分析的弗勞德數(shù)范圍而不做考慮，陳椿庭的2個(gè)公式依據(jù)的是同一試驗(yàn)資料，故采用表1中陳椿庭1[2]公式。對此類所選擇的19個(gè)公式的分析結(jié)果見圖2。由圖2可以看出，當(dāng)弗勞德數(shù)為 7.62 時(shí)，Silvester[19]公式計(jì)算值最大，Пиκалов[11]公式計(jì)算值最小，前者為后者的1.52倍；當(dāng)弗勞德數(shù)為2.57時(shí)，劉沛清[16]公式計(jì)算值最大，基謝列夫1[14]公式計(jì)算值最小，前者為后者的1.68倍。

圖1 以躍前、躍后水深表示的水躍長度公式的比較

第Ⅳ種類型，即其他方法表示的5個(gè)公式，其中基謝列夫2[20]計(jì)算公式計(jì)算的水躍長度值很大，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了其他公式的計(jì)算范圍，也遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了試驗(yàn)范圍，在比較時(shí)未予考慮。其他4個(gè)公式的計(jì)算結(jié)果見圖3。從圖3可以看出，蘆丁[8]的公式反映的規(guī)律與其他公式相反，即隨著弗勞德數(shù)的增大相對水躍長度減??；當(dāng)弗勞德數(shù)為7.62時(shí)，Воrдаиов[3]公式的計(jì)算值最大，Einwachter[8]公式的計(jì)算值最小，前者為后者的1.64倍；當(dāng)弗勞德數(shù)數(shù)為2.57時(shí)，Knapp[8]公式的計(jì)算值最大，Einwachter[8]公式的的計(jì)算值最小，前者為后者的1.79倍。

1964年，陳椿庭[2]收集了國內(nèi)外12個(gè)水躍長度計(jì)算公式，點(diǎn)繪了Fr1與Lj/h1的關(guān)系,如圖4所示。圖4還點(diǎn)繪了Bradley等[1]的6個(gè)水槽試驗(yàn)結(jié)果。由圖4可以看出，各種公式的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果相差較大，例如當(dāng)Fr1=10時(shí)，最大的Lj/h1是最小的2.2倍；當(dāng)Fr1=16時(shí)，最大的Lj/h1是最小的2.3倍。

圖3 以其他方法表示的水躍長度公式的比較

由以上分析可以看出，目前對水躍長度的計(jì)算尚存在著較大的差異。產(chǎn)生這種差異的原因固然與水躍區(qū)水流的紊動特性有關(guān)，例如水躍的脈動特性、躍后位置擺動的不固定性等，更重要的是不同的人對水躍長度位置的判斷存在不同的看法。Αгроскин[11]認(rèn)為，躍尾斷面應(yīng)位于下游的緩流中，水躍長度應(yīng)根據(jù)水躍擴(kuò)散區(qū)內(nèi)的流速分布規(guī)律來確定；Bradley等[1]認(rèn)為，對水躍長度的觀測是困難的，水躍長度躍尾斷面的位置可以選擇在緊靠旋滾末端的下游斷面或較高的底流速開始脫離槽底位置的較遠(yuǎn)的一個(gè)。陳椿庭[2]將前人的研究成果歸納為以下3種情況：一是從水面觀測，取水躍旋滾的末端或回流的終止點(diǎn)距躍前斷面的距離為水躍長度；二是從底流觀測，取較高流速的底流開始脫離槽底的位置距躍前斷面的距離為水躍長度；三是將躍后流速分布為明渠正常流速分布的斷面距躍前斷面的距離作為水躍長度。

正是由于對水躍末端位置的認(rèn)識不同，不同學(xué)者根據(jù)自己對水躍長度的理解進(jìn)行觀測，得出了不同的經(jīng)驗(yàn)公式，這是造成公式差異的主要原因。另外水躍區(qū)水流的紊動特性也是造成水躍長度不確定的重要因素，Bradley等[1]在進(jìn)行水躍試驗(yàn)時(shí)認(rèn)為，水躍長度重復(fù)觀測值的差異在5%以內(nèi)都是很困難的。

2 水躍長度的分類

2.1 水躍長度和旋滾長度的定義

水躍長度理解、測量及計(jì)算中存在的較大差異，給工程設(shè)計(jì)中如何選擇水躍長度的計(jì)算方法帶來了一定的困難，本研究試圖通過對水躍長度的分類，探求適合工程設(shè)計(jì)的水躍長度計(jì)算公式。

1965年，Rajaratnm[4]就將水躍分為旋滾長度Lr和水躍長度Lj，其將旋滾長度定義為躍首到水躍表面旋滾末端之間的水平距離，將水躍長度定義為躍首至躍后水深約等于尾水水深斷面之間的水平距離，約為1.43倍的旋滾長度。1984年，Hughes等[6]也將水躍長度分為旋滾長度和水躍長度，其定義與Rajaratnm[4]相同，并認(rèn)為水躍長度的定義與Bradley等[1]水躍長度的試驗(yàn)資料一致。1987年，Bretz[15]認(rèn)為水躍長度應(yīng)該有2種定義，一種是以水躍的旋滾末端確定的長度為旋滾長度Lr，另一種是以旋滾后水面基本與渠底平行時(shí)的最近點(diǎn)確定的長度為水躍長度Lj，并給出了旋滾長度的公式為：

Lr=(6.29Fr1-3.59)h1。

(1)

1990年，Hager 等[5]給出了旋滾長度的計(jì)算公式為：

Lr=8(Fr1-1.5)h1，2.5

(2)

1991年，Hager[21]又對旋滾長度進(jìn)行了進(jìn)一步研究，給出的計(jì)算公式為：

Lr=[160 tanh(Fr1/20)-12]h1，F(xiàn)r1<15,h1/b<0.1；

(3)

Lr=[100 tanh(Fr1/20)-12]h1，F(xiàn)r1<15,0.1

(4)

式中:b為水槽(即消力池)寬度。作者分析了以上4個(gè)旋滾長度的計(jì)算公式，其中公式(3)和公式(4)因涉及到消力池寬度而不易比較，故在分析旋滾長度中不考慮采用。公式(1)公式(2)相比，在弗勞德數(shù)較小時(shí)，公式(2)計(jì)算的旋滾長度小于公式(1)，而在弗勞德數(shù)較大時(shí)，公式(2)計(jì)算的旋滾長度大于公式(1)，且公式(2)計(jì)算的旋滾長度曲線斜率與試驗(yàn)點(diǎn)的變化趨勢相差較大，而公式(1)計(jì)算的旋滾長度曲線斜率與試驗(yàn)點(diǎn)的趨勢基本一致。由于目前旋滾長度的計(jì)算公式很少，故在旋滾長度的比較中采用公式(1)。

以上研究對水躍長度和旋滾長度的分類具有重要的借鑒意義，可以根據(jù)這種分類來研究不同情況下的水躍長度，從而找出適合工程需要的計(jì)算公式。表1所列的43個(gè)水躍長度計(jì)算公式，由于未準(zhǔn)確區(qū)分水躍長度和旋滾長度的關(guān)系而混淆了水躍長度的概念，從而對其應(yīng)用產(chǎn)生了困難。

2.2 以躍后水深表示的水躍長度計(jì)算公式的比較

以躍后水深表示水躍長度的計(jì)算公式的計(jì)算結(jié)果見圖5。

圖5的數(shù)據(jù)來自于Bradley等[1]、Hughes等[6]、Francesco等[7]和作者的模型試驗(yàn)，其中旋滾長度用公式(1)計(jì)算。計(jì)算結(jié)果與Bradley等[1]、Hughes等[6]和作者的水躍長度試驗(yàn)結(jié)果接近的為水躍長度；計(jì)算結(jié)果與Francesco等[7]和作者的旋滾長度試驗(yàn)結(jié)果以及公式(1)計(jì)算結(jié)果接近的為旋滾長度?？梢钥闯?，Bradley等[1]、Page[8]公式的計(jì)算結(jié)果與水躍長度的試驗(yàn)數(shù)據(jù)接近，而Safranez 1[3]公式的計(jì)算結(jié)果與旋滾長度接近，Safranez 2[8]公式的計(jì)算結(jié)果介于旋滾長度與水躍長度之間，Douma[8]公式的計(jì)算結(jié)果遠(yuǎn)小于旋滾長度。

2.3 以躍前、躍后水深表示的水躍長度計(jì)算公式的比較

圖6是以躍前、躍后水深表示的水躍長度計(jì)算公式的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)資料和公式(1)旋滾長度計(jì)算結(jié)果的比較。由圖6可以看出，張長高[3]、Gini[8]的公式與Bradley等[1]、Hughes等[6]及作者的水躍長度模型試驗(yàn)結(jié)果比較接近，而Павловскйиs[8]的計(jì)算結(jié)果與旋滾長度模型試驗(yàn)結(jié)果接近，Аравин[8]和Павловский[8]公式介于旋滾長度與水躍長度之間。Walker[8]、Elevatorski[3]、張迎春[9]的公式計(jì)算的Lj/h1值大于Bradley等[1]、Hughes等[6]和作者的水躍長度模型試驗(yàn)結(jié)果，而Мацман[3]和Шаумян[3]的計(jì)算結(jié)果略大于旋滾長度模型試驗(yàn)值，但小于公式(1)的計(jì)算值。

2.4 以躍前斷面的弗勞德數(shù)和躍前或躍后水深表示的水躍長度計(jì)算公式的比較

圖7是以躍前斷面的弗勞德數(shù)和躍前或躍后水深表示的水躍長度計(jì)算公式計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果及公式(1)旋滾長度計(jì)算結(jié)果的比較。由圖7可以看出，陳椿庭1[2]、陳椿庭2[2]、吳持恭1[10]、Bremen等[17]、郭子中[8]以及李煒1[12]公式與Bradley等[1]、Hughes等[6]和作者的水躍長度模型試驗(yàn)結(jié)果比較接近，而Safranez 3[3]的計(jì)算結(jié)果與公式(1)計(jì)算的旋滾長度接近，Ohtsu[15]和吳持恭2[13]公式的計(jì)算結(jié)果介于旋滾長度與水躍長度之間。Wu[2]、Kozeny[3]、沈波[18]、Silvester[19]、劉沛清[16]和倪漢根等[15]公式的計(jì)算結(jié)果大于Bradley等[1]、Hughes等[6]和作者的模型試驗(yàn)結(jié)果，而Iνаnchenko[8]、姚琢之[8]、基謝列夫1[14]、Чертоусов[8]和Пиκалов[11]公式計(jì)算值均略大于旋滾長度的試驗(yàn)值，但小于用公式(1)計(jì)算的旋滾長度。

圖6 以躍前、躍后水深表示的水躍長度計(jì)算公式Lj/h1計(jì)算值與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較

2.5 其他方法表示的水躍長度計(jì)算公式的比較

圖8是以其他方法表示的水躍長度計(jì)算公式計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果和公式(1)旋滾長度計(jì)算結(jié)果的比較。由圖8可以看出，Вогдаиов[3]的計(jì)算值過于偏大，遠(yuǎn)大于水躍長度的試驗(yàn)值；Einwachter[8]和Knapp[8]的公式介于旋滾長度與水躍長度之間；蘆丁[8]公式計(jì)算的Lj/h1隨著弗勞德數(shù)的增加而減小，與其他公式的規(guī)律不同。

由以上分析可以看出，水躍長度與Bradley等[1]、Hughes等[6]與作者的模型試驗(yàn)資料比較接近的有Bradley等[1]、Page[8]、張長高[3]、Gini[8]、Smetana[8]、陳椿庭1[2]、陳椿庭2[2]、吳持恭1[10]、Bremen等[17]、郭子中[8]公式以及李煒[12]的2個(gè)公式；與經(jīng)驗(yàn)公式(1)計(jì)算的旋滾長度接近的公式有Safranez 1[3]、Safranez 3[3]和Павловскйиs[8]公式；介于水躍長度和旋滾長度之間的有Safranez 2[8]、Аравин[8]、Павловский[8]、Ohtsu[15]、吳持恭2[13]、Einwachter[8]和Knapp[8]的公式；大于Bradley等[1]、Hughes等[6]和作者的水躍長度模型試驗(yàn)資料的有Walker[8]、Elevatorski[3]、張迎春[9]、Silvester[19]、Wu[2]、Kozeny[3]、沈波[18]、劉沛清[16]和倪漢根等[15]的公式；小于旋滾長度的公式有Douma[8]公式；Мацман[3]、Шаумян[3]、Iνаnchenko[8]、姚琢之[8]、基謝列夫1[14]、Чертоусов[8]和Пиκалов[11]公式的計(jì)算結(jié)果略大于旋滾長度試驗(yàn)結(jié)果，但小于用公式(1)計(jì)算的旋滾長度。與試驗(yàn)規(guī)律相反的是蘆丁[8]公式。

圖8 以其他方法表示的水躍長度計(jì)算公式Lj/h1計(jì)算值與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較

在以上公式中，陳椿庭[2]和吳持恭[10,13]所依據(jù)的資料來自Bradley等[1]的試驗(yàn)資料，Bremen等[17]的公式與Bradley等[1]的試驗(yàn)資料基本吻合，張長高[3]公式的數(shù)據(jù)來源于前蘇聯(lián)學(xué)者的試驗(yàn)資料(弗勞德數(shù)為1.702～18.450)，與Bradley等[1]試驗(yàn)的弗勞德數(shù)(1.70～19.55)比較接近。作者分析張長高[3]的公式，發(fā)現(xiàn)其計(jì)算結(jié)果與所使用的資料誤差較大，平均誤差為33.5%，而與Bradley等[1]的試驗(yàn)資料比較接近，誤差僅為5.37%。因此認(rèn)為張長高在分析其公式的系數(shù)時(shí)，參考了Kozeny[3]、Elevatorski[3]、吳持恭1[10]和陳椿庭[2]等人的公式，所得結(jié)果反而與Bradley等[1]的試驗(yàn)資料基本一致。由于Bradley等[1]和張長高[3]所使用資料的弗勞德數(shù)范圍較大，所以建議在設(shè)計(jì)消力池時(shí)，自由水躍長度使用陳椿庭[2]、吳持恭1[10]、Bremen等[17]和張長高[3]的公式計(jì)算。對于旋滾長度，由于計(jì)算公式較少，下面根據(jù)Francesco等[7]和作者的模型試驗(yàn)資料重新分析給出。

3 旋滾長度和水躍長度計(jì)算的新公式

3.1 旋滾長度

2007年，F(xiàn)rancesco等[7]在粗糙壁面水躍的研究中，為了對比同時(shí)測量了光滑壁面水躍的旋滾長度，測量的弗勞德數(shù)為1.87～7.67，共有72組數(shù)據(jù)。作者也進(jìn)行了旋滾長度的模型試驗(yàn)，共有10組數(shù)據(jù)。用這82組數(shù)據(jù)對公式(1)和公式(2)進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果如圖9所示。可以看出，公式(1)和公式(2)與試驗(yàn)點(diǎn)偏離較大，公式(1)的平均誤差為42.44%，公式(2)的平均誤差為19.57%。為了提高計(jì)算精度，根據(jù)Francesco等[7]和作者共82組試驗(yàn)數(shù)據(jù)，重新擬合得到旋滾長度的計(jì)算公式為：

Lr=5.450 6(Fr1-1)1.037 6h1，1.82

(5)

將公式(5)的計(jì)算值也列于圖9進(jìn)行比較，可以看出，該公式的計(jì)算精度高于公式(1)和公式(2)，平均誤差為11.38%。

3.2 水躍長度

根據(jù)Bradley等[1]于1957年得到的水躍長度試驗(yàn)的117組數(shù)據(jù)，以及1984年Hughes等[6]水躍長度試驗(yàn)的30組數(shù)據(jù)和作者水躍長度模型試驗(yàn)的10組數(shù)據(jù)，繪制Fr1-1和Lj/h1關(guān)系圖，結(jié)果如圖10所示。由圖10可以看出， 在弗勞德數(shù)相同的情況下，Hughes等[6]與Bradley等[1]的試驗(yàn)結(jié)果是基本一致的。因此重新對水躍長度進(jìn)行分析，擬合關(guān)系式為：

Lj=10.55(Fr1-1)0.941 6h1，1.7

(6)

經(jīng)分析，上式的平均誤差為5.05%。

水躍長度還可以用下式計(jì)算，即：

Lj=7.425 7(h2-h1)(Fr1-1)-0.054 8，1.7

(7)

公式(7)的平均誤差為4.5%。

圖9 旋滾長度計(jì)算值與試驗(yàn)結(jié)果的比較

比較公式(5)和公式(6)，可得水躍長度和旋滾長度之間的關(guān)系為：

Lj=1.936Lr(Fr1-1)-0.096。

(8)

經(jīng)計(jì)算，在弗勞德數(shù)為1.82～7.67時(shí)，水躍長度是旋滾長度的1.973～1.614倍?？梢姼诘聰?shù)越小，水躍長度與旋滾長度的比值越大。

圖10 水躍相對長度Lj/h1與(Fr1-1)的關(guān)系

4 結(jié) 論

本研究對國內(nèi)外的43個(gè)水躍長度公式進(jìn)行歸納整理，按照Bradley等[1]、Hughes等[6]、Francesco等[7]和作者對水躍長度和旋滾長度的試驗(yàn)資料以及公式(1)對43個(gè)公式進(jìn)行了分類，認(rèn)為與Bradley等[1]、Hughes等[6]和作者的水躍長度試驗(yàn)結(jié)果比較符合的為水躍長度公式，與Francesco等[7]和作者的旋滾長度試驗(yàn)結(jié)果以及公式(1)計(jì)算結(jié)果比較符合的為旋滾長度公式。分析表明，43個(gè)公式中，有12個(gè)公式的計(jì)算結(jié)果與Bradley等[1]、Hughes等[6]和作者的水躍長度試驗(yàn)結(jié)果吻合，可以作為水躍長度公式；有3個(gè)公式基本符合Francesco等[7]和作者的旋滾長度試驗(yàn)結(jié)果以及公式(1)的計(jì)算結(jié)果；其余大多數(shù)公式計(jì)算結(jié)果介于水躍長度和旋滾長度之間，但也有少數(shù)公式水躍長度的計(jì)算值大于Bradley[1]、Hughes等[6]和作者水躍長度的試驗(yàn)結(jié)果，或小于Francesco等[7]和作者旋滾長度的試驗(yàn)結(jié)果以及公式(1)的計(jì)算結(jié)果；而蘆丁[8]公式與試驗(yàn)結(jié)果相差較大。顯然，小于旋滾長度的公式在工程上應(yīng)用是不安全的，為此推薦陳椿庭[2]、吳持恭1[10]、Bremen等[17]、張長高[3]以及作者提出的計(jì)算水躍長度的新公式為消力池自由水躍長度的計(jì)算公式，這幾個(gè)公式適用的弗勞德數(shù)為1.70～19.55。對于旋滾長度，推薦采用作者提出的公式(5)進(jìn)行計(jì)算。另外，本研究還分析了水躍長度和旋滾長度之間的關(guān)系，表明在弗勞德數(shù)為1.82～7.67時(shí)，水躍長度是旋滾長度的1.973～1.614倍。

[參考文獻(xiàn)]

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